初中数学知识总结专题33 最值问题（教师版）

专题33最值问题专题知识回顾在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有①若当时，y有最小值。；②若当时，y有最大值。。2.一次函数的增减性一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。3.判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5.利用非负数的性质在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。6.零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7.利用不等式与判别式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。8.“夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。专题典型题考法及解析26,【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为　　．【答案】﹣4．【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），所以最小值为﹣4．【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是　　．【答案】．【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，26,∴BC′===5，∴MN最大=．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋12QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE，转化为12PE•OB＝12×3×(－m2＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋12QC＝，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋12QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由AQ＝12QC，解关于t的方程即可）．【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，26,∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)．∵该抛物线过点C(0，3)，∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠MBA＝45°．∵D(2，－1)，A(3，0)，∴∠DBA＝45°．∴∠DBM＝90°．同理，∠DAM＝90°．又∵AM⊥BC，∴四边形ADBM为矩形．又∵DA＝DB，∴四边形ADBM为正方形．图1（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．26,图2图3∵S△PBC＝S△PBE＋S△CPE＝12PE•BF＋12PE•OF＝12PE•OB＝12×3×(－m2＋3m)＝－32(m－32)2＋278，∴当m＝32时，S△PBC有最大值为278，此时P点的坐标为(32，－34)．（4）如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋12QC＝，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋12QC＝⊙Q的直径最小，此时，t2+1=12(3-t)，解得t＝263－1，于是AQ＋12QC的最小值为3－t＝3－(263－1)＝4－263．专题典型训练题1.（2018河南）要使代数式2-3x有意义，则x的（）A.最大值为23B.最小值为23C.最大值为32D.最大值为32【答案】A.【解析】要使代数式2-3x有意义，必须使2-3x≥0，即x≤23，所以x的最大值为23。2.（2018四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。【答案】5【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h26,因为，所以又因为，代入得，所以又因为，代入得，所以所以3