2022年福建省中考数学真题（解析版）

2022年福建省初中毕业和高中阶段学校招生考试数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.－11的相反数是（）A.－11B.C.D.11【答案】D【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：－11的相反数是11故选：D.【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.如图所示的圆柱，其俯视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】圆柱体的顶部是一圆，圆柱体的俯视图应为一个圆．【详解】∵圆柱体的顶部是一个圆∴圆柱体的俯视图应为一个圆A选项是一个圆，是圆柱体的俯视图 B选项是长方形，不符合题意C选项是长方形，不符合题意D选项不是圆，不符合题意故选：A．【点睛】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．3.5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13976000用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积．【详解】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积A选项13976不是一个1与10之间的实数B选项1397.6不是一个1与10之间的实数C选项1.3976是一个1与10之间的实数，且10的幂为7，与题意相符合D选项0.13976不是一个1与10之间的实数．故选：C．【点睛】本题考查科学计数法，解题的关键是理解和掌握科学计数法的相关知识．4.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．5.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A.B.C.D.π【答案】B【解析】【分析】先根据数轴确定点P对应数的大小，再结合选项进行判断即可．【详解】解：由数轴可得，点P对应数在1与2之间，A.，故本选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故本选项不符合题意；D.，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键．6.不等式组的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集．【详解】解：由，得：，由，得：，则不等式组的解集为，故选：C．【点睛】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．7.化简的结果是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】，故选：C．【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．8.2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据折线统计图，观察图中的各个数据，根据数据信息逐项判定即可．【详解】解：结合题意，综合指数越小，表示环境空气质量越好，根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到的综合指数最小，从而可知环境空气质量最好的地区就是，故选：D．【点睛】本题考查折线统计图，根据图中所呈现的数据信息得出结论是解决问题的关键．9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：，，） A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度．【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD为BC边上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．10.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（） A.96B.C.192D.【答案】B【解析】【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形的面积为，即可求解．【详解】解：依题意为平行四边形，∵，，AB＝8，．∴平行四边形的面积=故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.四边形的外角和等于_______.【答案】360°．【解析】【详解】解：n（n≥3）边形的外角和都等于360°．12.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．【答案】6【解析】 【分析】利用中位线的性质计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，又BC=12，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键．13.一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，任意摸出1个，摸到红球的概率是．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）【答案】-5（答案不唯一）【解析】【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，∴实数k的值可以是-5；故答案为-5（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．15.推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令，等式两边都乘以x，得．①等式两边都减，得．②等式两边分别分解因式，得．③等式两边都除以，得．④等式两边都减m，得x＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．【答案】④【解析】【分析】根据等式的性质2即可得到结论．【详解】等式性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；故答案为：④．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．16.已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．【答案】8【解析】【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。【详解】解：把y=0代入得：，解得：，，把y=0代入得：，解得：，，∵，∴，∴，即， ，令，则，解得：，，当时，，解得：，∵，∴不符合题意舍去；当时，，解得：，∵，∴符合题意；综上分析可知，n的值为8．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．【答案】【解析】【分析】分别化简、、，再进行加减运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的化简，零指数次幂以及二次根式的加减运算，正确进行化简运算是解题的关键．18.如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D． 【答案】见解析【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：∵BF＝EC，∴，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．【详解】解：原式．当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．20.学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为． （1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．【答案】（1）活动前调查数据的中位数落在C组；活动后调查数据的中位数落在D组（2）1400人【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（2）该校学生一周的课外劳动时间不小于3h为D、E、F组，用该校总人数乘以所占百分比即可．【小问1详解】活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，∴活动前调查数据的中位数落在C组；活动后，A、B、C三组的人数为（名），D组人数为：（名），15+15=30（名）活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，∴活动后调查数据的中位数落在D组；【小问2详解】一周的课外劳动时间不小于3h的比例为，（人）；答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，中位数的定义等，解题的关键是理解题意，从图中找到解题的信息．21.如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．【小问1详解】∵，，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．【小问2详解】连接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF， 又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的长．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．22.在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．【答案】（1）购买绿萝38盆，吊兰8盆（2）369元【解析】福建各地各科资料分享QQ群235973357【分析】（1）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，根据题意建立方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，总费用为，得到关于的一次函数，再建立关于的不等式组，解出的取值范围，从而求得的最小值．【小问1详解】设购买绿萝盆，购买吊兰盆∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆∴∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元∴得方程组解方程组得∵38>2×8，符合题意∴购买绿萝38盆，吊兰8盆； 【小问2详解】设购买绿萝盆，购买吊兰吊盆，总费用为∴，∴∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍∴将代入不等式组得∴∴的最大值为15∵为一次函数，随值增大而减小∴时，最小∴∴元故购买两种绿植最少花费为元．【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识．23.如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．【答案】（1）作图见解析（2）【解析】 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；（2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为．【小问1详解】解：如图所示，⊙A即为所求作：【小问2详解】解：根据题意，作出图形如下：设，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又，∴四边形AEFG是正方形， ∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值为．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．24.已知，AB＝AC，AB＞BC．（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若 ，求∠ADB的度数．【答案】（1）见解析（2），见解析（3）30°【解析】【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出，再根据三角形内角和，得到，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，证得，得到，设，，则，得到α+β的关系即可．【小问1详解】∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC菱形；【小问2详解】福建各地各科资料分享QQ群235973357结论：．证明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴； 【小问3详解】在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，设，，则，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即∠ADB＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，或（3，4）（3）存在，【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据 ，根据二次函数的性质即可求的最大值．【小问1详解】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以抛物线的解析式为．【小问2详解】设直线AB解析式为，将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以直线AB的解析式为．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．所以 ．因为A（4，0），B（1，4），所以．因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，所以，．设，则．所以，即，解得，．所以点P的坐标为或（3，4）．【小问3详解】记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ，，设直线AB的解析式为．设，则整理得 时，取得最大值，最大值为【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．