2024年中国科学技术大学创新班营（一）数学考试真题

2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题2024年3月30日本次考试共五道解答题，每题20分，共计100分；考试时间是8:30-10:10，共100分钟。一、X是从{1,2,,9}中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，Y是从{1,2,,8}中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数。求X>Y的概率.二、a=2x+3,a=2a+3，求所有的x≥−1，使得{a}中有无穷多项为正整数.1n+1nn2三、求所有的a，使x+ax+2≥x+1对∀x∈R恒成立.2四、f(x)是2024次多项式，f(x)=f(x)f(x+2)，求f(x).五、z=z=z=1,z+z+z=n−2+i，求Re(z)的值.12n12n1min学科网（北京）股份有限公司 2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题解答一、解：若X中含9，则X>Y。2C1128有P(X中有9)==，则P(X中无9)=1−=；3C33393C118在X中无9的情况下：P(X=Y)===333C⋅CC568881155此时，P(X>Y)=P(X<Y)=×(1−)=2561121255111所以，P(X>Y)=P(X<Y)=+×=33112168二、解：由题可知，a>0n若a>a，则2a+3>2a+3，即a>a；n+1nn+1nn+2n+1若a<a，则2a+3<2a+3，即a<a；n+1nn+1nn+2n+1①当x>3时，可用数学归纳法证a>3，na=2x+3>31若a>3，则a=2a+3>3，(a−3)(a+1)>0kk+1knn2⇔a>2a+3nn⇔a>2a+3=annn+1则数列{a}递减，不存在无穷多项为正整数.n②当−1<x<3时，同①可用数学归纳法证：a<3且{a}递增.nn则不存在无穷多项为正整数.③当x=−1时，a=1<3，同②可用数学归纳法证：a<3且{a}递增，1nn则不存在无穷多项为正整数.④当x=3时，{a}为常数列，符合要求.n综上，x=3时，存在无穷多项为正整数.学科网（北京）股份有限公司 22三、解：①x+ax+2有零点x，则0=x+ax+2≥x+1.000若x=−1时，有1+a⋅(−1)+2=0⇒a=3，02则x+3x+2≥x+1在x=−2时矛盾，舍弃.22②x+ax+2不存在零点，则x+ax+2>0只须22x+ax+2≥x+1⇒x+(a−1)x+1≥02∴∆=(a−1)−4≤0∴−1≤a≤3同时满足22x+ax+2≥−x−1⇒x+(a+1)x+3≥02∴∆=(a+1)−12≤0∴−1−23≤a≤23−1综上，−1≤a≤23−1为所求.四、解：若z为f(x)的一个复数根，022则f(z)=f(z)f(z+2)=0，即z也为一个复数根,000024那么z,z,z,均为f(x)根.00024若z≠1，则z,z,z均不同，则f(x)有无穷根，矛盾.00002由f[(x−2)]=f(x−2)f(x)2故(z−2)也未一个根0所以z−2=1.0令z=a+bi，则有022a+b=1⇒a=122(a−2)+b=1则仅有x=1一个解.2024综上，f(x)=(x−1).学科网（北京）股份有限公司 五、解：令z=x+yi，z=a+bi,k=2,3,n.1kkkx+a2+a3++an=n−2有y+b+b++b=123n柯西不等式：22222(n−1)(a+a+a)≥(a++a)=(n−2−x)23n2n22222(n−1)(b+b+b)≥(b++b)=(1−y)23n2n22相加(n−1)≥=(n−2−x)+(1−y)①（一个圆盘）22同时，x+y=1②（一个圆环）联立①②，解得：2−2n+9n−10±4n−5x=22(n−4n+5)2−2n+9n−10−4n−5所以Re(z)=。1min22(n−4n)+5学科网（北京）股份有限公司