第44讲 排列组合（解析版）

第44讲排列组合1、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法．2、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法．3、排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m按照一定的顺序排成一列组合（mn）个元素合成一组4、排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素m中取出m个元素的排列数，用A表示．n(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出mmn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素m中取出n个元素的组合数，用C表示．n5、排列数、组合数的公式及性质mn!(1)Ann(n1)(n2)(nm1)(nm)!公式mmAnn(n1)(n2)(nm1)n!（2）CnnAm!m!(nm)!mn(3)0!1；An!n性质mnmmmm1(4)CC；CCCnnn1nn题型一：分类加分计数原理和分类乘法计数原理1．（全国高二课前预习）某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（）A．20B．15C．10D．5【答案】A【详解】由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.2．（全国高二课时练习）已知集合M{1,2,3}，N{4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）A．18B．10C．16D．14【答案】D 【详解】解：M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)．故选：D.3．（山东无棣·高二期中）某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（）46A．6种B．4种C．24种D．360种【答案】B【详解】6由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝4种，故选：B．4．（永安市第三中学高二月考）将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（）A．1260B．120C．240D．720【答案】D【详解】3由题设，相当于3个元素排10个位置，有A10720(种)不同的分法．故选：D．5．（重庆高三模拟预测）在抗疫期间，某单位安排4名员工到甲､乙､丙三个小区担任志愿者协助休温检测工作，每个小区至少安排1名员工，每名员工都要担任志愿者，则不同的安排方法共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种【答案】C【详解】21、选2名员工分到一个小区：C4种方法，32、将它们看作3组安排到甲乙丙小区，有A3种安排方法，23∴不同的安排方法共有C4A336种.故选：C6．（银川唐徕回民中学高三一模（文））地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用2种不同的颜色涂所给图形中的四个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，某一学生在随意涂色的前提下（或用一种颜色或用两种颜色），则该生涂“对”的概率为（） 1111A．B．C．D．8642【答案】A【详解】解：用2种不同的颜色涂所给图形中的四个区域，基本事件总数4n216，其中相邻区域的颜色不能相同包含的基本事件个数m2，某一学生在随意涂色的前提下（或用一种颜色或用两种颜色），m21则该生涂“对”的概率为P．n168故选：A．7．（北京一七一中高三月考）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443等.那么在四位数中，回文数共有（）A．81个B．90个C．100个D．900个【答案】B【详解】由题可知：回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的11所以共有：C9C1090故选：B8．（安庆市第十中学高二月考（理））用0,1,2,4组成没有重复数字的四位数，共有（）A．24个B．20个C．18个D．12个【答案】C【详解】0不能排在千位，先从1,2,4中取一个数排在千位，13所以C3A318.故选：C9．（全国高二课时练习）从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）A．60B．24C．12D．36【答案】D【详解】 21第一步先将三个数取出，有C3C26种，3第二步对取出的三个数进行排列，共有A36种，所以完成两步共有6636种.故选：D.10．（全国高二课时练习）已知一个不透明的袋子里共有15个除了颜色外其他质地完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，若从口袋里一次任取2个球，则“所取得2个球中至少有1个白球”的概率为（）5191110A．B．C．D．21212121【答案】B【详解】1120CCCC19105105据题意知，所求概率p2.C2115故选：B.题型二：全排列1．（北京延庆·高二期中）一部影片在5个单位轮流放映，每个单位放映一场，则不同的放映次序种数是（）A．24B．32C．60D．120【答案】D【详解】5由题意可知不同的放映次序种数有A5120种,故选：D.2．（北京丰台·）甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为（）A．12B．24C．48D．120【答案】B【详解】4解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4名同学全排列，有A424种排法，老师必须站在中间，有1种安排方法，则有24124种站法；故选:B3．（辽宁鞍山·高二期中）公元480年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926到3.1415927之间，在之后的800年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的7个数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到小于3.14的不同数字个数为（）A．2280B．440C．720D．240 【答案】D【详解】只有小数点后两位为3.11或3.12时，余下的5个数在后全排列得到的数字小于3.14，故小于3.14的不同5情况有2A5240.故选：D.4．（南昌市八一中学高二月考（理））6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（）A．36B．120C．720D．240【答案】C【详解】解：由于6人排两排，先排第一排共有6×5×4=120(种)，再排第二排，共有3×2×1=6(种).由分步乘法计数原理可知，共有120×6=720(种)方法.故选：C5．（全国高二课时练习）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【详解】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，3全排列：A33216.故选：B6．（全国）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为A．4B．44C．24D．48【答案】C【详解】4一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为A=432124.4故选：C7．（全国高二课时练习）从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A．6个B．10个C．12个D．16个【答案】C【详解】2从2,3,5,7四个数中任选两个数分别相除,所得结果有A4=4×3=12个.故选C题型三：相邻问题1．（福建宁德·高二期中）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言， 其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有（）A．12种B．8种C．6种D．4种【答案】C【详解】22当甲排在第一位时，共有A2A24种发言顺序，2当甲排在第二位时，共有A22种发言顺序，所以一共有426种不同的发言顺序.故选：C.2．（广东天河·）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美有；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A．120种B．192种C．240种D．408种【答案】B【详解】25解：“数”和“乐”两门课程相邻的方法数：A2A5240，24“射”排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻的方法数A2A448，2524所以“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻的方法数为A2A5A2A424048192，故选：B．3．（福建厦门·高二期末）5人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有（）A．24种B．48种C．72种D．120种【答案】B【详解】4先捆绑甲乙两人共有A4种可能，2再松绑可得A2种可能，42共有A4A224248种可能，故选：B4．（福建省南安市侨光中学高二期末）有六人排成一排，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．120种B．240种C．360种D．480种【答案】B【详解】2解：先将甲、乙两人捆绑在一起，有A2种方法， 25所以六人排成一排，甲、乙两人必须相邻的方法有A2A5254321240种，故选：B5．（山东济宁市兖州区教学研究室高二期中）外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连且二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（）1111A．B．C．D．20406090【答案】A【详解】10首先总的情况为A10，632一班的三位序号相连且二班的同学序号不相连的情况数为：A6A3A7，632AAA1637所以概率是10.A2010故选：A6．（全国）为引领广大家庭和少年儿童继承党的光荣传统、弘扬党的优良作风，进一步增强听党话、感党恩、跟党走的思想自觉和行动自觉，某市文明办举行“少年儿童心向党”演讲比赛，献礼中国共产党成立100周年．现有A，B，C，D，E共5人进入决赛，则A必须在第一或第二个出场，且D，E两人必须相邻出场的不同演讲顺序数为（）A．12B．20C．24D．36【答案】B【详解】32由题意知，当A第一个出场时，不同演讲顺序数为A3A212；当A第二个出场时，不同演讲顺序数为C12A22A228．所以所求的不同演讲顺序数为12820．故选：B7．（全国高三专题练习）3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（）1111A．B．C．D．6543【答案】B【详解】解：3男2女共5名同学站成一排合影，5基本事件总数nA5120，2322名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数mA2A3A224， m241∴2名女生相邻且不站两端的概率为p．n1205故选B．题型四：不相邻问题1．（珠海市第二中学高三月考）五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲､乙二人不相邻，则不同的排法共有（）A．36种B．48种C．72种D．120种【答案】C【详解】先将除甲、乙二人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙二人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，32共有A3A461272种.故选：C2．（全国高二课时练习）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（）358633384A．A6A5B．A8A6A3C．A5A3D．A8A6【答案】B【详解】在8个人全排列的方法数减去甲，乙，丙全相邻的方法数，就得到甲，乙，丙三人不全相邻的方法数，即863AAA.863故选：B．3．（山东威海·高二期末）现有5位代表参加疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲乙不相邻，则不同的坐法有（）A．24种B．36种C．48种D．72种【答案】D【详解】5425位代表并排坐在一起的坐法为：A5种，甲乙相邻的坐法为：A4A2种542所以甲乙不相邻的坐法为：A5A4A272（种），所以选项ABC错误，选项D正确.故选：D.4．（河北高二月考）某夜市的某排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（）73363363A．A7A7B．A3A6C．A3A1D．A6A7【答案】D【详解】 先将6个小吃类店铺进行全排，再从这6个小吃类店铺的7个空位选3个进行排列，63故排出的推位规划总个数为A6A7.故选：D5．（浙江丽水·高二课时练习）由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且2,3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【答案】C【详解】根据题意，分2步进行：4①，将1、4、5、6四个数全排列，有A424种排法，2②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排2和3，有A520种情况，则有2420480个符合题意的六位数；故选：C．6．（苏州市第三中学校高二月考）“仁义礼智信”为儒家“五常”．由孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，且“礼智”不相邻的排法有（）种．A．48B．36C．72D．96【答案】C【详解】32解：先对“仁义信”进行排列，有A3=6种方法，此时有4个空，然后用“礼智”去插空，有A4=12种方法，32由乘法原理可知共有A3A4=612=72种故选：C7．（江苏高二月考）3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为（）A．120B．12C．60D．72【答案】D【详解】32先排男生共有A3种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有A4种排法，32所以符合条件的共有A3A472种排法.故选：D.8．（湖北东西湖·华中师大一附中高二期末）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为2111A．B．C．D．3243【答案】A【详解】 3分析：先求出基本事件总数n=A3=6，再求出2本数学书相邻包含的基本事件个数m=22AA=4，由此能求出2本数学书相邻的概率．22详解：将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，322基本事件总数n=A3=6，2本数学书相邻包含的基本事件个数m=A2A2=4，42∴2本数学书相邻的概率为p=．63故选A题型五：分配问题1．（浦城县第三中学）有5位同学报名参加叁个活动小组，每人限报一个小组且每个小组都有人参加，则不同的报名方法共有（）A．99种B．106种C．132种D．150种【答案】D【详解】有5位同学报名参加叁个活动小组，每人限报一个小组且每个小组都有人参加，各个小组的人数可能为2,2,1或3,1,1，22C5C3333所以不同的方法数有2A3C5A39060150.A2故选：D2．（山东兰陵四中）2021年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”58周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排5位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【详解】22由题意可知，一所2人，一所3人，所以分配方案有C5A220种.故选：C3．（广东潮州·高二期末）疫情期间，潮州某医院安排4名医生到湖北3个不同的医院支援，每名医生只去一个医院，每个医院至少安排一名医生，则不同的安排方法共有（）A．18种B．36种C．6种D．72种【答案】B【详解】解：根据题意，分2步进行分析：21①先在4人中选出2人，安排到其中一家医院，有C4C318种安排方法， 2②将剩下2人安排到其他医院，有A22种情况，则有18236种不同的安排方法；故选：B.4．（重庆市广益中学校）为支援山区教育发展，区教委计划派6名教师去石柱､丰都､奉节三个区县支教，若每个区县至少派遣1名教师，则不同的选派方案为（）A．360B．960C．90D．540【答案】D【详解】解：根据题意，每个区县至少派遣1名教师，可以分组为（1，2，3）；（2，2，2）；（1，1，4），22324C6C4分组的种数为C6C3C6360151590，A33分组后，再分配到三个区县支教，共有90A3540种故选：D5．（江苏镇江·）现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为（）A．18B．36C．72D．81【答案】B【详解】23将四人分为三组有C4=6种方案；分好的三组全排列，三项安排不同的学生有A3=6种方案，根据分步计数23原理知总共有C4A3=36种方案.故选:B6．（河南商丘·高二期末（理））某社区在劳动节安排7名志愿者到两所小学开展志愿服务活动，要求每名志愿者只去一所小学，每所小学至少安排2人，则不同的分配方案数是（）A．56B．77C．91D．112【答案】D【详解】解：7名志愿者分成两组，每组不少于2人，一组2人另一组5人，或一组3人另一组4人，所以不同的分配2232方案数为C7A2C7A2112．故选：D7．（河北运河·沧州市一中）安排4名大学生去3所学校支教，每人只能去一个学校，每个学校至少分配一名大学生，则不同的分派方法共有（）A．36种B．24种C．18种D．12种【答案】A 【详解】2解：由题意可知，先将4名大学生分成3组，其中1组2人，其它2组各1个，有C4种方法，然后将这33组分配到3个学校有A3种方法，23由分步乘法原理可得，共有C4A36636种方法，故选：A8．（渝中·重庆巴蜀中学高二期末）为做好社区新冠疫情防控工作，需将五名志愿者分配到三个社区去开展工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必须去同一个社区，则不同的分配方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【详解】若分组情况为3人，1人，1人，13则共有C3A318种可能，若分组情况为2人，2人，1人，23则共有C3A318种可能，共有181836种可能，故选：D9．（湖北高二期末）某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有（）种不同的方法．A．30B．48C．120D．60【答案】D先选出2名同学安排到甲社区，再把剩下的3名同学分成两组，分配到其他两个社区：222CCA60．532故选：D．10．（河南郑州·（理））九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A．12B．18C．24D．30【答案】D【详解】233依题意不同的分配方案种数为C4A3A336630.故选：D 11．（哈尔滨市第三十二中学校高二期末（理））将4个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（）不同分分配方法.A．18B．4C．3D．12【答案】C【详解】1解：依题意，名额分配为：1,1,2，从三个班选一个班分配2个名额有C33种，故不同的分配方法有3种；故选：C12．（陕西省黄陵县中学高二期末（理））将7支不同的笔全部放入两个不同的笔简中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有（）A．56种B．84种C．112种D．28种【答案】C【详解】23由题可得需将7支不同的笔分为两组，则可分2和5，3和4两种情况，共有C7C756种，2再将分好得两组放入不同的笔筒，则共有56A2112种放法.故选：C.13．（福建三明·高二期中）甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有（）A．6种B．18种C．36种D．72种【答案】B【详解】首先分组，甲、乙已经分为一组，22痧42则剩下4人分成两组，共有3种可能，2A23再分配到三个社区可得：3A318，故选：