2024届华大新高考联盟高三3月联考数学试卷+答案
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华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评数学命题：本试题卷共4页，共19题。全卷满分150分，考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。20231．若z⋅+=−(2i)3i，则z的虚部为71A．－1B．C．−D．15522．已知集合Axxt={|=+−t2}，Bxxx={|2−−<790}，则图中阴影部分表示的集合为99A．{|1xx−<<}B．{|1xx−<<2}C．{|xx>−1}D．{|xx≥}223．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），X～N（2，4），对应的曲线为C，B地员工的上班迟到时间为11Y（单位：min），Y～N（3，），对应的曲线为C，则下列图象正确的是29学科网（北京）股份有限公司,A．B．C．D．4．已知m=(3,6)，n=−(3,)λ，若mn,n+=°120，则λ＝3A．−3B．−23C．－3D．−2πcos(α−)251−445．若=，则sinαα+=cossin2α211−555+55+11−5A．B．C．D．1212161626．已知抛物线Cy:=2pxp(>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为P，过点F的直线l′与C交于M，NS△OMF249两点，若=，且||MN=，则S△PMN=S55△ONF28102810285565A．B．C．D．51055227．已知实数a，b满足abab+−−=||||0，则|ab+−3|的最小值与最大值之和为A．4B．5C．6D．78．已知正方体ABCD−ABCD的边长为4，其中点E为线段BC的中点，点F，G分别在线段CD，1111111BD上运动，若||||GE+GF≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为11025252A．(,−∞]B．(,]−∞C．(−∞,52]D．(,]−∞332二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题学科网（北京）股份有限公司,目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。3119．已知正数m，n满足+=22，则mn1223mn−2A．mn≥B．mn+≥2C．mn+≥D．∃mn,∈(0,+∞),()≥mn222mn10．六氟化硫，化学式为SF，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在6电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则23A．该正八面体结构的表面积为23mB．该正八面体结构的体积为2m222πmC．该正八面体结构的外接球表面积为2πmD．该正八面体结构的内切球表面积为3x−2211．若关于x的不等式e+−x≥2axxlnx在（0，＋∞）上恒成立，则实数a的值可以是11eA．B．C．D．2e23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。x12．若函数fx()=⋅sinx[log(9+−2)mx]的图象关于原点对称，则m＝________．3113．已知平面凸四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中DC=AB，3sin∠⋅∠=∠⋅∠BADtanABDsinABDsinADB，则∠ADB＝________；若|DC|2=，则四边形ABCD的面积的最大值为________．22xy14．已知双曲线C:−=>>1(ab0,0)的左、右焦点分别为F，F，点P在双曲线C上，且2212ab∠=OPF90°，FP=PQ，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．22四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。学科网（北京）股份有限公司,15．（13分）小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动．若参与A游戏，则每次胜利可以获得该商场150元的代金券；若参与B游戏，则每次胜利可以获得该商场200元的代金券；若参与C游戏，则每次胜利可以获得该商场300元的代金券．已知每参与一次游戏需要成本100元，且小甲每次游戏胜利与否相互独立．（1）若小甲参加4次A游戏，每次获胜的概率为pp(0<<1)，记其最终获得450元代金券的概率为F（p），求函数F（p）的极大值点p；0241（2）在（1）的条件下，记小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为p，p，p．若小甲只玩一次000372游戏，试通过计算说明，玩哪种游戏小甲获利的期望最大．4516．（15分）已知三棱台ABC−ABC如图所示，其中AC=24BC=BC=AB=4，11111115AABBCC==．111（1）若直线l⊂平面ABBA，且l⊥AB，求证：直线l⊥平面ABC；11（2）若平面ABC与平面ABC之间的距离为3，求平面ABB与平面ACB所成角的余弦值．11111112x217．（15分）已知椭圆Cy:1+=的左、右焦点分别为F，F，左、右顶点分别为A，A，点P，Q12122在椭圆C上，P，Q异于A，A．12（1）若直线PA与直线x=22交于点Dy(22,)，直线PA与直线x=22交于点Ey(22,)，求1D2Eyy的值；DE3π（2）若P，Q，F三点共线，且△PQF的内切圆面积为，求直线PQ的方程．2116学科网（北京）股份有限公司,m18．（17分）已知函数fx()=ln(x++1)x．3（1）若m=−3，求证：fx()0；2πx（2）讨论关于x的方程fx()+=sin0在（－1，2）上的根的情况．3π2aab,,≥bab,,≥19．（17分）定义：max{,}ab=min{,}ab=已知数列{}a满足nbab,,<aab,,<a+=min{aa,}max{aa,}．nnn++12nn++12（1）若a=2，a=3，求a，a的值；2314**（2）若∀∈nn，∃∈kn，使得aa恒成立．探究：是否存在正整数p，使得a=0，若存在，求出pnkp的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；*（3）若数列{}a为正项数列，证明：不存在实数a，使得∀∈nn,aa．nn学科网（北京）股份有限公司,华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评数学参考答案和评分标准一、选择题题号1234567891011答案cdbadacaadacdab1．【答案】c【命题意图】本题考查复数的概念、复数的四则运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．20233i−(3i)(2i)+−63i2i1−++711【解析】依题意，z====−i，则z的虚部为−，故选c．2i+(2i)(2i)+−55552．【答案】d【命题意图】本题考查不等式的解法、集合的运算、韦恩图，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．9【解析】依题意，axx={|≥2}，bxxx={|(29)(1)0}{|1−+<=x−<<x}，故阴影部分表示的集合为29{|xx≥}，故选d．23．【答案】b【命题意图】本题考查正态分布的图象与性质，考查逻辑推理、直观想象的核心素养．221【解析】由µµxy=<=23，故曲线c1的对称轴在曲线c2的左侧，排除c、d；由σσxy=>=4，故9曲线C比曲线C瘦高，曲线C比曲线C矮胖，排除A，故选B．21124．【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的数量积、平面向量的概念，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．261λλ+【解析】依题意，mn+=(0,6+λ)，cosmnn+=,=−，则−<<60λ，故|λλ+⋅+6|922(6+λλ)λ1==−，解得λ=−3，故选A．(6++λλ)9229+λ25．【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式、三角函数恒等变换，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．πcos(α−)2sinα151−51+235+【解析】===，得cosα=，则cosα=，sin2α2sinααcos2cosα2482255−sinαα=1cos−=，故8学科网（北京）股份有限公司,442222255351−+−15sinαααα+cos=(sin+cos)−2sinααcos=−×12×=，故选D．88166．【答案】A【命题意图】本题考查抛物线的方程、焦点弦的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．S△OMF||2MF1cos−θ2【解析】记直线l′的倾斜角为θ，不妨设0°<<θ90°，则==，即=，得S||5NF1cos+θ5△ONF322102p49cosθ=，则sinθθ=1cos−=，则||MN==，解得p=4，故277sinθ52p162810SS==22⋅==，故选A．△PMN△OMN2sinθ210577．【答案】C【命题意图】本题考查点到直线的距离、圆的方程，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．22|ab+−3|【解析】易知点（a，b）在曲线Cxyx:+−−=||||0y，曲线C关于原点中心对称；而d=表2示曲线C上的点（a，b）到直线lxy:+−=30的距离，可知临界状态为直线l与曲线C分别在第一、三象252限相切，则d的最小值为，最大值为，故|ab+−3|的最小值与最大值之和为156+=，故选C．228．【答案】A【命题意图】本题考查抛物线的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】作点E关于线段DB的对称点E，过点E作DC，AB的垂线，垂足分别为F，H，则111111GEGF+=+EGGF≥EF，设∠=EBAθ，则1111学科网（北京）股份有限公司,2211122sinθ=∠−sin(ABD∠CBD)=×−×=，故EH=BEsinθ=，1111133333322102102EF=−=42，故实数λ的取值范围为(,−∞]，故选A．11333二、选择题9．【答案】AD【命题意图】本题考查基本不等式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．3111112【解析】+=222≥⋅，则mn≥，当且仅当mn==时等号成立，故A正确；mnmn2222223m+n≥21mn≥，当且仅当mn==时等号成立，故B错误；若mn==，则mn+=<2，222mn−222111141故C错误；()≥mn⇔−()4≥mn⇔+()4≥mn+⇔+mn2，而2mnmnmnmnmn11mn+≥22mn⋅=，当且仅当mn=1时等号成立，故D正确；故选AD．mnmn10．【答案】ACD【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．322【解析】该正八面体结构的表面积S=××=8mm23，故A正确；该正八面体结构的体积41232322V=×××2mmm=，故B错误；该正八面体结构的外接球表面积S′=π×=(2)2mmπ，故3223322VmmC正确；该正八面体结构的内切球半径r===，故内切球的表面积2S23m23222mm2πS′′=4π×=()，故D正确；故选ACD．23311．【答案】AB【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．x−2e1【解析】依题意，+−12ax+lnx≥0在（0，＋∞）上恒成立，当a时，x2xx−−22eexx−−2lntt+−12axx+ln≥+−+1xxln=e+−+1xxln，令ht()e=−−t1，ht′()e1=−，故当xxxx−−2lnt∈−∞(,0)时，ht′()0<，当t∈(0,+∞)时，ht′()0>，故ht()>=h(0)0，故e+−+1xxln≥0，则学科网（北京）股份有限公司,1不等式成立；当a>时，令ux()=−−x2lnx，因为u(1)=−<10，u(4)=22ln2−>0，故u（x）在2x，则xx−=2ln，则ex0−2=x，故（1，4）内必有零点，设为0000ex0−21+−12ax+lnx=−(12)ax<0，不合题意，舍去；综上所述，a，故选AB．000x20三、填空题112．【答案】．2【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．xx2m【解析】易知f（x）为奇函数，则gx()=log(9+2)mx−=log(3+)为偶函数，即gxgx()−=()，33x3−−xxxx1log(3+⋅=2mm3)log(3+⋅23)，则21m=，则m=．33213．【答案】90°（2分），12（3分）．【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．sin∠ABDsin∠BAD【解析】依题意，sin∠⋅BAD=∠⋅∠sinABDsinADB，得=cos∠ABD；在△ABDcos∠ABDsin∠ADB222BDAB+−BDAD222中，由正、余弦定理可知，=，整理得AD+=BDAB，故∠=°ADB90；因AB2ABBD⋅1122为DC=AB，故SS=；又|DC|2=，则||6AB=，而AD+=BD36，故△BCD△ABD3322422AD+BDS=+==⋅⋅SSSADBD=12，当且仅当AD=BD=32时等号ABCD△ABD△BCD△ABD3332成立．14．【答案】13．【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】依题意，OP⊥PF，而O为线段FF的中点，且FP=PQ，则QF⊥QF，令||PF=m，则2122122||2PF=m+a，|QF|2=m，|QF|22=m−a，在Rt△QFF和Rt△QFP中，由勾股定理可得，121121222(2mamc−+=2)44,222c(2mamma−+=+2)(2),解得ca=13，则e==13．222acab=+,学科网（北京）股份有限公司,四、解答题15．【命题意图】本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的期望，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．【解析】（1）依题意，小甲获胜3次且失利1次，3343则Fp()=Cp(1−=−+p)4p4p,0<<p1，4322故fp′()=−+16p12p=−+4p(4p3)，3令fp′()0=，解得p=，433故当p∈(0,)时，fp′()0>，当p∈(,1)时，Fp′()0<，44333则F（p）在(0,)上单调递增，在(,1)上单调递减，故p=；0444133（2）由（1）可知，小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为，，；278记Z＝代金券金额－100，11若小甲参加A游戏，则EZ()=×+×−50(100)=−25；12234100若小甲参加B游戏，则EZ()=×100+×−(100)=−；27773525若小甲参加C游戏，则EZ()=×200+×−(100)=；3882因为EZ()()()<<ezez，故小甲选择c游戏获利的期望最大．12316．【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】（1）依题意，bc=2，bc=1，ab=5，1111证明：如图所示，延长三条侧棱交于点d；由aabbcc==可得，da=db=dc，且abc,,分别为线段da，db，dc的中点，111111取ab的中点m，则dm⊥ab；222又ac+=bcab，∴⊥cacb；∴=amcm，则△dam≅△dcm，故∠=dma∠=dmc90°，即dm⊥mc，而abmc=m，故dm⊥平面abc，又dm⊂平面abba，故平面abba⊥平面abc；1111而直线l⊂平面abba，l⊥ab，平面abba平面abc=ab，1111故直线l⊥平面abc；学科网（北京）股份有限公司,（2）以c为坐标原点，ca、cb所在直线分别为x、y轴，过点c作垂直于平面abc的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系；11则a（4，0，0），d（2，1，6），b（0，2，0），a(3,,3)，c(1,,3)；1122设n=(,,)xyz为平面abb的一个法向量；111111ab⋅=−+=n4x2y0,111由求得平面abb11的一个法向量n1=(1,2,0)，ad⋅=−++=n2xy6z0,1111设n=(,,)xyz为平面acb的一个法向量；2222113bc⋅=−nxy+=3z0,12222由求得平面acb11的一个法向量n2=(0,2,1)，ba⋅=−n3x3y+=3z0,1222244而|cosnn12,|=，所以平面abb11与平面acb11所成角的余弦值为．5517．【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】（1）依题意，a(−2,0)，a(2,0)，f(1,0)−，f(1,0)；121222x1222−x1设pxy(,)，则+=y1，即y=；111122y132y1直线pay:=(x+2)，令x=22，则y=；1dx+2x+211学科网（北京）股份有限公司,y12y1直线pa:y=(x−2)，令x=22，则y=；2ex−2x−21122−x126⋅32yyy262111故yy=⋅===−3；de22xx+−22xx−−221111（2）设点qxy(,)，依题意知直线pq的方程为x=+≠my1(m0)；222x222与椭圆+=y1联立，消去x整理得(m+2)y+2my−=10；22m1显然∆>0成立，故yy+=−，yy=−，122122m+2m+2由椭圆定义得△PQF的周长为442a=；13136而△PQF的内切圆半径为，则△PQF的面积S=××=42；11424216又由S=⋅||FF⋅−=−||yy||yy，得||yy−=；1221122122232m243从而得(y+−=y)4yy，即()−+=，2112222mm++222422整理得3mm−4−=40，解得m=2，故m=±2，故直线PQ的方程为xy±210−=．18．【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】（1）依题意，fx()=ln(x+1)−xx,∈−+∞(1,)，1故fx′()=−1，x+1令fx′()0=，解得x=0，故当x∈−(1,0)时，fx′()0>，当x∈(0,+∞)时，fx′()0<，故f（x）在（－1，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故fxf()(0)=0；2πxx2π（2）依题意，fx()+sin=⇔03ln(x+++1)mxsin=0，3π2π22πx令gx()=3ln(x+++1)mxsin，π23πx3ππxgx′()=++cosm，gx′′()=−−sin，2x+12(x+1)22学科网（北京）股份有限公司,−−33ππxπ当x∈−(1,0)时，<=−3，−∈sin(,0)，则gx′′()0<，2(x+1)1222−3ππx当x∈(0,2)时，<0，−<sin0，则gx′′()0<，故g′（x）在（－1，2）上单调递减．2(x+1)22①当m≥0时，x∈−(1,2)时，gxg′′()=(2)=m≥0，所以g（x）单调递增．又因为g(0)=0，所以g（x）仅有1个零点；②当−<<40m时，因为gm′(0)=+>40，gm′(2)=<0，故g′（x）存在唯一的零点x，且002<<x，当xx∈−(1,)时，gx′()0>，所以g（x）单调递增；当xx∈(,2)时，gx′()0<，所以g000（x）单调递减；因为g(0)=0，故g（x）在(1,−x)上有唯一的零点0，又gx()>=g(0)0，003ln3所以若gm(2)=+<3ln320，即−<<−4m时，g（x）在[,2)x0上有唯一的零点，g（x）在（－1，23ln32）上有2个零点；若−<m0，g（x）在[,2)x0上无零点，g（x）在（－1，2）上有1个零点；2③当m=−4时，gm′(0)=+=40，当x∈−(1,0)时，gx′()0>，所以g（x）单调递增；当x∈(0,2)时，gx′()0<，所以g（x）单调递减，故gxg()(0)=0，当且仅当x=0时取等号，故此时g（x）仅有1个零点0；3④当m<−4时，注意到gx′()>−+1m，x+123+m2+m因此gm′()>−+=10，且−<10<．1−m2+m1−m+11−m又gm′(0)=+<40，故g′（x）存在唯一的零点x，−<<10x．00当xx∈−(1,)时，gx′()0>，所以g（x）单调递增；当xx∈(,2)时，gx′()0<，所以g（x）单调递减．00因为g(0)=0，故g（x）在(,2)x上有唯一的零点0，注意到gx()<3ln(x++−1)1m，0mm−−11m−1故gm(e33−<1)3lne+−=10，且−<1e3<0．又gx()>=g(0)0，因此g（x）在(1,−x]上有唯一的零点，故此时g（x）有两个零点；003ln33ln3综上所述，当m<−且m≠−4时，g（x）有两个零点；当m≥−或m=−4时，g（x）有一个零22点．学科网（北京）股份有限公司,19．【解析】（1）依题意，a=max{aa,}min{−aa,}，显然a≥0；nnn++12nn++12n故a=−=max{,}min{,}1aaaa；12323a=−=max{,aa}min{,aa}2，23434即aa−=2或aa−=2，则a=1或a=5．344344*（2）依题意，a为数列{}a的最大项，而a=max{aa,}min{−aa,}，又a≥0对∀∈nN恒knkkk++12kk++12n成立，故amax{aaa,}，kkk++12k即max{aa,}min{−−aa,}max{aa,}max{aa,}min{aa,}，故kk++12kk++12kk++12kk++12kk++12min{aa,}0=，kk++12故a=0或a=0，即pkk∈++{1,2}；k+1k+2（3）a=−>max{aa,}min{aa,}0，∴≠aa；nnn++12nn++12nn++12*设Snaan=>∈{|,N}，nn+1*①若S=∅，则aa，aaii<∈(≥2,N)，12ii+1A对任意A>0，取n=[]2①+（[x]表示不超过x的最大整数），1a1当nn>时，aaa=−()+(aa−)++−+=++++(aaaaa)aana≥(−1)1nnn−1n−−1n2322n−−2n3121AA>−=(na1)([]1)+>⋅=aaA；1n11aa11②若S≠∅，**ⅰ）若S为有限集，设m=max{|naan>∈,N}，aai<∈()N，nn+1mi+mi++1A对任意A>0，取nm=[++1]（[x]表示不超过x的最大整数），2am+1当nn>时，aaa=−()(+aa−)++(aa−)+=++++aaaaa2nnn−1n−−12nm+++−−21123mmnnmm+1AA≥()()(nma−>nma−=+>⋅[]1)aa=A；m+12m+1mm++11aamm++11学科网（北京）股份有限公司,**ⅱ）若S为无限集，设p=min{|naan>∈,N}，p=min{|naanpi>>∈,}(N)，11nn+i++11nni若pp−=1，则aaa>>，又a<max{aa,}，矛盾；ii+1ppii++12pipippii++12*故ppi−∈≥2(n）；ii+1*记mai=(∈n）；ipi+1当pp−=2时，aa>，aa<，aa>；ii+1ppii+1ppii++12ppii++23因为aaa=−，所以maa====−=>=aaaaam；pppiii+++123ip+1i+1+1(pi++2)1pi+3pi+2pi+1ppii+1i当pp−≥3时，aa>，aa<<<a，aa>ii+1ppii+1ppii++12pi+1ppii++11+1因为aaa=−，故maaaaam==−=≥=；pi+1−+11ppii++11ip++11i+1ppii++11−−12pi+1pii+1因为aaa=−，故aaaamamam=−=+≥+≥+，ppii++11++21pi+1pi+1+2ppii++11++1pipi+11i+11pi+21A故对任意A>0，取n=[]1+，当kn>时，33m1a=(a−a)+(a−a)++(a−a)+a≥−+(k1)ma>kmpppk+2kk++2−12ppkk−−1++222ppp211+++222121p1+AA>+([1])m>⋅=mA；11mm11*综上所述，不存在实数A，使得∀∈nN,aA．n综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有aA．n学科网（北京）股份有限公司</max{aa,}，矛盾；ii+1ppii++12pipippii++12*故ppi−∈≥2(n）；ii+1*记mai=(∈n）；ipi+1当pp−=2时，aa></x，当xx∈−(1,)时，gx′()0></sin0，则gx′′()0<，故g′（x）在（－1，2）上单调递减．2(x+1)22①当m≥0时，x∈−(1,2)时，gxg′′()=(2)=m≥0，所以g（x）单调递增．又因为g(0)=0，所以g（x）仅有1个零点；②当−<<40m时，因为gm′(0)=+></ezez，故小甲选择c游戏获利的期望最大．12316．【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】（1）依题意，bc=2，bc=1，ab=5，1111证明：如图所示，延长三条侧棱交于点d；由aabbcc==可得，da=db=dc，且abc,,分别为线段da，db，dc的中点，111111取ab的中点m，则dm⊥ab；222又ac+=bcab，∴⊥cacb；∴=amcm，则△dam≅△dcm，故∠=dma∠=dmc90°，即dm⊥mc，而abmc=m，故dm⊥平面abc，又dm⊂平面abba，故平面abba⊥平面abc；1111而直线l⊂平面abba，l⊥ab，平面abba平面abc=ab，1111故直线l⊥平面abc；学科网（北京）股份有限公司,（2）以c为坐标原点，ca、cb所在直线分别为x、y轴，过点c作垂直于平面abc的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系；11则a（4，0，0），d（2，1，6），b（0，2，0），a(3,,3)，c(1,,3)；1122设n=(,,)xyz为平面abb的一个法向量；111111ab⋅=−+=n4x2y0,111由求得平面abb11的一个法向量n1=(1,2,0)，ad⋅=−++=n2xy6z0,1111设n=(,,)xyz为平面acb的一个法向量；2222113bc⋅=−nxy+=3z0,12222由求得平面acb11的一个法向量n2=(0,2,1)，ba⋅=−n3x3y+=3z0,1222244而|cosnn12,|=，所以平面abb11与平面acb11所成角的余弦值为．5517．【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】（1）依题意，a(−2,0)，a(2,0)，f(1,0)−，f(1,0)；121222x1222−x1设pxy(,)，则+=y1，即y=；111122y132y1直线pay:=(x+2)，令x=22，则y=；1dx+2x+211学科网（北京）股份有限公司,y12y1直线pa:y=(x−2)，令x=22，则y=；2ex−2x−21122−x126⋅32yyy262111故yy=⋅===−3；de22xx+−22xx−−221111（2）设点qxy(,)，依题意知直线pq的方程为x=+≠my1(m0)；222x222与椭圆+=y1联立，消去x整理得(m+2)y+2my−=10；22m1显然∆></p1，4322故fp′()=−+16p12p=−+4p(4p3)，3令fp′()0=，解得p=，433故当p∈(0,)时，fp′()0></a+=min{aa,}max{aa,}．nnn++12nn++12（1）若a=2，a=3，求a，a的值；2314**（2）若∀∈nn，∃∈kn，使得aa恒成立．探究：是否存在正整数p，使得a=0，若存在，求出pnkp的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；*（3）若数列{}a为正项数列，证明：不存在实数a，使得∀∈nn,aa．nn学科网（北京）股份有限公司,华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评数学参考答案和评分标准一、选择题题号1234567891011答案cdbadacaadacdab1．【答案】c【命题意图】本题考查复数的概念、复数的四则运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．20233i−(3i)(2i)+−63i2i1−++711【解析】依题意，z====−i，则z的虚部为−，故选c．2i+(2i)(2i)+−55552．【答案】d【命题意图】本题考查不等式的解法、集合的运算、韦恩图，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．9【解析】依题意，axx={|≥2}，bxxx={|(29)(1)0}{|1−+<=x−<<x}，故阴影部分表示的集合为29{|xx≥}，故选d．23．【答案】b【命题意图】本题考查正态分布的图象与性质，考查逻辑推理、直观想象的核心素养．221【解析】由µµxy=<=23，故曲线c1的对称轴在曲线c2的左侧，排除c、d；由σσxy=>
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