2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题（三）

2024年高考仿真模拟数学试题（三）试卷+答案本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式，适合黑龙江、吉林、安徽、江西、甘肃、河南、新疆、广西、贵州等省份考生模拟练习.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（）A．220B．240C．250D．3002．设MN,是圆O上两点，若MN=2，则MOMN⋅=（）A．−4B．−2C．2D．43．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（）1511A．B．C．D．8164222xy224.已知FF12,分别为椭圆C:1+=的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1+−PF22PFPF12的最大值62为（）A．64B．16C．8D．455．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若aa23⋅=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=4（）A．35B．33C．31D．296．甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲、S乙，体积分别为SV甲甲V甲、V乙，若=2，则等于（）S乙V乙4102105A．10B．C．D．1055622xy7．如图，F1，F2是分别是双曲线22−=1()a>00，b>的左、右焦ab点，P为双曲线右支上的一点，圆M与△PFF12三边所在的直线都相切，切点为A，B，C，若PB=a，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．3D．31学科网（北京）股份有限公司 8．已知cos40(°−θθθ)+cos40(°+)+cos80(°−)=0，则tanθ=（）33A．−3B．−C．D．333二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（）A．﹣1∉AB．C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈Aπ10．已知函数fx()=sin2ωxcosϕ+cos2ωxsinϕω><<0,0ϕ的部分图象如图所示，则下列结论正确的2是（）πA．fx()的图象关于点−,0对称3π1B．fx()在区间0,的最小值为−22πC．fx+为偶函数6πD．fx()的图象向右平个单位后得到yx=sin2的图象611.已知定义在R的函数fx()满足以下条件：（1）对任意实数xy,恒有fxyfxfyfxfy(+=)()()+()+()；（2）当x>0时，fx()的值域是(0,+∞)（3）f(11)=则下列说法正确的是（）A．fx()值域为[−+∞1,)B．fx()单调递增3−fx()C．f(8)=255D．ffx()≥的解集为[1,+∞)1+fx()三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数z满足zz−==22，则3z=__________．3xx−2213．已知函数fxx()=+−22，若实数a、b满足fa(2)+fb(−=10)，则ab12+2的最大值为2学科网（北京）股份有限公司 ______．14．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成△ADE1．若M为线段AC1的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM是定值（2）点M在某个球面上运动（3）存在某个位置，使DE⊥AC1（4）存在某个位置，使MB//平面ADE1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次.(1)求满足条件的对接码的个数；(2)若对接密码中数字1出现的次数为X，求X的分布列和数学期望.16．（15分）已知函数fx()=−−lnxax(1).(1)当a=1时，讨论fx()的单调性；(2)若fx()有两个零点，求a的取值范围.3学科网（北京）股份有限公司 ππ17．（15分）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，36∠=BBA∠BBC,AB=2AB=2,BB=311111（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.p218．（17分）已知抛物线Cy:=2pxp(>0)的焦点为F，斜率为kk(≠0)的直线过点P−,0，交C于21A，B两点，且当k=时，AF+=BF16．2(1)求C的方程；2AF||AQ(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明=2．BF||BQ*a满足：19．（17分）若项数为kk(∈N，k≥3)的有穷数列{}n0≤aaa123<<<⋅⋅⋅<ak，且对任意的ijijk，(1≤≤≤)，aaji+或aaji−是数列{}an中的项，则称数列{}an具有性质P．(1)判断数列012,,是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{}an具有性质P，aii(=12，，，k)是{}an中的任意一项，证明：aaki−一定是{}an中的项；(3)若数列{}an具有性质P，证明：当k≥5时，数列{}an是等差数列．4学科网（北京）股份有限公司 2024年高考仿真模拟数学试题（三）试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（）A．220B．240C．250D．300答案B解析由120080%×=960人，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1200960−=240人.故选B2．设MN,是圆O上两点，若MN=2，则MOMN⋅=（）A．−4B．−2C．2D．4答案C解析设MN中点为P，则OP⊥MN，2MN所以MOMN⋅=+⋅=⋅+⋅=+(MPPO)MNMPMNPOMN02=.解法二：2MNMOMN⋅=MOMNcos∠=OMNMN(MOcos∠OMN)=×=MN2.23．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（）1511A．B．C．D．81642答案C解析设甲、乙、丙三人用abc,,，由题意可知：传球的方式有以下形式，5学科网（北京）股份有限公司 (abababacabcaabcbacabacacacbaacbc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)()()()()()()()，21所求概率为=.故选C8422xy224.已知FF12,分别为椭圆C:1+=的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1+−PF22PFPF12的最大值62为（）A．64B．16C．8D．4答案B222解析：PF1+−PF22PFPF12=−(PF1PF2)，因为椭圆上的点P满足PF1−≤PF2FF12，当点P为FF12的延长线与C的交点时，PF12−PF取得最大22值，最大值为FF12=4．所以PF1+−PF22PFPF12的最大值为16．故选B．55．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若aa23⋅=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=4（）A．35B．33C．31D．29答案C2解析设等比数列的公比为q，则aa23=⋅=aqaq112a1，所以a4=2，15516(1())−351aq1(1−)2又aaaa4744+=+=×222q，解得qa=,1=16，所以S5===31，故选C．421−q11−26．甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲、S乙，体积分别为SV甲甲V甲、V乙，若=2，则等于（）S乙V乙4102105A．10B．C．D．10556答案B解析设甲、乙两个圆锥的母线长分别为ll12,.由甲、乙两个圆锥的底面积相等，得出两个圆锥底面圆半径相等，设为r.2πrr2πrr由侧面展开图的圆心角之和为2π，得+2=π，则+1=①.llll12126学科网（北京）股份有限公司 Sπrll甲11==2，所以因为=2，则ll12=2②，S乙πrl22l3r2222由①②解得l12=3,rl=，所以甲圆锥的高hlr11=−=9rr−=22r，2229522乙圆锥的高hlr=−=rr−=r，224212322πrhπrV1410甲33所以===.故选B.V1255乙πrhπr323622xy7．如图，F1，F2是分别是双曲线22−=1()a>00，b>的左、右焦ab点，P为双曲线右支上的一点，圆M与△PFF12三边所在的直线都相切，切点为A，B，C，若PB=a，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．3D．3答案B解析：连接MA，MC，MF1，由直线和圆相切的性质，可得PA=PB=a，设FB=FC=x，由双曲线的定义可得，PF−=PF2a，2212则PF12=+=++=+22aPFaPBBF23ax，AF=+=+APPF4ax，FC=+=+FFFC2cx，111122由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，即有42axcx+=+，即ca=2，ce==2．故选B．a8．已知cos40(°−θθθ)+cos40(°+)+cos80(°−)=0，则tanθ=（）33A．−3B．−C．D．333答案A解析因为cos40(°−θθθ)+cos40(°+)+cos80(°−)=0，所以cos40cos°+°+°−°+°+°=θθθθθθsin40sincos40cossin40sincos80cossin80sin0，所以2cos40cos°+°+°=θθθcos80cossin80sin0，所以2cos40°+cos80°+sin80tan°θ=0，7学科网（北京）股份有限公司 2cos40°+cos80°2cos120(°−80°+)cos80°所以tanθ=−=−sin80°sin80°2cos120cos80(°°+sin120sin80°°+)cos80°3sin80°=−=−=−3.故选A．sin80°°sin80二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（）A．﹣1∉AB．C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈A答案ABC解析：对于A，假设﹣1∈A，则令x＝y＝﹣1，则＝1∈A，x+y＝﹣2∈A，令x＝﹣1，y＝1，则＝﹣1∈A，x+y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，∴﹣1∉A，故A对；对于B，由题，1∈A，则1+1＝2∈A，2+1＝3∈A，…，2022∈A，2023∈A，∴∈A，故B对；对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；对于D，∵1∈A，2∈A，若x＝2，y＝1，则x﹣y＝1∈A，故D错误．故选ABC．π10．已知函数fx()=sin2ωxcosϕ+cos2ωxsinϕω><<0,0ϕ的部分图2象如图所示，则下列结论正确的是（）πA．fx()的图象关于点−,0对称3π1B．fx()在区间0,的最小值为−22πC．fx+为偶函数6πD．fx()的图象向右平个单位后得到yx=sin2的图象6答案BC11ππ解析fx()=sin2(ωϕx+)，由图象可知f(0)=，即sinϕ=，又0<<ϕ，所以ϕ=，22268学科网（北京）股份有限公司 2ππ3ππ由五点作图法可得ω×+=，解得ω=2，所以fx()=sin2x+，3626π2πππ对于A：f−=−+=sin−1，所以fx()的图象关于x=−对称，故A错误；3363πππ7ππ1π1对于B：当x∈0,时，2xx+∈,,∴sin2+∈−,1，即fx()在区间0,上的最小值为−，26666222故B正确；ππππ对于C：fx+=sin2x++=sin2x+=cosx，为偶函数，故C正确.6662ππππ对于D：fx()的图象向右平移个单位后得到yx=sin2−+=sin2x−的图象，故D错误；故6666选BC.11.已知定义在R的函数fx()满足以下条件：（1）对任意实数xy,恒有fxyfxfyfxfy(+=)()()+()+()；（2）当x>0时，fx()的值域是(0,+∞)（3）f(11)=则下列说法正确的是（）A．fx()值域为[−+∞1,)B．fx()单调递增3−fx()C．f(8)=255D．ffx()≥的解集为[1,+∞)1+fx()答案BCD解析对选项A：令xy=1,=0可得fffff(11001)=()()++()()，故f(00)=，令yx=−可得f(0)=−fxfxfxfx()()+()+−()，fx(−≠−)1，−−fx()11fx()==−+1，当x<0时，f(−>x)0，则fx()=−+11>−，fx(−+)11fx(−+)fx(−+)1综上所述：fx()∈−+∞(1,)，错误；对选项B：任取xx12,R∈且xx12>，fxx(12−>)0，fx(2)>−1，则fxfx(1)−=−(2)fxxx(122+)−=−fx(2)fxxfx(12)(2)+−fxx(12)=fxxfx(12−)(2)+>10，所以函9学科网（北京）股份有限公司 数yfx=()在R上单调递增，正确；对选项C：取xy==1得到fffff(21111)=()()++=()()3；取xy==2得到fffff(42222)=()()++=()()15；取xy==4得到fffff(8)=(4)(4)++=(4)(4)255，正确；3−fx()对选项D：ffx()≥，ffx()13+fx()≥−fx()，1+fx()即ffxfxfxffx()()++()()=+≥fxfx()f(2)，即xfx+≥()2，又函数gxxfx()=+()单调递增，且g(1112)=+=，故x≥1，正确；故选BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数z满足zz−==22，则3z=__________．答案−8解析设zab=+i，则zab−=−+22i，22ab+=4所以22，解得ab=1,=±3，(ab−+=24)222当ab=1,=3时，zi=+13，故z=+(13i)=+123i3i+=−+223i，32z=−+(223i1)(+3i)=−+=−26i8；222当ab=1,=−3时，zi=−13，故z=−(13i)=−123i3i+=−−223i，32z=−−(223i1)(−3i)=−+=−26i8，故答案为−83xx−2213．已知函数fxx()=+−22，若实数a、b满足fa(2)+fb(−=10)，则ab12+2的最大值为______．3答案43−−xx3xx解析函数fx()的定义域为R，且fx(−=−+−=)(x)22−+−=x22−fx()，3x−x所以，函数fx()为奇函数，因为函数yx=、y=2、y=−2均为R上的增函数，故函数fx()在R上为10学科网（北京）股份有限公司 22222增函数，由fa(2)+fb(−=10)可得fa(2)=−fb(−=−11)f(b)，所以，2222221ab=−，即21ab+=，当ab12+取最大值时，则a>0，222221224213ab++所以，a12+=ba(12+b)=421ab(+≤)=，244421ab22=+a=6224当且仅当21ab+=时，即当，等号成立，1a>0b=±233因此，ab12+2的最大值为.故答案为.4414．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成△ADE1．若M为线段AC1的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM是定值（2）点M在某个球面上运动（3）存在某个位置，使DE⊥AC1（4）存在某个位置，使MB//平面ADE1答案（1）（2）（4）解析取CD中点Q，连结MQ，BQ，则MQ//DA1，BQ//DE，∴平面MBQ//平面ADE，又MB⊂平面MBQ，1∴MB//平面ADE1，故（4）正确；1由∠=ADE1∠MQB，MQ=AD1=定值，QB=DE=定值，2222由余弦定理可得MB=+−⋅⋅∠MQQB2MQQBcosMQB所以MB是定值，故（1）正确；B是定点，∴M是在以B为球心，MB为半径的球面上，故（2）正确；∠=ADE1∠=ADE45，∠=CDE45，且设AD=1，AB=2，11学科网（北京）股份有限公司 则DE=CE=2，若存在某个位置,使DE⊥AC1,则因为DE222+=CECD,即CE⊥DE,因为AC1CE=C,则DE⊥平面ACE1,所以DE⊥AE1,与DA11⊥AE矛盾，故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次.(1)求满足条件的对接码的个数；(2)若对接密码中数字1出现的次数为X，求X的分布列和数学期望.解析（1）当对接码中一个数字出现3次，另外三个数字各出现1次时，种数为：16CA4654321××××××463==480，……………2分A321××3当对接码中两个数字各出现2次，另外两个数字各出现1次时，43×26××××××654321种数为CA4621×，……………4分==108022AA2121×××22所有满足条件的对接码的个数为1560.……………5分（2）随机变量X的取值为1,2,3，1626CACA3636+322AAA15，……………7分322PX(=1)==15602616CA3622AA9，……………9分22PX(=2)==15602633CA163PX(=3)==，……………11分156013故概率分布表为：X1231591P26261315913故EX()=×+×+×=123.……………13分262613216．（15分）已知函数fx()=−−lnxax(1).12学科网（北京）股份有限公司 (1)当a=1时，讨论fx()的单调性；(2)若fx()有两个零点，求a的取值范围.11−x解析（1）当a=1，fx()=lnxx−+1(x>0)，则fx′()=−=1，xx令fx0解得01<<x，令fx′()<0解得x>1，所以fx()在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减.……………4分11−ax（2）由题意可得x>0，fx′()=−=a，……………5分xx当a≤0时，fx0恒成立，fx()单调递增，故至多有一个零点，不符合题意，……………7分11所以a>0，由fx0解得0<<x，由fx′()<0解得x>，aa11所以fx()在0,单调递增，在,+∞单调递减，aa111所以由零点存在性定理可得若fx()有两个零点，则fa=−ln−>10，aaa即lnaa−+<10，……………9分令ga()=lnaa−+1，由（1）得ga()在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，……………11分又g(10)=，所以由ga()<0解得a∈(0,1)(1,+∞)，……………13分−−−aaa−a因为f(e)=lne−aa(e−=−<1)e0，ffe0−a1<−a1所以由()得在e和之间存在一个零点，……………14分aa又f(10)=，所以a的取值范围为(0,1)(1,+∞).……………15分ππ17．（15分）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，36∠=BBA∠BBC,AB=2AB=2,BB=311111（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.解析（1）连接ACBD,交于O，13学科网（北京）股份有限公司 因为BC=BA，∠=BBA11∠BBC，BB11=BB，所以∆BBC11≅∆BBA，故BABC11=又因为O为菱形对角线交点，即是线段AC的中点，所以BO1⊥AC又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD而BO1BD=O，所以AC⊥平面BDB1.方法二：因为∠=BBA11∠BBC，所以点B1在平面ABCD内的射影O在为∠ABC的平分线，又四边形ABCD为菱形，故BD为∠ABC的平分线，则O∈直线BD故平面BDB1⊥平面ABCD，而平面BDB1平面ABCD=BD，又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD所以AC⊥平面BDB1（2）延长AABBCCDD1111,,,交于点P，平面BDB1即为平面BDP，平面ACC1即平面ACP由（1）得平面ACP⊥平面BDP，OP=平面ACP平面BDP，所以过B1做BH1⊥OP，则BH1⊥平面ACP，故∠BAH11即为直线AB11与平面ACC1所成角（若研究直线AB与平面ACC1所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台ABCD−ABCD1111中AB=22AB11=，所以AB11=1，BP=6π由菱形有AB=BC=2，且∠ABC=，所以BD=23，3π作PG⊥BD，因为∠=BBD1，则BG=33，PG=3，所以622PO=+=BGPG21，36213+−9737则cos∠BPO==，sin∠=BPO，BH=，126××212211414BH371故sin∠==BAH11.BA1411法二：延长AABBCCDD1111,,,交于点P，平面BDB1即为平面BDP，平面ACC1即平面ACP，14学科网（北京）股份有限公司 设直线AB11与平面ACC1所成角为θ过P作PG⊥BD，垂足为G，因为BP=6，所以BG=33建系，以OBOC,为xy,轴，作z轴//GP，ABCP(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(23,0,3)−−AB=(3,1,0)AC=(0,2,0)AP=−(23,1,3)设平面ACP的法向量为m=(,,)xyz，则20y=，−23xyz++=303所以m=(,0,1)，23337cosmAB,===3732714，所以sinθ=22××+114437即直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值为.14p218．（17分）已知抛物线Cy:=2pxp(>0)的焦点为F，斜率为kk(≠0)的直线过点P−,0，交C于21A，B两点，且当k=时，AF+=BF16．2(1)求C的方程；2AF||AQ(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明=2．BF||BQp1解析（1）设斜率为kk(≠0)且过点P的直线为l：x=my−，其中m=.2k1p2设Axy(11,,)，Bxy(22).当k=时，l：xy=2−，将其与Cy:=2pxp(>0)联立，消去x得：22222y−+=40pyp，由韦达定理有y+=y4pyy，=p.1212又由抛物线定义知AF+=++BFx12xp，又xx12+=2(yyp12+−)，结合2AF+=BF16，则8pp=⇒=162.得C的方程为yx=4；……………5分（2）由（1）可得，P(−1,0)，则l：x=my−1，将其与抛物线方程联立，15学科网（北京）股份有限公司 2消去x得：y−4my+=40，则y+=y44myy，=.1212设C在A点处的切线方程为xmyy=1(−+11)x，C在B点处的切线方程为xmyy=(−+)x.……………8分22222将xmyy=1(−+11)x与yx=4联立，消去x得：y−+−=4440my1my11x1，因xmyy=1(−+11)x为抛物线切线，则2联立方程判别式∆=16m−16my+16x=0，111122又yxxy=⇒=4164，11112222则16m−+=−+16my16x16m16my4y=−=42(my)0，1111111111yy12得m=，同理可得m=.1222xmyyx=−+1(11)yy12将两切线方程联立有，代入m=，m=，xmyyx=−+()1222222yy12x==14解得，得Qm(1,2).yy+ym=12=22222则AQ=−+−(x12)(ym)，又x11=my−1，11222222则AQ=−+−=+−++(my2)(y2m)(m1844)ymym，11112222同理可得BQ=+−++(m1844)ymym.……………12分22AFx+1my−+11y111注意到===，BFx+1my−+11y2222AF||AQ2222则=2等价yBQ=yAQ，下面说明yBQ=yAQ.BF||BQ12122222yBQ1=(m+−++1841)yy12myy12(m)y1，因yy124，222则yBQ=4(m++−1)(yy)32m.又yAQ=11222222(my+184141)21ym−y12ymymy+(+=)2(++−)(1ym2)32，16学科网（北京）股份有限公司 222AF||AQ则yBQ=yAQ，故=2.……………17分12BF||BQ*a满足：19．（17分）若项数为kk(∈N，k≥3)的有穷数列{}n0≤aaa123<<<⋅⋅⋅<ak，且对任意的ijijk，(1≤≤≤)，aaji+或aaji−是数列{}an中的项，则称数列{}an具有性质P．(1)判断数列012,,是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{}an具有性质P，aii(=12，，，k)是{}an中的任意一项，证明：aaki−一定是{}an中的项；(3)若数列{}an具有性质P，证明：当k≥5时，数列{}an是等差数列．解析（1）数列0,1,2具有性质P.理由：根据有穷数列{an}满足：0≤aaa123<<<⋅⋅⋅<ak，且对任意的ij,(1≤≤≤ijk)，aaji+或aaji−是数列{an}中的项，则称数列{an}具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的ij,(1≤≤≤ijk)，可得aaji−=0或1或2，可得aaji−一定是数列{an}中的项，所以数列0,1,2具有性质P.……………4分（2）证明：由aii(=1,2,,)k是数列{an}中的任意一项，因为数列{}an具有性质P，即aaji+或aaji−是数列{an}中的项，令jk=，可得aaki+或aaki−是数列{an}中的项，又因为0≤<<<aa12ak，可得aaki+一定不是数列{an}中的项，所以aaki−一定是数列{an}中的项.……………8分（3）由数列{}an具有性质P，可得aaakkn+∉{}，所以aaakkn−∈{}，则0∈{an}，且a1=0，又由aaakin+∉{}，所以aaakin−∈{}，又由0=−<−<−<<−<−aaaaaakkkk−−1kk2aaaak21k，①设2≤≤ik，因为0≤<<<aa12ak可得aakk−=0,,,aaaaaaaaaaaakk−=−−12kk−=23,,k−=2kk−1−=1k，17学科网（北京）股份有限公司 当k≥5时，可得aaak−ki−+=i1(11≤≤−ik)，（∗）②设32≤≤−ik，则aaaaakik−−1+>+=12k，所以aaakin−1+∉{}，由0=−<−<<−<−=aaaakkkk−−−−1112aaaaak−13k3k−2，又由0≤<<<<aa12aakk−−32，可得aaakk−−1111−=,,aaaaaakk−−−=<−=22kk−−13313aaak−−=k−3，所以aaaikk−−1−ki=i(1≤≤−3)，因为k≥5，由以上可知：aaakk−−1−=11且aaakk−−122−=，所以aaakk−−11−=1且aaakk−−12−=2，所以aaaikk−−1−ki=i(1≤≤−1)，（∗∗）由（∗）知，aaak−ki−+=i1(11≤≤−ik)两式相减，可得aakk−−+11=aaii−(11≤≤−ik)，所以当k≥5时，数列{an}为等差数列.……………17分.18学科网（北京）股份有限公司