辽宁名校联盟2023-2024学年高一下学期3月联合考试数学试题+答案

绝密★启用前辽宁省名校联盟2024年高一3月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数fx()=+−xln3(x)的定义域为（）A.[0,+∞)B.(3,+∞)C.[0,3)D.[0,3]2.下列函数中是增函数的是（）xA.fx()=log1xB.fx()=22323C.fxx()=D.fx()=x3.已知平面向量ab,不共线，AB=+46,abBC=−+a3,bCD=+a3b，则（）A.ABD,,三点共线B.ABC,,三点共线C.BCD,,三点共线D.ACD,,三点共线7π4.下列与终边相同的角的表达式中正确的是（）4ππππA.2kkπ−∈(Z)B.2kkπ−∈(N)C.2kkπ+∈(Z)D.2kkπ+∈(N)44445.在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（）1111A.B.C.D.106536.某校学生会皮尔逊统计小组联合李比希有机化学小组对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种学科网（北京）股份有限公司 标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述一定错误的是（）A.这组数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.这组数据中可能有极端大的值D.这组数据中的众数可能和中位数相同7.已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（）A.2B.4C.6D.8−x8.已知xx12,是方程e+=2lnx的两个解，则（）11A.0<<xxB.<<xx11212ee2C.1e<<xx12D.ee<<xx12二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）1A.“<1”是“a>1”的充分不必要条件aB.“x≠0”是“xx+>0”的必要不充分条件C.若ab,∈R，则abab+=+的充要条件是ab>0D.222a++=++bcabbcca的充要条件是abc==10.下列说法中正确的是（）A.若a=0，则a=0B.若a与b共线，则ab=或ab=−C.若ee12,为单位向量，则ee12=aD.是与非零向量a共线的单位向量a11.已知函数fx()的定义域为R，且fx()是奇函数，fx(+1)是偶函数，则（）A.f(01)=B.fx()是周期函数C.fx(+3)为偶函数D.fx(+5)为奇函数学科网（北京）股份有限公司 2−−x2ax12.已知函数fx()=e(a∈R)，则（）A.若fx()是偶函数，则a=0B.无论a取何值，fx()都不可能是奇函数C.fx()在区间[−+a,∞)上单调递减D.fx()的最大值小于1三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.213.函数yx=3,1−x0的值域为__________.14.甲､乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为__________.715.当x>1时，2x+的最小值为__________.x−12−++<xx450,16.已知关于x的不等式组2的解集中存在整数解且只有一个整数解，则k的取值范围25xxxk+<−(25+)为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）11（1）已知−1a2+的值；aa+=3，求aln22（2）求值：e+(lg5)+⋅+lg5lg2lg20.18.（12分）如图，在ABC中，DEF,,分别是边ABBCAC,,上的动点，O为AE与DF的交点.（1）证明：AE=λAB+−(1λλ)AC,∈[0,1]；1（2）当AD=ABEF,,分别是边BCAC,的中点时，用ABAC,表示AO.3学科网（北京）股份有限公司 19.（12分）225−m已知幂函数fx()=−−(m22m)x的图像与坐标轴无交点.（1）求fx()的解析式；（2）解不等式fx(+>12)fx(−).20.（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且要求奖金不低于7万元，不超过年产值的15%.15x−330（1）若该地方政府采用函数y=作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该x+8企业可获得多少奖金？15xa−2（2）若该地方政府采用函数y=作为奖励模型，试确定满足题目所述原则的最小正整数a.x+821.（12分）12xlog3(x−4)已知集合Mx=2256,Nx=4.16log423（1）求MN∪；x−11（2）若对任意的xMNa∈∪,1+>⋅a恒成立，求a的取值范围.222.（12分）1已知函数fx()=+∈ax(R).x21+1（1）当a=−时，判断fx()的奇偶性，并给出证明；22（2）当a=0时，若f(24x−+x)fkx(+<31)对任意正实数x都成立，求k的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解折x0,1.C【解析】由题意得解得03x<，故fx()的定义域为[0,3).故选C项.3−>x0,x2.D【解析】对于A项，fx()=log1x为区间(0,+∞)上的减函数，A项错误；对于B项，fx()=22323为R上的减函数，B项错误；对于C项，fxx()=在R上不单调，C项错误；对于D项，fx()=x为R上的增函数，D项正确.故选D项.3.D【解析】因为AB+==+=BCAC393abCD，所以AC∥CD，且线段AC与CD有公共点C，所以ACD,,三点共线，故D项正确，A，B，C项错误.故选D项.7ππ4.A【解析】与终边相同的角为2kkπ−∈(Z).故选A项.445.C【解析】不超过10的正奇数有1,3,5,7,9，共5个，从中随机抽取2个，有10种情况，其中孪生素数21有{3,5},{5,7}，共2种情况，由古典概型可知这2个奇数是孪生素数的概率为=.故选C项.1056.B【解析】若这组数据是近似对称的，则这组数据的中位数与平均数相同或相近，其他选项都有可能.故选B项.7.C【解析】由弧长公式得弧长lr=⋅=×=θ122，所以扇形的周长为246+=.故选C项.−x8.B【解析】设y=+=e2,yxln，分别作出两个函数的图像，如图所示：xx<，则由图像知0<xx<1,>1，则e−−xx12+=2lnxx=−ln,e+=2lnxx=ln，两式相不妨设12121122e−−xx21−=+=elnxlnxlnxx，因为e−x−−xx21减得21(12)y=为减函数，所以ee<，即e−−xx21−=eln(xx)<0，则01<<xx.因为2<lnxx<−ln<3，所以-3<lnx<−2，可得121221111231123132<<xx12,e<<e，则32⋅<<⋅eexx12，即<<xx12e，因为01<<xx12，所以eeeee1<<xx1.故选B项.12e二､选择题学科网（北京）股份有限公司 11−a19.BD【解析】由−=10<，解得a<0或a>1，所以“<1”是“a>1”的必要不充分条件，故Aaaa项错误.若x≠0，当x>0时，xxxx+=+>0，当x<0时，xxxx+=−=0，故充分性不成立；若xx+>0，则x>0，故必要性成立.所以“x≠0”是“xx+>0”的必要不充分条件，故B项正确.当ab>>0,0时，abababab+=+,+=+，所以abab+=+成立；当ab<<0,0时,,ab+=−+(abab)+=−+(ab)，所以abab+=+成立；当ab=0时，abab+=+也成立.所以abab+=+的充分不必要条件是ab>0，故C项错误.222a++=++bcabbcca等价于2222222(a++=++bc)222abbcca，即()()()0ab−+−+−=cabc，所以abc==，故222a++=++bcabbcca的充要条件是abc==，故D项正确.故选BD项.10.AD【解析】易知A,D项正确；共线向量不一定模相等，B项错误；单位向量可能方向不同，C项错误.故选AD项.11.BC【解析】因为fx(+1)是偶函数，所以fx()的图像关于直线x=1对称，即fxfx(−=)(2+)，又fx()是定义在R上的奇函数，所以fx(−=−)fxf(),00()=，于是f(2+=x)−fx()，即f(42+=x)−+=fx()fx()，所以fx()是以4为一个周期的周期函数，故A项错误，B项正确；设gx()=fx(+3)，则gxfx(−=−+=−+=)(31)f(xfx)(+3)，即gxgx()=(−)，所以fx(+3)为偶函数，故C项正确；设hx()=fx(+5)，则hxfx(−=−+=)(535)fx(−=)fx(+)，即hxhx()=(−)，所以fx(+5)为偶函数，故D项错误.故选BC项.22−−x22ax−+xax12.ABC【解析】对于A项，若fx()是偶函数，则fx()=ee==fx(−)，即可得a=0，2故A项正确；对于B项，fx()不过点(0,0)，故B项正确；对于C项，y=−−x2ax在[−+a,∞)上单调x递减，又y=e在R上单调递增，所以fx()在[−+a,∞)上单调递减，故C项正确；对于D项，2222xa2−−=−++x2()axxaaa，又y=e在R上单调递增，所以fx()的最大值为e，所以最大值大于等于1，故D项错误.故选ABC项.三､填空题213.[0,1]【解析】当−10x时，yx=3在[−1,0]上单调递减，所以01y.学科网（北京）股份有限公司 14.0.8【解析】记该题被甲独立解出为事件A，该题被乙独立解出为事件B，由题意可知PA()=0.7,PAB(∪=)0.94.因为事件AB,相互独立，所以PABPAPB()=⋅=()()0.7PB().又PABPAPBPAB(∪=)()+()−()=0.3PB()+=0.70.94，所以PB()=0.8.15.214+2【解析】因为x>1，所以x−>10，所以77772xx+=21(−+)+2221(x−⋅)+=22142+，当且仅当21(x−=)，即xx−−11x−1x−114x=+1时等号成立.2216.[−∪6,2)(3,4]【解析】由xxxx−−=−45(510)(+>)，得x<−1或x>5，所以2225525x+++=++<(k)xk(x)(xk)0的解集与{1xx∣<−或x>5}的交集中存在整数解且只有一个整525数解.当k<时，22550xkxk+++<()的解集为x−<<−xk，此时−<−26k，即−<62k，22525满足要求；当k=时，22550xkxk+++<()的解集为∅，此时不满足题设；当k>时，222522550xkxk+++<()的解集为xkx−<<−，此时−43−<−k，即34<k，满足要求.综上，2k的取值范围为[−∪6,2)(3,4].四､解答题17.解：（1）由−1aa+=3，得a>0，211−22−1所以aa+=++=aa25，11因为−，aa22+>011−.所以aa22+=5ln22（2）e+(lg5)+⋅+lg5lg2lg20=+⋅++2lg5lg5lg2()lg20=++2lg5lg20学科网（北京）股份有限公司 =2lg520+×()=+2lg100=4.18.（1）证明：因为E是边BC上的动点，所以存在m∈[0,1]，使得BE==mBCmAC(−=−AB)mACmAB，所以AE=+=−ABBE(1mABmAC)+.令1−=mλ，则m=−1λ，因为m∈[0,1]，所以λ∈[0,1]，所以AE=λAB+−(1λλ)AC,∈[0,1].（2）解：因为EF,分别是边BCAC,的中点，1所以EF=ABEF,∥AB，所以AOD∼EOF，212又AD=AB，所以AD=EF，332所以AO=AE，511又AE=+=+AFFEACAB，2211所以AO=AB+AC.5519.解：（1）因为fx()是幂函数，所以2mm−−=221，即(mm−3)(+=10)，解得m=3或m=−1.又fx()的图像与坐标轴无交点，所以m=3，−4故fxx()=.−4（2）因为fxx()=是偶函数，且当x∈+(0,∞)时单调递减，所以要使fx(+>12)fx(−)成立，则只需xx+<−12且x≠−1且x≠2，1故原不等式的解集为{|xx<且x≠−1}.2学科网（北京）股份有限公司 1592330×−20.解：（1）当x=92时，y==10.5，928+因为9215%13.8×=，所以710.513.8<<，符合要求，故该企业可获得10.5万元奖金.15xa−215(xa+−−8)1202（2）yfx=()===15−xx++881202+a，x+8因为a为正整数，所以fx()在[50,500]上单调递增，1202+a由题意知15−7对x∈[50,500]时恒成立，x+8解得a172.1202+a又15−0.15x，x+822即2axxx−+=0.1513.8−−+0.15(46)317.4在x∈[50,500]时恒成立，2即2a−×−+0.15(5046)317.4=315,所以正整数a158.综上,158aa172,∈Z，故最小正整数a的值为158.12xx−42821.解：（1）因为Mx=2256={x∣222}={xxxx∣∣−=428}{−24}.16log3(x−4)log3(x−4)由4，得14，4log243log23log3(x−4)所以1，log23即log2(x−4)1，解得x6，所以N={xx∣6}，所以MN∪=−∪+2,4][6,∞).学科网（北京）股份有限公司 x1（2）当xMN∈∪时，因为y=单调递减，2x111所以∈∪0,,4，26416x1因为对任意的2恒成立，xMNa∈∪,1+>ax1所以当a>0时，则aa(+>1)，即aa(+>14)，2171−因为a>0，所以解得a>；2x1当a<0时，则aa(+<1)，即aa(+10)，2因为a<0，所以解得−<10a.171−综上，a的取值范围是[−∪1,0),+∞.211122.解：（1）当a=−时，fx()=−为奇函数.x2212+证明如下：1fx()的定义域为R，因为fxfx(−+)()=−−x21+x11121+−=+−10=，xxx22122121+++故fx()为奇函数.1（2）当a=0时，fx()=，x21+111由（1）知gx()=fx()−=−为奇函数，x2212+2故由f(24x−+x)fkx(+<31)，211可得f(24x−x)−<−fkx(+−3)，222即g(24x−x)<−gkx(+3)=g(−−kx3)，学科网（北京）股份有限公司 又gx()在R上单调递减，所以224x−x>−−kx3在x∈+(0,∞)时恒成立，2即2xkx+−(430)+>在x∈+(0,∞)时恒成立.2①当Δ=−−<(k4)240，即k∈−(426,426+)时，符合题意；22②若Δ=−−(k4)240，即k∈−(∞∞,426−]∪+[426,+)时，因为方程2xkx+−(430)+=的两324−k根之积为，所以只需函数yxkx=+−+2(43)图像的对称轴x=<0，解得k>4，所以24k426+.综上，k的取值范围为(426,−+∞).学科网（北京）股份有限公司