8.4 空间中点、直线、平面之间的位置关系（分层练习）（解析版）

第八章立体几何初步8.4空间中点、直线、平面之间的位置关系精选练习基础篇1．已知a,b是两条不同直线，若a∥平面β，则“a∥b”是“b∥β”的（    ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可判断充分性与必要性是否成立，即可得答案.【详解】若a∥平面β，a∥b，则b∥β或b⊂β，故充分性不成立；若a∥平面β，b∥β，则a∥b或a,b相交或a,b异面，故必要性不成立；∴若a∥平面β，则“a∥b”是“b∥β”的既不充分也不必要条件.故选：D.2．两条异面直线所成的角的范围是（    ）A．(0°,180°)B．(0°,90°]C．(0°,180°]D．(0°,90°)【答案】B【解析】根据异面直线的定义得出答案.【详解】由异面直线的定义可知，两条异面直线所成的角的范围是(0°,90°]，故选：B3．在下列条件下，能确定一个平面的是（    ）A．空间的任意三点B．空间的任意一条直线和任意一点C．空间的任意两条直线D．梯形的两条腰所在的直线【答案】D【分析】三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可.【详解】三点共线则不能确定一个平面，A错误；点在直线则不能确定一个平面，B错误；若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确.故选：D4．三条直线两两相交，最多可以确定平面（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C【分析】根据题意，画出图形，结合公理2，即可得出答案.【详解】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面.如图，PA,PB,PC相交于一点P，且PA,PB,PC不共面，则PA,PB确定一个平面PAB，PB,PC确定一个平面PBC，PA,PC确定一个平面PAC.故选：C.5．如图所示，用符号语言可表述为（　　）A．α∩β=m，n⊂α，m∩n=AB．α∩β=m，n∈α，m∩n=AC．α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n【答案】A【分析】由题可知两平面相交于直线m，直线n在平面α内，两直线交于点A，从而可得答案.【详解】由题可知平面α,β相交于直线m，直线n在平面α内，两直线m,n交于点A，∴用符号语言可表示为α∩β=m，n⊂α，m∩n=A，故选：A.6．（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是（    ）A．l⊄α,A∈l⇒A∉αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αD．A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A【答案】BCD【分析】对于A：由点A可能在面α内，也可能不在面α内.可以判断；对于B：利用公理2判断；对于C：利用公理1判断；对于D：A∈α,A∈l说明直线与平面有公共点，又l⊄α，∴l∩α=A，即可判断.【详解】对于A：l⊄α,A∈l,则点A可能在面α内，也可能不在面α内.故A错误；对于B：为公理2，可判断面面相交.故B正确；对于C：为公理1，可判断出线在面内.故C正确；对于D：A∈α,A∈l说明直线与平面有公共点，又l⊄α，∴l∩α=A.故D正确.7．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）．A．B． C．D．【答案】D【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，∴A，B，C，D四点共面．故选：D8．下列命题是真命题的是（    ）A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合B．若四点不共面，则其中任意三点不共线C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分【答案】B【分析】A.这两个平面可能相交或重合，∴该选项错误；B.该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，∴该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，∴该选项错误.【详解】A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，∴该选项错误；B.若四点不共面，则其中任意三点不共线，∴该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥P−ABC,相交于同一点P的三条直线PA,PB,PC不在同一平面内，∴该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，∴该选项错误.故选：B9．（多选）如图，平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ）A．点AB．点BC．点CD．点D【答案】CD【分析】根据平面的基本性质判断.【详解】∵A∈α,A∈γ,B∈α,B∈γ,C∈β,C∈γ,D∈β,D∈γ，∴点A在α与γ的交线上，点B在α与γ的交线上，点C在β与γ的交线上，点D在β与γ的交线上， 故选：CD10．如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F=2B1F，BE=2B1E．(1)证明：点F在平面AD1E内；(2)若AA1=2AB=4，求三棱锥D−AD1E的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)83【分析】（1）利用长方体的性质得到AD1//BC1，利用对应线段成比例和相似三角形得到EF//BC1，再利用基本事实4得到AD1//EF，即证明四点共面；（2）利用等体积法和三棱锥的体积公式进行求解.(1)证明：如图，连接BC1，EF，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，C1D1//AB，且C1D1=AB，∴四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1//BC1．∵C1F=2B1F，BE=2B1E，∴B1FB1C1=B1EB1B=13，∴△B1EF∽△B1BC，∴EF//BC1，∴AD1//EF，∴A,D1,E,F四点共面，即点F在平面AD1E内．(2)解：在长方体中，点E到平面ADD1的距离，即为点B到平面ADD1的距离，即为BA；∴VD−AD1E=VE−ADD1=13⋅S△ADD1⋅BA =13×12×2×4×2=83．提升篇1．下列命题中，正确的命题序号是（    ）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条．A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④【答案】B【分析】利用平行线的传递性可判断①；利用空间中直线的位置关系可判断②；利用反证法可判断③；利用圆柱可判断④.【详解】对于①，由平行线的传递性可知①对；对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错；对于③，若P在直线l外，若过点P存在两条不同的直线a、b，使得a//l，b//l， 则a//b，与假设矛盾，假设不成立，③对；对于④，设直线l为圆柱O1O2的轴所在的直线，如下图所示：所有与直线l平行且到直线l的距离为d的直线可视为底面半径为d的圆柱O1O2的母线所在的直线，故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错.故选：B.2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能【答案】D【分析】根据条件作出示意图，容易得到三种情况均有可能．【详解】如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D．3．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（    ）A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面【答案】C【分析】由长方体性质易知A，A1，C1，C四点共面且OM，BB1是异面直线，再根据M与A1C、面ACC1A1、面AB1D1的位置关系知M在面ACC1A1与面AB1D1的交线上，同理判断O、A，即可判断各选项的正误.【详解】∵AA1//CC1，则A，A1，C1，C四点共面.∵M∈A1C，则M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理，O、A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，从而M，O，A1，A四点共面，A，O，C，M四点共面.由长方体性质知：OM，BB1是异面直线，即B，B1，O，M四点不共面.故选：C.4．如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线.以上四个命题中，正确的命题序号是（    ）A．①③B．②④C．①④D．③④【答案】D【分析】将展开图复原为几何体，如图所示，根据正方体的性质，逐个分析判断即可【详解】解：展开图复原的正方体如图所示，由正方体的性质可知BM与ED是异面直线，∴①错误；CN与BE是平行直线，∴②错误；连接AN,AC，则AN与BM，∴∠ANC或其补角为异面直线CN与BM所成的角，∵△ANC为等边三角形，∴∠ANC=60°，∴CN与BM成60°角，∴③正确；DM与BN是异面直线，∴④正确，故选：D5．（多选）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是（    ）A．AB1B．A1CC．A1AD．AD1【答案】BCD 【分析】对于A，当P为BC1的中点时，OP//AB1，故A不正确；对于BCD，根据异面直线的判定定理可知都正确.【详解】对于A，如图1，当P为BC1的中点时，OP//DC1//AB1，故A不正确；对于B，如图2，∵A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，∴直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，∵A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，∴直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，如图3，∵AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，∴直线AD1与直线OP一定是异面直线，故C正确；6.如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=2，则异面直线A1C与B1C1所成角的余弦值为（    ）A．−12B．22C．64D．24【答案】D【分析】先利用棱柱的结构特征、异面直线所成角的定义得到∠A1CB是异面直线A1C与B1C1所求角或其补角，再利用正三棱柱的结构特征及余弦定理进行求解.【详解】连接A1B，由棱柱的性质得BC//B1C1，∴∠A1CB是异面直线A1C与B1C1所成角或其补角；由正三棱柱的性质及AA1=AB=2，得BC=2，A1B=A1B12+B1B2=22，A1C=A1C12+C1C2=22，在△A1BC中，由余弦定理，得cos∠A1CB=BC2+A1C2−A1B22⋅BC⋅A1C=4+8−82×2×22=24，即异面直线A1C与B1C1所成角的余弦值为24.故选：D.7.如图，在三棱锥D−ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则∠EFG为EF与AC所成的角．解△EFG．【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．∵E，F分别是CD，AB的中点， ∵FG∥AC，EG∥BD，且FG=12AC，EG=12BD．∴∠EFG为EF与AC所成的角．又∵AC=BD，∴FG=EG．又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE=90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG=45°，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．6.在三棱锥P−ABC中，PB=PC=AB=AC=BC=4，PA=23，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（    ）A．18B．16C．14D．13【答案】A【解析】分别取PA、PB、PC的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、GA、PG，由题意结合平面几何的知识可得EG=3、FG=EF=2、∠GFE或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.【详解】分别取PA、PB、PC的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、GA、PG，如图：由PB=PC=AB=AC=BC=4可得PG=AG=32BC=23，∴EG⊥PA，在△GPA，PG=AG=PA=23，可得EG=3由中位线的性质可得EF//AB且EF=12AB=2，FG//PC且FG=12PC=2，∴∠GFE或其补角即为异面直线PC与AB所成角，在△GFE中，cos∠GFE=GF2+EF2−GE22GF⋅EF=4+4−92×2×2=−18，∴异面直线AB与PC所成角的余弦值为18.故选：A.7.如图，已知平面α,β，且α∩β=l，设在梯形ABCD中，AD∕∕BC，且AB⊂α,CD⊂β.求证：AB,CD,l共点．【答案】证明见解析【分析】设AB交CD于点M，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证.【详解】如图，梯形ABCD中，∵AD∕∕BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于点M，则M∈AB,M∈CD，又∵AB⊂α,CD⊂β，∴M∈α,M∈β，又∵α∩β=l，∴M∈l，∴AB,CD,l共点．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC， CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.求证：(1)E､F､G､H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上.【分析】（1）证明出EF∥GH即可；（2）证明出EFHG为梯形，得到EG与FH必相交，设交点为M，再结合点，线与面的关系进行证明.【详解】（1）∵BG:GC=DH:HC，∴GH∥BD.∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，且EF=12BD∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面.（2）∵G，H不是BC，CD的中点，∴GH≠12BD∴EF≠GH由（1）知EF∥GH，故EFHG为梯形.∴EG与FH必相交，设交点为M，∴EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上.