山东省济宁市第一中学2023-2024学年高二下学期质量检测（三）（6月）数学试题

济宁市第一中学2023—2024学年度第二学期质量检测（三）高二数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合Axx==+∈{∣∣2k1,kZZ},Bxxk==+∈{31,k}，则AB∩=（）A.∅B.{xx∣=6,kk∈Z}C.{xxk∣=+∈61,kZ}D.{xxk∣=+∈62,kZ}2.命题“∀>−≥xx1,1lnx”的否定是（）A.∀≤−<xx1,1lnxB.∀>−<xx1,1lnxC.∃>xx1,−<1lnxD.∃≤xx1,−<1lnx0000003.下列说法错误的是（）A.决定系数R2越大，模型的拟合效果越好B.若变量x和y之间的样本相关系数为r=−0.982，则变量x和y之间的负相关程度很强C.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好D.在经验回归方程yx=−+30.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均增加3个单位214.已知随机变量XN∼∼(µσ,),YBp(6,)，且PX(≥=3,)EX()=EY()，则p=（）21111A.B.C.D.64323xx−+1(1)6的展开式中，35.在()x的系数为（）A.20B.25C.30D.3516.“04<<a”是“函数fx()=的定义域为R”的（）2ax−+ax1A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（）学科网（北京）股份有限公司 A.72B.96C.108D.144xxxe,<028.已知函数fx()=，若关于x的方程fx()−+(2tfx)()+=20t有3个不同的实数2−+x2,xx≥0根，则实数t的取值范围为（）111A.−−∞,B.−,0C.−,1D.(−e,2)eee二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0<<ab，则下列不等式中一定成立的是（）11A.eeab<ba<B.babb+111C.<D.ab−<−aa+1ab10.已知AB,分别为随机事件AB,的对立事件，0,1<<PAPB()()，则（）A.PBA(|)+=PBA(|1)B.PBA(||)+=PBA()PA()C.若AB,互斥，则PAB(|0)=D.若PAB()=PA()⋅−1PB()，则AB,独立x11.已知函数fx()=e−x，则下列说法正确的是（）xA.f(e)在R上是增函数22B.∀>x1，不等式fax()≥f(lnx)恒成立，则正实数a的最小值为eC.若fxt()=有两个零点xx12,，则xx12+>0D.若过点Mm(1,)恰有2条与曲线yfx=()相切的直线，则−<<−1me1三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.学科网（北京）股份有限公司 12.有7把相同的椅子排成一排，要求3个人坐下且不相邻，共__________种坐法.13.已知正实数xy,满足xy−−=xy3，则2xy+的最小值为__________.x14.关于x的方程t+=+−elnteln(xx)有解，则实数t的取值范围__________.xe四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.215.（13分）已知集合Axxx={∣∣+−<60,}Bxmxm=−<<+{123}.（1）若ABA∩=，求实数m的取值范围；（2）若“xA∈”是“xB∈”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.x216.（15分）已知函数fx()=−−6e3xax.（1）若曲线yfx=()在点(0,f(0))处的切线方程为5xy−+=60，求a；（2）若函数fx()在R上单调递增，求实数a的取值范围.17.（15分）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份x20182019202020212022销量y（万23.52.589台）（1）求氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：了解不了解合计男生25女生20合计（i）根据已知条件，填写上述22×列联表；（ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？参考公式：学科网（北京）股份有限公司 n∑(xxyyii−−)()1.回归方程yˆ=bxaˆ+ˆ中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为bˆ=i=1,aˆ=ybx−ˆn2∑(xxi−)i=122nad()−bc2.χ=,nabcd=+++.(abcdacbd++++)()()()α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82818.（17分）某省2023年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分：思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为ABCDE､,,,共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%35%35%13%､､､和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：原始分97959190898785848483赋分99979595949291909090现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：2（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布N(66.7,13.3).现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当Pk(ξ=)取得最大值时k的值.(k∈N+)2附，若η∼N(µσ,)，则PP(µσηµσ−≤≤+≈)0.68,(µσηµσ−≤≤+≈22)0.95.119.（17分）已知函数fx()=−+(a1ln)xax+−∈(aR).x（1）求函数fx()的单调区间；x11（2）当a=−2时，gx()=fx()+−(x2e)++x，记函数ygx=()在,1上的最大值为m，证x4明：−<<−43m.学科网（北京）股份有限公司 济宁市第一中学2023—2024学年度第二学期质量检测（三）高二数学答案一､单项选择题1-4CCDD5-8BBBB1.C【详解】设xAB∈∩，因为Axx==+∈{∣∣2k1,kZZ},Bxxk==+∈{31,k}，所以x=+=+2k13n1,,kn∈Z，故23kn=，故n=2,ss∈Z，所以xss=+∈61,Z，所以ABxxk∩={∣=+∈61,kZ}.故选：C.2.C【详解】由命题“∀>−≥xx1,1lnx”则该命题的否定为：∃>xx001,−<1lnx0.3.D【详解】用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A正确；若变量x和y之间的样本相关系数为rr=−0.982,接近-1，则变量x和y之间的负相关很强，故B正确；比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故C正确；在经验回归方程yx=−+30.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减小3个单位，故D错误.214.D【详解】由于X服从正态分布N(µσ,)，且PX(≥=3)，故其均值EX()=µ=3.而Y服从二21项分布Bp(6,)，故EY()=6p，再由EX()=EY()，就有36=p，得p=.26rr6−5.B【解析】因为(x+1)的通项为Txr+16=C，当(31x−)内取3x时，624−=⇒=rr，则422Txx=C=15，此时系数为315×=45；当(31x−)内取-1时，633−=⇒=rr，56332则Txx=C=20，此时系数为−120′=−20；所以系数为4520−=25.故选：B.4616.B【解析】因为函数fx()=的定义域为R，所以22ax−+≠ax10对任意x∈R恒成立.ax−+ax1i.a=0时，10≠对任意x∈R恒成立；ii.a≠0时，只需2Δ=−<aa40，解得：04<<a；所以04≤<a.记集合AB=(0,4,)=[0,4).学科网（北京）股份有限公司 1因为AB，所以“04<<a”是“函数fx()=的定义域为R”的充分不必要条件.2ax−+ax17.B【详解】设四种颜料为1,2,3,4，①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；③再涂区域E，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；④若区域A填涂颜色2，则区域D､F填涂颜色1，4，或4，3，若区域A填涂颜色4，则区域D､F填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，综合①②③④，由分步计数原理可得，共有432496×××=种不同的填涂法.故选：B.xx8.B【详解】因为当x<0时，fxx()=e，所以fx′()=(1e+x)，所以当x∈−−(∞,1)时，fx′()<0,fx()单调递减；1当x∈−(1,0)时，fx′()>0,fx()单调递增，所以fxf()≥−=−(1)，且fx()<0；e22又因为当x≥0时，fx()=−+=−−+x2x(x1)1，所以fx()在x∈(0,1)时单调递增，在x∈+(1,∞)时单调递减，且.fxf()≤=(11)，xxxe,<0,所以作出函数fx()=的大致图象如图：2−+x2,xx≥02由fx()−+(2tfx)()+=20t得fx()−20fxt()−=，所以fx()=2或fxt()=，则1fx()=2无解，所以只有方程fxt()=有3个不同的实数根，数形结合可知−<<t0.e二､多项选择题9.BD10.ACD11.ABD11119.BD解：0<<∴<<ab,0，且0<+<+ab，故选项B和D正确；baba学科网（北京）股份有限公司 bb+11abbababa+−−−bb+−==>∴>0,，故选项C错误；aa+++111aa()aa()aa+1xxee1(x−)构造函数fx()=，则fx′()=，2xxφ当01<<x时，fx′()<0,fx()在(0,+∞)上单调递减；当x>1时，fx()>0,fx()在(0,+∞)上单调递增；而ab,与1的大小未知，故选项A不确定，错误；PAB()PAB()PA()10.ACD【解析】因为PBA(|)+=+==PBA(|)1,A正确，B不正确；PA()PA()PA()PAB()若AB,互斥，则PAB()=0，所以PAB(|)==0,C正确；PB()因为PB()=−1PB()，所以PAB()=PAPB()⋅()，即AB,独立，D正确.故选：ACDxxx11.ABD【详解】对A：因为fx()=e−x，所以fx′()=e1−，由fx′()=−>⇒>e10x0.x所以fx()=e−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.xxfxR上单调递增.故A正确；设t=e，则t>0且t=e在R上单调递增.由“同增异减”可知(e)2对B：因为a为正实数，x>1，所以ax>>0,lnx0，结合函数fx()的单调性，可知：222lnx2lnx21ln(−x)fax()≥f(lnx)⇔≥axln(xx>1).所以a≥.设hx()=(x>1)，则hx′()=，由2xxx21ln(−x)hx′()=>0可得：x<e.所以hx()在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以2x22hx()max=h(e)=.所以正实数a的最小值为，故B正确；ee对C：如图：因为fxt()=有两个零点xx12,，结合函数fx()的单调性，不妨设xx12<>0,0.则−>x0.1x−−xxx设gx()=fxfxx()−−(),(>0)，那么g(00)=且gx′()=−+−=+−>e1e1ee20在(0,+∞)上恒成立，所以gx()在(0,+∞)单调递增，所以fxfx()−−>()0在(0,+∞)上恒成立，所fxfxx()>−>()(0).由fx(12)=fx()>−fx(2)，且fx()在(−∞,0)上单调递减，所以学科网（北京）股份有限公司 xxxx<−⇒+<0.故C错误；1212x0x对D：设切点为(xx00,e−)，切线斜率为e10−，所以函数在xx=0处的切线方程为：y−+=−−exx00x(e1)(xx)，因为切线过点(1,m)，所以00mx−+=−−⇒=exx00(e11)(xm)e2x0(−−x)1设ϕ(xx)=e2x(−−)1，所以ϕ′(xx)=e1x(−)，000x由ϕ′(xxx)=e1(−>⇒<)01，所以ϕ(x)在(−∞,1)上递增，在(1,+∞)上递减，且ϕ(1e1)=−，当mx=−−e2x01有两解，则−<<−1me1.故Dx<0时ϕ(x)>−1，且x→−∞时，ϕ(x)→−1.因为(0)正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.603+x13.423+【详解】正实数xy,满足xy−−=xy3，故(xyx−=+13)，所以y=，x−13+x则>0，又x>0，解得x>1，x−1344+x4故2xyx+=+2=++21x=2(x−+1)+≥322(x−⋅1)+=3423+，xxx−−−111x−14当且仅当21(x−=)，即x=+12时，等号成立，故2xy+的最小值为423+.x−1故答案为：423+1xlntlnxx−x14.0,【详解】由t+=+−elntxeln(xx)，得e+=+−elnteeln(xx)令fx()=ee+x则eeftfxx(ln)=(ln−)，易知fx()单调递增，所以lntxx=ln−，令gx()=−∈+lnxxx,(0,∞)，则1−xgx′()=，x学科网（北京）股份有限公司 当x∈(0,1)时，gx′()>0,gx()单调递增；当x∈+(1,∞)时，gx′()<0,gx()单调递减，所以111lntg≤=(1)−1，得0<≤t.实数t的取值范围为0,.故答案为：0,eee四､解答题15.（13分）（1）由题意知Ax=−<<{∣3x2}，因为ABA∩=，所以AB⊆，13−≤−m则，解得m≥4，则实数m的取值范围是[4,+∞)；232m+≥（2）因为“xA∈”是“xB∈”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，2当B=∅时，123−≥+mm解得m≤−；313−≥−m21当B≠∅时，232m+≤（等号不能同时取得），解得−<≤−m，32123−<+mm1综上，m∈−−∞,.2x2x16.（15分）解：（1）因为fx()=−−6e3xax，所以fx′()=−−6e6xa，因为曲线yfx=()在点(0,f(0))处的切线方程为5xy−+=60，所以f′(05)=，即65−=a，解得a=1.x（2）因为fx′()=−−6e6xa，又函数fx()在R上单调递增，x所以fx′()=−−≥6e6xa0恒成立，即6ex6ax≤−在R上恒成立，xxx令gx()=−∈6e6,xxR，则gx′()=−=6e66e(−1)，所以当x>0时gx′()>0，当x<0时gx′()<0，所以gx()在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以gx()在x=0处取得极小值即最小值，即gx()min=g(06)=，学科网（北京）股份有限公司 所以a≤6，即实数a的取值范围为(−∞,6].17.（15分）【详解】（1）年份x的平均数x=2020，销量y的平均数y=5，5222212所以∑(xxi−)=−+−+++=(2)(1)01210，i=15∑(xxyyii−−)()i=1=−×(20182020)(25−)+−×−(20192020)(3.55)+−×−(20202020)(2.55)+−×(20212020)(85−)+−×(20222020)(95−)=18.5，5∑(xxyyii−−)()ˆ18.5i=1所以b===1.85，5210∑(xxi−)i=1所以aˆ=−=−×ybxˆ51.852020=−3732，所以氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程为yxˆ=1.85−3732，令x=2024，得yˆ=×−=1.852024373212.4.所以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台.（2）（i）根据男生和女生各60名，补全22×列联表为：了解不了解合计男生352560女生204060合计5565120（ii）零假设H0：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，根据22×列联表中的数据可得，22120(35402520)××−×χ=≈>7.556.635，60605565×××依据α=0.01的独立性检验，可以推断H0不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.18.（17分）解：（1）据题意可知：X服从参数为10,4,3的超几何分布，学科网（北京）股份有限公司 kk3−CC⋅46因此PXk(=)=(k=0,1,2,3)，3C10312C201CC601646则PX(=0)===,1PX(=)===，33C1206C12021010213CC363C41464PX(=2)===,3PX(=)===，33C12010C120301010所以X的分布列为X01231131P62103011316X的数学期望为EX()=×+×+×+×=0123.621030510.68−（2）据题意可知PY(≥=80)PY(≥+=µσ)=0.16，2kk99−k那么ξ∼B(99,0.16)有Pk(ξ=⋅⋅)C990.160.84，kk99−++−kk1k198kC0.160.84≥C0.160.849999要使PK(ξ=)取最大值，只需，kk99−−−−kk1k1100kC0.160.84≥C0.160.8499990.840.16≥99−+kk121kk+≥−213964得：⇒⇒≤≤15k16且k∈N+，0.16≥0.844004−≥kk21kk100−故：当k=15或16时，Pk(ξ=)取得最大值.119.（17分）解：（1）fx()=−+(a1ln)xax+−的定义域为(0,+∞)，又xa+11(x−−11)(ax)fx′()=−++=a，22xxx①当a≤0时，ax−<10，若x∈(0,1)，则fx′()>0，若x∈+(1,∞)，则fx′()<0，所以fx()在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；②当a>0时，学科网（北京）股份有限公司 111若>1，即01<<a时，同理可得，fx()在(0,1,),+∞上单调递增，在1,上单调递减；aaa1若=1，即a=1时，fx′()≥0,fx()在(0,+∞)上单调递增；a111若01<<，即a>1时，同理可得，fx()在0,,1,(+∞)上单调递增，在,1上单调递减；综上aaa所述，当a≤0时，fx()的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)；11当01<<a时，fx()的单调递增区间为(0,1,),+∞；单调递减区间为,1；aa当a=1时，fx()的单调递增区间为(0,+∞)；11当a>1时，fx()的单调递增区间为0,,1,(+∞)；单调递减区间为,1；aa（2）证明：当a=−2时，x11xx1g(x)=f(x)+−(xxx2e)++=−−+−ln2xxxx(2e)++=−+−lnx(x2e)，xxxxx11则gx′()=−(x1e1)−+=−(x1e)−，xx1当<<x1时，x−<10，4x1x1令hx()=e−，则hx′()=+>e0，2xx1所以hx()在,1上单调递增.411因为hh=−<e220,(1)=−>e10，21x1x∈,1hx=0，即e0=，即lnxx=−，所以存在0，使得(0)002x01故当xx∈,0时，hx()<>0,gx′()0；当xx∈(0,1)时，hx()><0,gx′()0；4学科网（北京）股份有限公司 1即gx()在,x0上单调递增，在(x0,1)上单调递减.4所以x112mg=()xg=(xx)=−(2e)0−+=−xxxln(2)−−=−xxx(2)−=−+2x12xmax0000000000xxx000.221221(−x)令Gx()=−−12,xx∈,1，则Gx′()=−=20>，x2xx221所以Gx()在,1上单调递增，21所以GxG()>=−<=4,GxG()(1)−3，2所以−<<−43m.学科网（北京）股份有限公司