湖南省湘潭市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

2022年下学期高一期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题，则命题p的否定为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与特称命题之间关系即可得出结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为．故选：D.2.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用集合交集定义求解即可.【详解】因为集合，，所以， 故选：A3.下列函数为增函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数与在定义域内为减函数，不符合题意；函数在上为减函数，不符合题意；根据幂函数的性质知为增函数.故选:B.4.若角是第一象限角，则是（）A.第一象限角B.第二象限角C第一或第三象限角D.第二或第四象限角【答案】C【解析】【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.【详解】因为是第三象限角，所以，所以，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：C． 5.函数的部分图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.【详解】函数的定义域为，，因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足；又，所以选项B不满足，选项A符合题意.故选：A6.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以.故选：B7.从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满；…；连续进行次， 容器中的纯酒精少于，则的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】利用指数的运算性质求解即可.【详解】由题意可得，，因为，所以，故选：A8.已知，则（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.【详解】令，所以，，所以．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.【详解】，A正确；，B错误；，C正确；，D正确；故选：ACD10.下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若且，则D.若正数a，b满足，则【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项.【详解】由不等式的性质可知，A正确，B错误；当时，，C错误；正数a，b满足，则，当且仅当时，等号成立，D正确.故选：AD.11.已知是第三象限角，且，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】 【分析】利用正切的二倍角公式判断A，利用同角三角函数关系判断B，利用正弦的二倍角公式判断C，利用正切的两角差公式判断D.【详解】由题意得，A错误；又是第三象限角，，所以由解得，，B正确；，C正确；，D错误；故选：BC12.高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（）A.B.的值域为C.在上有5个零点D.，方程有两个实根【答案】BD【解析】【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，选项A错误；当时，，当时，，；当时，，……以此类推，可得的图象如下图所示， 由图可知，的值域为，选项B正确；由图可知，在上有6个零点，选项C错误；，函数与的图象有两个交点，如下图所示，即方程有两个根，选项D正确．故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________.【答案】【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】.故答案为：.14.若函数的图象关于点对称，请写出一个的值：______.【答案】（答案不唯一，符合，即可）【解析】【分析】将看作一个整体，利用余弦函数的图象和性质求解即可.【详解】由题意可知，，解得，，故答案为：（答案不唯一，符合，即可）15.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.详解】已知，因为，所以令，则，则.故答案为：16.已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范围为 __________．【答案】【解析】【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.【详解】当时，，令，得，若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点，当时，，所以，即.若，即时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，所以，即，又，所以.综上所述：的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若角终边上一点的坐标为，其中.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.【小问1详解】因为角终边上一点的坐标为，且，所以由三角函数的定义可得.【小问2详解】因为，所以，，所以.18.设全集，集合.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的运算求解即可；（2）讨论、两种情况，根据包含关系求得的取值范围.【小问1详解】由，得，由，得，所以.由得或， 所以.【小问2详解】当时，，即，符合题意，当时，，解得，符合题意.综上，的取值范围为.19.已知幂函数在上单调递增.（1）求m的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质和概念求解即可；（2）不等式可转化为对恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求的最大值即可.【小问1详解】因为是幂函数，且在上单调递增，所以，解得.【小问2详解】由（1）得，所以，即对恒成立，由一元二次函数的图象和性质可得当时，有最大值，所以，即的取值范围为. 20.已知函数．（1）求的定义域;（2）求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.（2）运用对数运算性质将化简为,根据(1)中的定义域求得的范围,再根据的单调性即可求得值域.【小问1详解】因为,所以,解得,所以的定义域为．【小问2详解】因为,由(1)知的定义域为,所以,,，因为是增函数，所以，故的值域为．21.已知函数.（1）证明：当时，在上有零点. （2）当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据零点存在性定理即可计算端点处的函数值进行求证，（2）根据函数的单调性求解在上的值域，进而根据或即可求解.【小问1详解】当时，，因为，所以，因此在上有零点.【小问2详解】当时，，由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增.又，故在上的值域为，且关于x的方程在上没有实数解，故或，即或所以m的取值范围为.22.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的单调递增区间； （3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立?若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可；（3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.【小问1详解】由图可知，，则，，所以，.所以，即又，所以当时，，所以.【小问2详解】将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得：，再向右平移个单位长度得到：，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为【小问3详解】由，得，由，得，所以，所以.又，得，所以.由题可知，得，解得，所以存在，使得成立.