专题过关检测五　统计与概率

专题过关检测五　统计与概率一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·江苏南通一模)甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目的选拔赛,四人的平均成绩和方差见下表:成绩人选甲乙丙丁平均成绩x/环9.08.98.69.0方差s2/环22.82.82.13.5如果从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,那么最佳人选是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.甲B.乙C.丙D.丁2.(2021·重庆三模改编)已知随机变量X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),若P(X≥3)=0.8,则P(3≤X≤9)=(　　)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.(2021·河南商丘检测)某服装品牌市场部门为了研究销售情况,统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x(元)和销售额y(元)的数据,整理得到下面的散点图:已知销售额y=单价x×销量z,根据散点图,下面四个经验回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的经验回归方程类型的是(　　)A.z=a+bxB.z=a+bxC.z=a+bx2D.z=a+bex4.(2021·浙江杭州高级中学月考)已知在盒中有大小、质地相同的编号分别为1,2,3,4的红色、黄色、白色的球各4个,现从中任意摸出4个球,则摸出白球个数的期望是(　　)A.13B.23C.43D.535.(2021·河南洛阳模拟)某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩,将学生的成绩按照[50,75),[75,100),[100,125),[125,150]分成4组,制成如图所示的频率分布直方图.现用分层抽样的方法从[75,100),[125,150]这两组学生中选取5人,再从这5人中任选2人,则这2人的数学成绩不在同一组的概率为(　　) A.15B.25C.12D.356.(2021·重庆第三次联合诊断)京剧脸谱,是一种具有中国文化特色的特殊化妆方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式,就像唱歌、奏乐都要按照乐谱一样,所以称为“脸谱”.脸谱的主要特点有三点:美与丑的矛盾统一,与角色的性格关系密切,其图案是程式化的.在京剧中,并不是每个人物都要勾画脸谱,脸谱的勾画要按照人物角色的分类来进行.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种,其中“净”和“丑”需要画脸谱,“生”“旦”只略施脂粉,俗称“素面”.现有男生甲、乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动,其中女生丙想扮旦角,男生甲想体验画脸谱的角色,若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个,则甲、丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为(　　)A.38B.916C.34D.13167.(2021·山东省实验中学一模)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞,则另一张也是假钞的概率为(　　)A.119B.419C.217D.17388.(2021·河南平顶山二模)如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落,将随机的向两边等概率的下落,当有大量的小球都滚下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.若一个小球从正上方落下,落到3号位置的概率是(　　)A.116B.14C.38D.18 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　　)A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.(2021·广东佛山二模)百年大计,教育为本.十四五发展纲要中,教育作为一个专章被提出.近日,教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下,根据图中信息,下列论断正确的有(　　)(名词解释:高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)全国高中阶段在校生规模及毛入学率2020年高中阶段教育在校生结构A.近六年,高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B.近六年,高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C.2019年,未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D.2020年,普通高中的在校生超过2470万人11.(2021·山东滨州二模)为庆祝建党100周年,讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是(　　)A.P(A)=35B.P(AB)=310 C.P(B|A)=12D.P(B|A)=1212.(2021·江苏南通一模)在庆祝教师节联欢活动中,部分教职员工参加了学校工会组织的趣味游戏比赛,其中定点投篮游戏的比赛规则如下:①每人可投篮七次,每成功一次记1分;②若连续两次投篮成功加0.5分,连续三次投篮成功加1分,连续四次投篮成功加1.5分,以此类推,连续七次投篮成功加3分.假设某教师每次投篮成功的概率为23,且各次投篮之间相互独立,则下列说法中正确的有(　　)A.该教师恰好三次投篮成功且连续的概率为5×2337B.该教师恰好三次投篮成功的概率为35×2337C.该教师在比赛中恰好得4分的概率为5×2337D.该教师在比赛中恰好得5分的概率为2535三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·广东珠海二中月考)若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则D14X+3=　　　　　. 14.(2021·陕西宝鸡模拟)某新学校高一、高二、高三共有学生1900名,为了解同学们对学校关于对手机管理的意见,计划采用分层抽样的方法,从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以23为公比的等比数列,则此学校高一年级的学生人数为　　　　　. 15.(2021·天津南开中学三模)2021年是中国共产党成立100周年.现有A,B两队参加建党100周年知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢1分,答错得0分;A队中每人答对的概率均为13,B队中3人答对的概率分别为23,23,13,且各答题人答题正确与否互不影响,设A队总得分为随机变量X,则X的数学期望为　　　　　.若事件M表示“A队共得2分”,事件N表示“B队共得1分”,则P(MN)=　　　　　. 16.(2021·河北邢台模拟)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是　　　　　(写出所有正确结论的编号). ①P(B)=25;②P(B|A1)=511;③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是两两互斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中哪一个发生有关.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021·全国甲,理17改编)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:机床品级合计一级品二级品甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验,分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828.18.(12分)(2021·四川天府名校诊断)成都市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨的生活垃圾,数据统计如表所示(单位:吨):生活垃圾垃圾箱“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾5005050可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=450.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.注:s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],其中x为数据x1,x2,…,xn的平均数. 19.(12分)(2021·山东济宁二模)甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛,比赛采取五局三胜制,约定先胜三局者获胜,比赛结束.假设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛相互独立.(1)求甲获胜的概率;(2)设比赛结束时甲和乙共进行了X局比赛,求随机变量X的分布列及数学期望.20.(12分)(2021·山东日照三模)青少年身体健康事关国家民族的未来,某校为了增强学生体质,在课后延时服务中增设800米跑活动,据统计,该校800米跑优秀率为3%.为试验某种训练方式,校方决定,从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练,试验方案为:若这10人中至少有2人达到优秀,则认为该训练方式有效;否则,则认为该训练方式无效.(1)如果训练结束后有5人800米跑达到优秀,校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况,记抽到800米跑达到优秀的人数为X,求X的分布列及数学期望;(2)如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%,求通过试验该训练方式被认定无效的概率p,并根据p的值解释该试验方案的合理性.(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 21.(12分)(2021·河北衡水模拟)随着移动网络的飞速发展,人们的生活发生了很大变化,其中在购物时利用手机中的支付宝、微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计,结果如下表:年份20162017201820192020年份代码x12345使用扫码支付的人次y(单位:万人)512161921(1)观察数据发现,使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式:y=c+dlnx,通过散点图(图略)可以发现y与x之间具有相关性.设ω=lnx,利用ω与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的经验回归方程,并估计2021年该商场使用扫码支付的人次;(2)为提升销售业绩,该商场近期推出两种付款方案:方案一:使用现金支付,每满200元可参加1次抽奖活动,抽奖方法如下:在抽奖箱里有8个形状、大小完全相同的小球(其中红球有3个,黑球有5个),顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球,若摸出3个红球,则打7折;若摸出2个红球,则打8折,其他情况不打折.方案二:使用扫码支付,此时系统自动对购物的顾客随机优惠,据统计可知,采用扫码支付时有18的概率享受8折优惠,有38的概率享受9折优惠,有12的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望;②试比较小张选择方案一与方案二付款,哪个方案更划算?附:经过点(t1,y1),(t2,y2),(t3,y3),…,(tn,yn)的经验回归直线为y^=b^t+a^,b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2=∑i=1ntiyi-nty∑k=1nti2-nt2,a^=y−b^t.相关数据:ω≈0.96,∑i=15ωi2≈6.2,∑i=15ωiyi≈86,ln6≈1.8(其中ω=lnx).22.(12分)(2021·海南海口调研改编)某地积极开展中小学健康促进行动,决定在2021年体育中考中再增加一定的分数,规定:考生须参加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试,其中一分钟跳绳满分20分, 某校在初三上学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图所示频率分布直方图,且规定计分规则如下表:一分钟跳绳个数[155,165)[165,175)[175,185)[185,+∞)得分17181920(1)现从样本的100名学生中任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率;(2)根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人一分钟跳绳个数都有明显进步,整体成绩差异略有变化.假设今年正式测试时每人一分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,方差为169,且该校初三年级所有学生正式测试时每分钟的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2),用样本数据的期望和方差估计总体的期望和方差(各组数据用区间的中点值代替).①若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望;②判断该校初三年级所有学生正式测试时的满分率是否能达到85%,说明理由.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.专题过关检测五　统计与概率1.A　解析甲、丁的平均成绩高于乙、丙的平均成绩,甲的方差小于丁的方差,说明甲的成绩较稳定. 2.C　解析因为X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),P(X≥3)=0.8,所以P(X>9)=P(X<3)=1-P(X≥3)=0.2,所以P(3≤X≤9)=1-P(X<3)-P(X>9)=0.6.3.B　解析由题中散点图可知,y与x成线性相关,设经验回归方程为y=m+kx,由题意z=yx,所以z=mx+k,对应B最适合.4.C　解析设摸出的白球的个数为X,则X=0,1,2,3,4,所以P(X=0)=C84C124=1499,P(X=1)=C41C83C124=224495,P(X=2)=C42C82C124=168495,P(X=3)=C43C81C124=32495,P(X=4)=C44C80C124=1495.所以摸出白球个数的期望是E(X)=0×1499+1×224495+2×168495+3×32495+4×1495=43.5.D　解析由题意可知,数学成绩在[75,100)的学生的频率为0.012×25=0.3,数学成绩在[125,150]的学生的频率为0.008×25=0.2.用分层抽样的方法从[75,100),[125,150]这两组学生中选取5人,则其中有3人的成绩在[75,100),有2人的成绩在[125,150],从这5人中任选2人,其中这2人成绩不在同一组的概率P=C21C31C52=610=35.6.B　解析三人选角的不同结果共43种,若甲如愿,则已满足题意,故乙、丙可随机选择,此时共2×42=32种;若甲未如愿,则丙必选旦角,则甲选生角或旦角,乙只能选净角或丑角,共2×1×2=4种.所求概率为32+443=916.7.C　解析记事件A:抽到的至少1张钞票是假钞,记事件B:抽到的2张钞票都是假钞,则P(A)=C51C151+C52C202=85190=1738,P(AB)=C52C202=119,因此P(B|A)=P(AB)P(A)=119×3817=217.8.C　解析记一个小球从正上方落下,落到3号位置的事件为M,一个小球从正上方落下,落到3号位置,需要4次碰撞中有2次向左、2次向右,则一个小球从正上方落下落到3号位置的概率为:P(M)=C42×122×122=38. 9.CD　解析x=1n∑i=1nxi,y=1n∑i=1nxi+nc=x+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,故B错误;sx2=1n∑i=1n(xi-x)2,sy2=1n∑i=1n[(xi+c)-(x+c)]2=sx2,故C正确;x极差=xmax-xmin,y极差=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故D正确.10.BD　解析对A,在前四年高中在校生数有下降的过程,故A错误;对B,六年的在校生总数为24037,平均值为4006以上,故B正确;对C,39950.895×0.105≈468,未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上,故C错误;对D,4128×0.601≈2481,故D正确.11.ABC　解析P(A)=C31C51=35,故A正确;P(AB)=C31C21C51C41=310,故B正确;P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12,故C正确;P(A)=C21C51=25,P(AB)=C21C31C51C41=310,P(B|A)=P(AB)P(A)=31025=34,故D错误.12.ABD　解析对于A,恰好三次投篮成功且连续的概率为C51×233×134=5×2337,故A正确.对于B,恰好三次投篮成功的概率为C73×233×134=35×2337,故B正确.对于C,恰好得4分有两种情况:一是第1,3,5,7次投篮成功,另外三次投篮不成功,其概率为234×133=2437;二是三次投篮成功且连续,另外四次投篮不成功,其概率为C51×233×134=5×2337.所以恰好得4分的概率为2437+5×2337=7×2337,故C错误.对于D,恰好得5分有两种情况:一是四次投篮成功且有两次两个连续投篮成功,其概率为C42×234×133=2536;二是四次投篮成功且有三个连续投篮成功,连续得分分别在首尾和不在首尾两类,其概率为(C21C31+C31C21)×234×133=2636.所以恰好得5分的概率为2536+2636=2535,故D正确.13.1　解析因为X~B(100,p),所以E(X)=100p=20,解得p=15,所以D(X)=100p(1-p)=100×15×45=16.故D14X+3=142×D(X)=116×16=1. 14.900　解析因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以23为公比的等比数列,设从高二年级抽取的学生人数为x,则从高二、高三年级抽取的人数分别为32x,23x.由题意可得32x+x+23x=38,所以x=12,故32x=18.设我校高一年级的学生人数为n,再根据381900=18n,求得n=900.15.1　227　解析由题意,可得X~B3,13,所以X的数学期望为E(X)=3×13=1.因为事件M表示“A队得2分”,事件N表示“B队得1分”,所以P(M)=C32×132×23=29,P(N)=23×13×23+13×23×23+13×13×13=13,故P(MN)=P(M)P(N)=29×13=227.16.②④　解析由题意可知事件A1,A2,A3不可能同时发生,则A1,A2,A3是两两互斥的事件,则④正确;由题意得P(B|A1)=511,P(B|A2)=411,P(B|A3)=411,故②正确;P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510×511+210×411+310×411=922,①⑤错;因为P(A1B)=522,P(A1)P(B)=510×922=944,所以事件B与事件A1不独立,③错;综上选②④.17.解(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为150200=34;乙机床生产的产品中一级品的频率为120200=35.(2)零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400×(150×80-120×50)2200×200×270×130≈10.256>6.635=x0.010.依据小概率值α=0.010的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.解(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=500500+50+50=56.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确. 事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量,即P(A)=500+240+601000=0.8,所以P(A)=1-0.8=0.2.(3)当a=450,b=c=0时,s2取得最大值.因为x=13(a+b+c)=150,所以s2=13×[(450-150)2+(0-150)2+(0-150)2]=45000.19.解(1)由题意知,比赛三局且甲获胜的概率P1=233=827,比赛四局且甲获胜的概率为P2=C32×232×13×23=827,比赛五局且甲获胜的概率为P3=C42×232×132×23=1681,所以甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=827+827+1681=6481.(2)随机变量X的取值为3,4,5,则P(X=3)=233+133=13,P(X=4)=C32×232×13×23+C32×132×23×13=827+227=1027,P(X=5)=C42×232×132×23+C42×232×132×13=827,所以随机变量X的分布列为X345P131027827所以E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727.20.解(1)由题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,可得P(X=0)=C50C52C102=29,P(X=1)=C51C51C102=59,P(X=2)=C52C50C102=29,所以X的分布列如下:X012P295929 所以E(X)=0×29+1×59+2×29=1.(2)该训练方式无效的情况有:10人中1人800米跑达到优秀、10人中0人800米跑达到优秀,所以p=C100×120×1210+C101×12×129=111024≈0.01<5%.故可认为该训练方式无效事件是小概率事件,从而认为该训练方式有效,故该试验方案合理.21.解(1)计算知y=y1+y2+y3+y4+y55=735=14.6,所以d^=∑i=15ωiyi-5ωy　　∑i=15ωi2-5ω2　　≈86-5×0.96×14.66.2-5×0.962=10,c^=y−d^ω≈14.6-10×0.96=5,所以所求的经验回归方程为y^=10lnx+5,当x=6时,y^=10ln6+5≈23(万人次),估计2021年该商场使用扫码支付的有23万人次.(2)①若选择方案一,设付款金额为X元,则可能的取值为140,160,200,P(X=140)=C33C83=156,P(X=160)=C32C51C83=1556,P(X=200)=1-156−1556=57,故X的分布列为X140160200P156155657所以E(X)=140×156+160×1556+200×57=263514=188314(元).②若选择方案二,记需支付的金额为Y元,则Y的可能取值为160,180,190,则其对应的概率分别为18,38,12,所以E(Y)=160×18+180×38+190×12=18212,E(X)>E(Y),故从概率角度看,小张选择方案二付款优惠力度更大.22.解(1)设“选取的2人得分之和不大于35”为事件A. 由题意,得17分的学生人数为100×0.06=6,得18分的人数为100×0.12=12.事件A的发生包含两种可能:一种是两人得分均为17分,另一种是两人中1人得17分,1人得18分,所以事件A的概率P(A)=C62+C61C121C1002=291650.(2)①x=185.由题意知正式测试时,μ=x+10=195,σ=169=13,则X~N(195,132).所以P(X>195)=P(X>μ)=0.5.即在全年级所有学生中任取1人,每分钟跳绳个数在195个以上的概率为0.5.由题意ξ~B3,12,则P(ξ=k)=C3k×12k×123-k=C3k×123(k=0,1,2,3).则ξ的分布列为ξ0123P18383818所以E(ξ)=3×12=32.②由X~N(195,132),所以P(X>182)=P(X>μ-σ)=12+12P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.84135.所以预测正式测试时每分钟跳绳个数在182个以上的人数比例为0.84135<0.85,由题意,每分钟跳绳个数不少于185个才能得到满分,因此可以预测该校初三年级所有学生正式测试时的满分率P<0.84135<0.85.故该校初三年级所有学生正式测试时的满分率不能达到85%.