福建省部分地市2023届高中毕业班适应性练习数学答案

福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分40分。1．D2．B3．C4．A5．D6．D7．A8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BC10．ABD11．ACD12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。13．yx=−2，yx=−+2（只需填其中的一个即可）122114．215．,216．3a，aa,2323四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．π解法一：（1）因为b=+2sincA，在△ABC中，由正弦定理得，6sin2sinBC=+Asin，.................................................................................................................1分6又因为sinsinBAC=sin−−AC(=+)()，所以sin(AC+)=2sinsinCA+，...............................................................................................2分631展开得sincosACACcossinC+A=A+2sinsincos，........................................................3分22即sincosACCA3sin−=sin0，3因为sinA0，故cos3sinCC=，即tanC=.........................................................................4分3又因为C(0,)，所以C=...........................................................................................................5分6（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，数学参考答案及评分细则第1页（共20页） 2因为BABD=BA，所以BABD−(=BA)0，即BAAD=0，所以DABA⊥.......................................................................................................................................6分故BD是O的直径，所以BCCD⊥.c1在△ABC中，c=1，22R===，所以BD=2....................................................7分sinBCAsin622在△ABD中，AD=BD−AB=3.22设四边形ABCD的面积为S，BCx=，CDy=，则xy+=4，..............................................8分1131SS=S+ABAD=+=+BCCDxy.....................................................................9分△ABDCBD△222222313xy++=+1，2222当且仅当xy==2时，等号成立.3所以四边形ABCD面积最大值为+1.........................................................................................10分2解法二：（1）同解法一；...................................................................................................................5分（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为BA,222所以BABD==BABABA().又BABD=BA=BA，所以=1，所以BD在BA上的投影向量为BA.所以DABA⊥.......................................................................................................................................6分故BD是O的直径，所以BC⊥CD.c1在△ABC中，c=1，22R===，所以BD=2....................................................7分sinBCAsin622在△ABD中，ADBD=−AB=3.π设四边形ABCD的面积为S，=CBD，0,，2则CB=2cos，CD=2sin，.........................................................................................................8分113S=+S=SABAD+=+CBCDsin2...................................................................9分△ABDCBD△222π3当2=时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为+1.................................................10分22解法三：（1）同解法一；...................................................................................................................5分数学参考答案及评分细则第2页（共20页） （2）设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，2因为BABD=BA，所以BABD−(=BA)0，即BAAD=0，所以DABA⊥.......................................................................................................................................6分故BD是O的直径，所以BCCD⊥.c1在△ABC中，c=1，22R===，所以BD=2....................................................7分sinBCAsin622在△ABD中，AD=BD−AB=3.设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，113则SS=S+ABAD=+=BDh+h.........................................................................9分△ABDCBD△2223当hR==1时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为+1..............................................10分2解法四：（1）同解法一；...................................................................................................................5分（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，c1在△ABC中，c=1，22R===，.........................................................................6分sinBCAsin6故△ABC外接圆O的半径R=1.π即OAOB===AB1，所以=AOB.3如图，以△ABC外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，13建立平面直角坐标系xOy，则A,，B(1,0).22因为C，D为单位圆上的点，设C(cos,sin)，D(cos,sin)，其中(0,2π)，(0,2).13所以BABD=−=−,cos1,sin，()，...................................................................................7分222113代入BABD=BA，即BABD=1，可得−++cos=sin1，.......................................8分2221即sin−=.62ππ11ππππ5ππ由(0,2)可知−−，，所以解得−=或−=，即=或=π.66666663数学参考答案及评分细则第3页（共20页） π当=时，A,D重合，舍去；当=π时，BD是O的直径.3设四边形ABCD的面积为S，1313则S=S+S=BD+BDsin=+sin，.......................................................9分△ABD△CBD22223π由(0,2π)知sin1，所以当=时，即C的坐标为(0,1−)时，S最大，23所以四边形ABCD面积最大值为+1.........................................................................................10分218．本小题主要考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）由aaa+=log，得a=2aa21nn2−+1+，.............................................................2分21n2n−+1n222n则a=2aa21nn2++3+，从而aa=2=2a2a12na2n−a1n+2an++1na+2+n−a3n++2+1+21232，.........................................3分22n+22nn2+又aa==162aa21nn2++14，..............................................................................................................4分22nn2+所以aaaa++24=，......................................................................................................5分21n2n−1n+2+3n+21即aaa+=2，所以a是等差数列.............................................................................6分21n2+3n−+n2121n−（2）设等差数列a的公差为d.21n−当n=1时，aa+=alog，即1log8+=a，132232所以a=2，所以da=a−=1，.....................................................................................................7分331所以数列a是首项为1，公差为1的等差数列，21n−所以an=;.......................................................................................................................................8分21n−又a==2=2aa212nn2−+1+nn++(1)21n+;.......................................................................................................9分2nS9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8)3579=(12345++++)+(2+2+2+2)=15680+=6952023，11又SSa=+=+=695227432023；10910数学参考答案及评分细则第4页（共20页） 又a0，则SS，且SS2023，..................................................................................11分nnn+1910所以n的最小值为10.........................................................................................................................12分解法二：（1）由a0，且aa=16a21n+，2n2nn2+2则loglog16(aa)=a21n+，............................................................................................................2分22222nn+得loglogaa4a+=，..........................................................................................................4分22222n2n1n++因为aaa+=log，aaa+=log，21n2n−+1n2221n2n+3n+2+22所以(a+++a)(aa)=4a，........................................................................................5分2n−12n+12n+12n+32n+1即a+=a2a，所以a是等差数列...............................................................................6分2n−+12n32+1n21n−（2）设等差数列a的公差为d.21n−当n=1时，a+=aloga，即1log8+=a，132232所以a=2，所以da=a−=1，.....................................................................................................7分331所以数列a是首项为1，公差为1的等差数列，21n−所以an=；....................................................................................................................................8分21n−又a2a1na2n−+1n22+=log，所以a=2aa2nn−+1+21=2nn++(1)=221n+；................................................................................................9分2n当kN时,Saa=aa++++21kk232=+(+a1+a35a+2a+a+12a+46a+2a+kk−)()35721k+=(123+++22+k)2+2+(+++)kkk(+1)84(1−)=+，23++1184k−124−k8kk(kk)()21k+()SS=a−=+−=+2，2kk−1k222323数学参考答案及评分细则第5页（共20页） 556−248所以SS==+=6952023，9251−2355684(1−)SS==+=27432023，102523又a0，则SS，且SS2023，..................................................................................11分nnn+1910所以n的最小值为10.........................................................................................................................12分解法三：（1）同解法一；...................................................................................................................6分（2）设等差数列a的公差为d.21n−当n=1时，aa+=alog，即1log8+=a，132232所以a=2，所以da=a−=1，.....................................................................................................7分331所以数列a是首项为1，公差为1的等差数列，21n−所以an=；....................................................................................................................................8分21n−又a=2aa2nn−+1+21=2nn++(1)=221n+；....................................................................................................9分2n当kN时，Saaaa=++++21kk1−−2321=+(+a1+a35a+2a+a+12a+46a+2a+2kk−−)()35721k−=+++(123+2+2+2+2++k)()kk(kk++11)14−k−1()84(1k−1−)=+=+8，21423−45684(1−)251+所以SS==+=6952023，SSa=++==695227432023.9251−1091023又a0，则SS，且SS2023，..................................................................................11分nnn+1910所以n的最小值为10.........................................................................................................................12分19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分12分．解：（1）由散点图判断yc=ln(x−+2012)d适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x数学参考答案及评分细则第6页（共20页） 的经验回归方程类型...........................................................................................................................1分令tx=−ln(2012)，先建立y关于t的线性回归方程.10tyiity−101226.8101.580.4−ˆi=14由于c===，........................................................................2分1022227.7101.5−tti−10i=1dˆyct=−=−ˆ=80.441.574.4，.......................................................................................................3分该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为yˆ=4t+7.44，因此y关于年份数x的回归方程为yˆ=4ln(2012)7x−+4.4............................................................4分所以当x=2023时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为yˆ=4ln(20232012)74.4−+=4ln1174.4+42.4074.484+=.所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为84%.................................................5分（2）设A=“该航班飞往A地”，A=“该航班飞往B地”，A=“该航班飞往其他地区”，123C=“该航班准点放行”，.....................................................................................................................6分则PA()=0.2，PA()=0.2，PA()=0.6，123PCA(1)=0.84，PCA(2)=0.8，PCA(3)=0.75..........................................................................7分（i）由全概率公式得，PC(PAPCA)=++(11)2233(PAPCA)()PAPCA()()()................................................................8分=0.840.20.80.20.750.6++=0.778，所以该航班准点放行的概率为0.778................................................................................................9分PAC(1)PAPCA(11)()0.20.84（ii）PAC()===，1PC()PC()0.778PAC(2)PAPCA(22)()0.20.8PAC()===，2PC(PC)()0.778PAC(3)PAPCA(33)()0.60.75PAC()===，..............................................................11分3PC()PC()0.778因为0.60.750.20.840.20.8，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大......................................................................12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数数学参考答案及评分细则第7页（共20页） 形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB中点O，连接PO，CO.因为PAPB==2，AB=2，所以POAB⊥，PO=1，BO=1.又因为ABCD是菱形，=ABC60，所以CO⊥AB，CO=3.222因为PC=2，所以PC=+POCO，所以PO⊥CO.又因为AB平面ABCD，CO平面ABCD，ABCOO=，所以PO⊥平面ABCD........................................................................................................................2分因为ADBC∥，BC平面PBC，AD平面PBC，1133所以AD∥PBC平面，所以V=V=V=POS=14=................3分DPBC−−−APBCPABC△ABC334331因为VV==，.............................................................................................................4分MPBC−−DPBC621所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，2所以PMMD=.....................................................................................................................................5分（图1）（图2）（2）由（1）知，BO⊥CO，PO⊥BO，PO⊥CO，如图2，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，.......................................................................................................................................................6分31则A(0,1,0−)，B(0,1,0)，C(3,0,0)，D(3,2,0−)，P(0,0,1)，所以M,1,−．2231则AC=(3,1,0)，BC=−(3,1,0)，BD=−(3,3,0)，AP=(0,1,1)，CM=−,1,−．22因为QAP,设AQAP==(0,,)，则CQAQ=−AC=−−(3,1,)，数学参考答案及评分细则第8页（共20页） 因为BD∥，Q，C，M，故存在实数ab,，使得CQaCM=+bBD，...............7分43a=,−ab+3=−3,321所以−−ab3=−1,解得b=−,3a=,22=.312所以CQ=−−3,,.......................................................................................................................8分33yz2n=CQ0,−3x−+=0,1设平面BCQ的法向量为n1=(,,)xyz，则即33n1=BC0,30xy−=．取x=1，得到平面BCQ的一个法向量n=(1,3,23)．............................................................10分1设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，.........................................................................11分2nn123则coscos=,==nn．12nn2123所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是．.....................................................................12分2解法二：（1）如图3，取AB中点O，连接PO，CO，因为PAPB==2，AB=2，所以POAB⊥，PO=1，BO=1，又因为ABCD是菱形，=ABC60,（图3）所以COAB⊥，CO=3.222因为PC=2，所以PCPO=+CO，所以POCO⊥.因为AB平面PAB，PO平面PAB，ABPOO=，所以CO⊥平面PAB...........................................................................................................................2分1113V=V=COS=322=................................................................3分APBC−−CABP△ABP3323过M作MN∥AD交AP于点N，ADBC∥，所以MN∥BC，又BC平面PBC，MN平面PBC，数学参考答案及评分细则第9页（共20页） 13所以MN∥PBC平面，所以VVVCOS====，MPBC−−−NPBCCNBPNBP△3611因为VCOS=，VCOS=CABP−ABP△CNBP−NBP△33所以SS=2，..........................................................................................................................4分△ABPNBP△所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以PMMD=......................................................5分（2）在平面ABCD内，过C作EFBD∥交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，因为ABCD是菱形，所以ADDE=.如图4，在平面PAD内，作PPAE∥交EM的延长线于点P，设EP交AP于点Q.所以，四边形EDPP是平行四边形，PPDEPP=,DE∥，PQPP1所以△QPPQAE∽△，所以==,AQAE2所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.........................................................................................7分如图5，在平面PAB内，作QT∥PO，交AB于T，因为PO⊥平面ABCD，所以QT⊥平面ABCD，所以QT⊥BC，22因为PO=1，QTPO==，.........................................................................................................8分33在平面ABCD内，作TNBC⊥，交BC于点N，连接QN，过A作AK∥TN交BC于K，3在△ABK中，AB=2，=ABK60，所以AKAB==3,2（图5）22所以TN==AK3，....................................................................................................................9分33因为QT⊥BC，TNBC⊥，QTTNT=，所以BC⊥平面QTN，因为QN平面QTN，所以BCQN⊥．所以QNT是二面角ABCQ−−的平面角．.................................................................................11分数学参考答案及评分细则第10页（共20页） QT33在Rt△QTN中，tanQNT==，所以cos=QNT．NT323所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是．.....................................................................12分2解法三：（1）同解法一；.................................................................................................................................5分（2）由（1）知，BOCO⊥，POBO⊥，POCO⊥，如图2，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，.......................................................................................................................................................6分31则A(0,1,0)−，B(0,1,0)，C(3,0,0)，D(3,2,0)−，P(0,0,1)，所以M(,1,)−．2231则AC=(3,1,0)，BC=−(3,1,0)，BD=−(3,3,0)，AP=(0,1,1)，CM=−(,1,)−．2233xy0,−=n=BD0,设平面的法向量为n=(,,)xyz，则即31n=CM0，−−+=xyz0．22取y=1，得到平面的一个法向量n=(3,1,5)．.........................................................................7分因为QAP,设AQ==AP(0,,)，则CQAQ=−AC=−−(3,1,)，212因为n=−+CQ−+315=0，所以=，所以CQ=−3,−,.......................................8分333yz112n=CQ0,−−+3=0,x11设平面BCQ的法向量为n111=1(,,)xyz，则即33n1=BC0，30xy−=．11取x=1，得到平面BCQ的一个法向量n=(1,3,23)．...........................................................10分11设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，.........................................................................11分2nn123则cos=cosnn,==．12nn2123所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是．.....................................................................12分221．本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算数学参考答案及评分细则第11页（共20页） 求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，A(−1,0)，A(1,0)．12因为D为BC中点，所以AD1BC⊥，即AD12AC⊥，...................................................................1分又PEAD∥1，所以PE⊥AC2，又E为AC2的中点，所以PA2PC=，所以PA1+PA2=PA1+PC=AC1=4AA12，所以点P的轨迹是以AA12,为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．...............................................2分22xy222设：+=1（xa），其中ab0，abc−=．22ab22则24a=，a=2，c=1，ba=c−=3．.............................................................................3分22xy故：+=1（x2）．.........................................................................................................4分43（2）结论③正确．下证：△QCC12的面积是定值．......................................................................5分由题意得，B1(−2,0)，B2(2,0)，C1(0,1−)，C2(0,1)，且直线l2的斜率不为0，可设直线l：xmy=−1，Mxy(,,,Nxy)()，且x2，x2．2112212xy22+=1,22由43得(3m46y9my+0−−=)，.................................................................................6分xmy=−1,69m−所以y1y2yy+12==22,，............................................................................................7分3mm434++所以23myy12y1y2=−+().y1y2直线BM1的方程为：yx=+(2)，直线BN2的方程为：yx=−(2)，....................8分x1+2x2−2y1yx=+(2,)x1+2由yx=−y2(2,)x−22数学参考答案及评分细则第12页（共20页） x+2yx21(+2)得=............................................................................................................................9分xyx−−2212()331ymy(+1)myyy+−++(y1y2y2)−−yy121=21=122=2=22=，ymy12(−3)myy12y1−3−+3−(yyy)3−−93yy312112222解得x=−4．.....................................................................................................................................11分故点Q在直线x=−4，所以Q到CC12的距离d=4，11因此△QCC12的面积是定值，为CC12d==244．........................................................12分22解法二：（1）同解法一．...................................................................................................................4分（2）结论③正确．下证：△QCC12的面积是定值．......................................................................5分由题意得，B1(−2,0)，B2(2,0)，C1(0,1−)，C2(0,1)，且直线l2的斜率不为0，可设直线l：xmy=−1，Mxy(,,,Nxy)()，且x2，x2．2112212xy22+=1,22由43得(3m46y9my+0−−=)，.................................................................................6分xmy=−1,69m−所以y1+y2=22,yy12=，............................................................................................7分3mm++434所以23myy12y1y2=−+().y1y2直线BM1的方程为：yx=+(2)，直线BN2的方程为：yx=−(2)，....................8分x1+2x2−2y1yx=+(2,)x1+2由yx=−y2(2,)x2−2yx21yx(12++22−)()得x=2........................................................................................................9分yx21yx(12+−22−)()ymy21(12ymy++13−)()23myy12y2y+−1=2=2ymy21(12ymy+−13−)()yy21+3数学参考答案及评分细则第13页（共20页） 23myy2312y1y+2y2+y1−(+)()==−24............................................................................11分yy21+3故点Q在直线x=−4，所以Q到CC12的距离d=4，11因此△QCC12的面积是定值，为CC12d==244．........................................................12分22解法三：（1）同解法一．...................................................................................................................4分（2）结论③正确．下证：△QCC12的面积是定值．......................................................................5分由题意得，B1(−2,0)，B2(2,0)，C1(0,1−)，C2(0,1)，直线l2的斜率不为0．22xyx=−1,x=−1,+=1,（i）当直线l2垂直于x轴时，l2：x=−1，由43得3或3=−y=−y=.x12233不妨设MN−1,−−,1,，2231则直线BM1的方程为：yx=+(2)，直线BN2的方程为：yx=−(2)，223yx=+(2,)x=−4,2由得所以Q(4,3)−−，yx=−1(2)y=−3,211故Q到CC12的距离d=4，此时△QCC12的面积是CC12d==244．............................6分22（ii）当直线l不垂直于x轴时，设直线l：ykx=+(1)，Mxy(,,,Nxy)()，且x2，x2．211221222xy+=1,2222由43得(43kx8kx4+12++k)0−=()，.................................................................7分ykx=+(1,)22−−8kk412所以x1x2xx+12==22,．............................................................................................8分43kk43++y1y2直线MB1的方程为：yx=+(2)，直线MB2的方程为：yx=−(2)，.....................9分x1+2x2−2y1yx=+(2,)x1+2由yx=−y2(2,)x−22数学参考答案及评分细则第14页（共20页） yx21yx(12++22−)()得x=2......................................................................................................10分yx21yx(12+−22−)()kx(2+1)(x1+2)+kx(1+1)(x2−2)42xx126x1x−+2=2=．kx(2+1)(x1+2)−kx(1+1)(x2−2)34xx12++4xx12−+2x16x2下证：=−4．34xx12++即证42xx12643x1x−2x1+42x=−++()，即证410xx1216x1x2=−+−()，412kk228−−即证41016=−−，2243kk43++222即证44(12kkk10−=−8164)−−+3()()，上式显然成立，.................................................................................................................................11分故点Q在直线x=−4，所以Q到CC12的距离d=4，11此时△QCC12的面积是定值，为CC12d==244．22由（i）（ii）可知，△QCC12的面积为定值．.................................................................................12分解法四：（1）同解法一．...................................................................................................................4分（2）结论③正确．下证：△QCC12的面积是定值．......................................................................5分由题意得，B1(−2,0)，B2(2,0)，C1(0,1−)，C2(0,1)，且直线l2的斜率不为0，可设直线l：xmy=−1，Mxy(,,,Nxy)()，且x2，x2．2112212xy22+=1,22由43得(3m46y9my+0−−=)，.................................................................................6分xmy=−1,69m−所以y1y2yy+12==22,．............................................................................................7分3mm434++y1y2直线BM1的方程为：yx=+(2)，直线BN2的方程为：yx=−(2)，....................8分x1+2x2−2数学参考答案及评分细则第15页（共20页） 22xy22y23x2+2因为+=1，所以=−，43x2−24y23x2+2故直线BN2的方程为：yx=−−(2)．4y2y1yx=+(2,)x1+2由3x2+2yx=−−(2,)4y2x−24yy12得=−...............................................................................................................9分xx+x+2+322(12)()4yy4yy49−=−12=−12=−=3，31(mx1my++)()3myy2my+++y()13−9+6m+3+m2422m121212()解得x=−4．.....................................................................................................................................11分故点Q在直线x=−4，所以Q到CC12的距离d=4，11因此△QCC12的面积是定值，为CC12d==244．........................................................12分2222．本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．x解法一：（1）fxx(a)=++(1e)，.................................................................................................1分故xa−−1时，fx()0；xa−−1时，fx()0....................................................................2分当−−a10，即a−1时，fx()在(0,1−−a)单调递减，在(−−+a1,)单调递增；当−−a10，即a≥−1时，fx()在(0,+)单调递增.综上，当a−1时，fx()在(0,1−−a)单调递减，在(−−+a1,)单调递增；当a≥−1时，fx()在(0,+)单调递增.............................................................................................4分（2）不存在axx,,，且xx，使得曲线yfx=()在xx=和xx=处有相同的切线.............5分010101证明如下：假设存在满足条件的axx,,，01因为fx()在(xfx,())处的切线方程为yfx−=−f(xxx)()()00000数学参考答案及评分细则第16页（共20页） xx002即yx=a++x(axax+−1e)−e()，.......................................................................................6分000xx112同理fx()在(xfx,())处的切线方程为yx=a++x(axax+1e−)−e()，11111(xax++a=1e++)1e,x0()x101且它们重合，所以...................................................................7分(ax−ax−=a22−xax−)ee,x0()x1001122整理得(xaa++xaxx−11a−)a(=x++ax−−)()()，01110022即xx+(a+1)(x+x)+a+2a=0，xx+(a+1)(x+x)+(a+1)=1，01010101所以(x++a1)(x++a1)=1，..........................................................................................................8分01由(1)exax++(a1)e=++x0x1两边同乘以ea+1，01得(1)exax++(a1)e=++xa0++1xa1++1，..............................................................................................9分01ttee,t0=t101令tx00a=++1，t11xa=++1，则且tt01，tt=1,011由tt=1得t=1，代入tteet0=t1得eett11=t2，两边取对数得1=+2lntt...........................10分01001111tt111令gt()tt2ln=+−，t2121(t+1)当t0时，gt()tt2ln=+−，gt()1=0++=≥，22tttt所以gt()在(0,+)上单调递增，又g(10)=，所以t=1，从而t=1，与tt矛盾；.........11分10012121(t+1)当t0时，gt()tt2ln=−+−()，gt()1=0++=≥，22tttt所以gt()在(,0)−上单调递增，又g(−=10)，所以t=−1，从而t=−1，与tt矛盾；1001ttee,t0=t101综上，不存在tt01,，使得且tt01.tt=1,01故不存在axx,,且xx，使得曲线yfx=()在xx=和xx=处有相同的切线.....................12分010101解法二：（1）同解法一；....................................................................................................................4分数学参考答案及评分细则第17页（共20页） （2）不存在axx,,，且xx，使得曲线yfx=()在xx=和xx=处有相同的切线.............5分010101证明如下：假设存在满足条件的axx,,，01因为fx()在(xfx,())处的切线方程为yfx−=−f(xxx)()()即00000y=(x++a1e)x0+x(x+a)ex0−xx(++a1e)x0，......................................................................6分0000同理fx()在(xfx,())处的切线方程为yx=a++x(xaxx+a+1e)−++ex1x11ex1()()，111111(xax++a=1e++)1e,x0()x101且它们重合，所以..........................7分(xaxx+−++)ae1exxx00a=xxe+1e,−(++a)()xx11()000111整理得(xax++axx+−1a)(1)xa1x++(a1)xx=a+++−++()，01111000令txa=++1，t=x++a1，可得tt=1....................................................................................8分001101由(1)exax++(a1)e=++x0x1两边同乘以ea+1，01ttee,t0=t1得(1)exax++(a1)e=++xa0++1xa1++1，则01且tt，....................................................9分0101tt=1,01令()ethtt=，则ht(01)=ht()，且tt01.由（1）知，当t−1时，ht()单调递增，当t−1时，ht()单调递减，又当t0时，ht()0，当t0时，ht()0，所以若tt,存在，不妨设tt−10，011011设2t=−，t10mt=，m1，又tt01=1，所以t0=，则0mm由tteet1=t0，得mteemt00=tt即meemt00t=，1000lnm则lnmmt+=t，所以t=，0001−m1lnm1所以−=，即lnmm+−=0，................................................................................11分m1−mm2121(1)x−令gx()x2lnx=−+，x≥1，则gx()1=0−−=−，22xxxx所以gx()在(1,)+上单调递减，所以当x1时，gx()g(1)=0，数学参考答案及评分细则第18页（共20页） 11即2lnxx−，取xm=，即ln0mm+−，xm1所以ln0mm+−=在m1时无解，mttee,t0=t101综上，不存在tt01,，使得且tt01.tt=1,01故不存在axx,,且xx，使得曲线yfx=()在xx=和xx=处有相同的切线.....................12分010101解法三：（1）同解法一；....................................................................................................................4分（2）不存在axx,,，且xx，使得曲线yfx=()在xx=和xx=处有相同的切线.............5分010101证明如下：假设存在满足条件的axx,,，01因为fx()在(xfx,())处的切线方程为yfx−=−f(xxx)()()00000xx002即yx=a++x(axax+−1e)−e()，.......................................................................................6分000xx112同理fx()在(xfx,())处的切线方程为yx=a++x(axax+1e−)−e()，11111(xax++a=1e++)1e,x0()x101且它们重合，所以...................................................................7分(ax−ax−=a22−xax−)ee,x0()x1001122整理得(x++a11)(a−x−ax)=(x++a)(a−x−ax)，01110022即xxa+xx+(a+a++1=)2(0)，xx+(a+1)(x+x)+(a+1)=1，01010101所以(xax++a++1)1(1=)，..........................................................................................................8分01由(x++a1)ex0=(x++a1)ex1两边同乘以ea+1，01得(1)exax++(a1)e=++xa0++1xa1++1，..............................................................................................9分01ttet0=e,t101令tx00a=++1，t11=x++a1，则且tt01，tt=1,01令()etht=t，则ht(ht01)=()，且tt01.由（1）知，当t−1时，ht()单调递增，当t−1时，ht()单调递减，又当t0时，ht()0，当t0时，ht()0，数学参考答案及评分细则第19页（共20页） 所以若tt,存在，不妨设tt−10，0110则tt−tt=−ee01，lnln(−t+t0t=0)t1−1+()，01(−tt−−01)()所以=1....................................................................................................................11分lnln(−tt−01−)()(−tt−−01)()以下证明−−(tt01)().lnln(−tt−01−)()2121(1)x−令gx()x2lnx=−+，x≥1，则gx()1=0−−=−，22xxxx所以gx()在(1,+)上单调递减，所以当x1时，gx()=g(1)0，因为−t1，所以−t1，−−tt11−t0，1g0ln0−+−t−t−t−t−t00001(−tt−−01)()整理得−−(tt01)().lnln(−tt−01−)()(−tt−−01)()因为=1，所以(−tt−)()1，与tt=1矛盾；0101lnln(−tt−01−)()ttee,t0=t101所以不存在tt01,，使得且tt01.tt=1,01故不存在axx,,且xx，使得曲线yfx=()在xx=和xx=处有相同的切线.....................12分010101数学参考答案及评分细则第20页（共20页）