湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考（五）数学试卷

大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学命题人：曾卫国审题人：廖喜全孔令然注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若i为虚数单位，则(2i1i+−)()的虚部为（）A.iB.1C.−iD.-12.若集合Ax={∣∣log2x<=1,}B{xx1}，则AB∪=R（）A.{0xx∣<<1}B.{xx∣−<<12}C.{1xx∣−<<0或0<<x2}D.{xx∣<2}3.已知不共线的两个非零向量ab,，则“ab+与ab−所成角为锐角”是“ab>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件ππ4.要得到函数gx()=cos2x+的图象，可以将函数fx()=sin2x+的图象（）36ππA.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度33ππC.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度66422xxx−−>3,0,5.已知fx()=若fx()为(−∪+∞∞,0)(0,)上的奇函数，ga()=0(a<0)，则a=gxx(),<0,（）636A.±B.−C.−D.-1222学科网（北京）股份有限公司 22xy6.已知双曲线C:−=>>1(ab0,0)的左､右顶点分别为AAF12,,为C的右焦点，C的离心率为2，若22abπP为C右支上一点，PF⊥FA2，记∠APA12=θθ0<<，则tanθ=（）21A.B.1C.3D.22π7.已知二面角αβ−−l的平面角为θθ0<<,,,,,,A∈∈αβBC∈∈lDlAB⊥lAB与平面β所成角为2πS1.记ACD的面积为S1,BCD的面积为S2，则的取值范围为（）3S21133A.,1B.,3C.,3D.,12222*8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有5(n∈N)根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）6425632128A.B.C.D.315315315315二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量xy,的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱1B.设随机变量ξ∼N(2,1)，若pp(ξ>=3)，则pp(1<<=−ξ2)2C.在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为XXB,∼(10,0.8)，则EX()=810.已知等比数列{an}的公比为qq(>0)，前n项积为Tn，若TTT768>>，则（）A.01<<qB.q>1C.TT>>1D.TT>>11314141511.已知定义在R上的函数fx()满足fx(++2)fxf()=(2024)，且fx(21+)是奇函数，则（）A.fx()的图象关于点(1,0)对称学科网（北京）股份有限公司 B.ff(04)=()C.f(21)=100111D.若f=，则∑ifi−=022i=12BDBE⋅112.DE,是ABC边BC上的点，其中∠∠BAD=CAEBC,3=，且=.则ABC面积的可能取CDCE⋅3值为（）933373A.B.C.33D.422三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.54(12)+x的展开式中x的系数是__________.（用数字作答）.π14.函数fxxxx()=sin++2的图象在x=处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.215.四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，点EF,分别为PCAD,的中点，平面BEF将四棱锥V1P−ABCD分成两部分的体积分别为VV12,，且满足VV12>，则=__________.V222xy16.已知椭圆C:+=>>1(ab0)的左､右焦点分别为FF12,，离心率为e，点P在椭圆上，连接PF1并22ab延长交C于点Q，连接QF，若存在点P使PQ=QF成立，则e2的取值范围为__________.22四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且2aa24+=13,S7=49.（1）求{an}的通项公式；ba=+an，求数列{b}的前n项和T.（2）设nn2nn18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABCPA,=AB=BC=1,PC=3.学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角APC−−B的大小.19.（本小题满分12分）在ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,，且ab=(3sinC+cosC).（1）求B；π（2）已知BC=23,D为边AB上的一点，若BD=1,∠ACD=，求AC的长.220.（本小题满分12分）sinx已知函数fx()=(x∈R).xe（1）求fx()的单调区间；π（2）若对于任意的x∈0,,fx()kx恒成立，求实数k的取值范围.221.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点.以F为焦点､O为顶点作抛物线2Cy:=2pxp(>0).设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴上一点，设Qaa(−>,0()0)，使得PQ为抛物线C的切线，且PQ=2.圆CC12､均与直线OP切于点P，且均与x轴相切.学科网（北京）股份有限公司 （1）试求出ap,之间的关系；（2）是否存在点F，使圆C1与C2的面积之和取到最小值.若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1−p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的X细胞，在第一个周1期T中开始分裂，其中p∈,1.2（1）设2T结束后，X细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望；*（2）设nTn(∈N)结束后，X细胞数量为m的概率为Pnm().（i）求Pn2()；8（ii）证明：Pn3()<2.27p学科网（北京）股份有限公司 大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学参考答案题号123456789101112答案DBCBCACDBDACABDAB1.D【解析】因为(2i1i+)(−=−++=−)22ii13i，故选D.2.B【解析】不等式log2x<1解得02<<x，则Axx={0∣<<2}，Bxx={∣1},Bxx={∣∣<=−<<∴∪1}{xx11},ABxx=−<<{∣12}，故选B.RR3.C【解析】因为ab,不共线，可知ab+与ab−不共线，则ab+与ab−所成角为锐角等价于(abab+⋅−>)()0，即22，即ab>，ab>所以“ab+与ab−所成角为锐角”是“ab>”的充分必要条件.故选C.π5π5π4.B【解析】f(xxg)=sin2+,(xx)=sin2+=sin2x+，126125πππ−=，故选B.121235.C【解析】由题意可得当a<0时，faga()=()=0，因为fx()为(−∪+∞∞,0)(0,)上的奇函数，所以fa()=−−fa()，4222所以ga()=−−=−++=fa()2aa30,(a+12)(a−=3)0，学科网（北京）股份有限公司 2236所以a=−1（舍去），或a=，因为a<0，所以a=−.故选C.226.A【解析】设C的焦距为2c，点Pxy(00,)，由C的离心率为2可知c=2,ab=3a，22cy因为PF⊥FA，所以xc=，将Pcy(,)代入C的方程得−=01，即yb=3，200220ab33bb所以tan∠∠PAF21==3,tanPAF==1，ca−c−−(a)311−故tanθ∠∠=tan(PAF21−==PAF).1312+×故选A.7.C【解析】作AE⊥CD，垂足为E，连接BE，因为AB⊥l，即AB⊥CDAE,∩=ABAAEAB,,⊂平面AEB，故CD⊥平面AEBBE,⊂平面AEB，故CD⊥BE，又CD⊂平面β，故平面AEB⊥平面β，平面AEB∩平面β=BE，π则AB在平面β内的射影在直线BE上，则∠ABE为AB与平面β所成角，即∠ABE=，3π由于AE⊥⊥CDCD,BE，故∠AEB为二面角αβ−−l的平面角，即∠θθAEB=0<<，21AECD×S12AE==，S1BE2BECD×2AEBEAB在ABE中，==，sin∠∠∠ABEsinBAEsinAEBAEsin∠ABE31则==⋅，BEsin∠∠BAE2sinBAEππ2π而0<<θ，则∠BAE=−−=−πθθ，233π2π1则∠∠BAE∈∴∈,,sinBAE,1，632AEsin∠ABE313故==⋅∈,3，BEsin∠∠BAE2sinBAE2学科网（北京）股份有限公司 故选C.8.D【解析】不妨令绳头编号为1,2,3,4,,2n，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有*22n−种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下n−1根绳子进行打结，令nn(∈N)根绳子打结后可成圆的种数为an，那么经过一次打结后，剩下n−1根绳子打结后可成圆的种数为an−1，由此可得，ann=(22,2nan−)−1，aann−1a2ann−1所以=22nn−=,(24,,2−)=，所以=−×−××=⋅−(2224nn)()22(n1)!，aaaann−−1211n−1显然a1=1，故ann=⋅−2(1!)；另一方面，对2n个绳头进行任意2个绳头打结，总共有2222CCC⋅⋅C2nn⋅−⋅−(212)(n2)21⋅(2!n)2nn2224−−n2N===;nnn!2!⋅⋅nn2!nn−−121a2⋅−(n1!2)⋅−nn!(1!)nP===所以Nn(2!n)(2!).n2!⋅n128所以当n=5时，P=，故选D.315二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.BD【解析】对于A，两个变量xy,的相关系数为rr,越小，x与y之间的相关性越弱，故A错误；对于B，随机变量ξ服从正态分布N(2,1)，由正态分布概念知，若Pp(ξ>=3)，1则P(1<<=<<=>−>=−ξ2)P(2ξξξ3)PP(2)(3)p，故B正确；2对于C，在回归分析中，2R越接近于1，模型的拟合效果越好，22∴R为0.98的模型比R为0.89的模型拟合的更好，故C错误；对于D，某人在10次答题中，答对题数为XXB,∼(10,0.8)，则数学期望EX()=×=100.88，故D正确.故选BD.学科网（北京）股份有限公司 10.AC【解析】因为等比数列{an}的公比为qq(>0)且TTT768>>，则TT612345++++615a=78>=1,aa<1，T6=aaaaaa123456=aq1=aq1>0，所以778TT6622又因为aa78=aq7>0，则01<aa78<<a7，所以aa78>>>10，从而a1>0，*1n−故对任意的n∈=>N,0anaq1，由a787>=>aaq0可得01<<q，A对B错；137T13=aa12a13=>=a71,T14aa12a14=(aa78)<1，即TT13>>114，C对D错.故选AC.11.ABD【解析】A选项，由题意知，fx(−+=−21)fx(21+)，则fx(−++1)fx(+=10)，所以fx()图象的对称中心为(1,0,A)正确；B选项，fx(++2)fxf()=(2024,)fx(+++=4)fx(2)f(2024)，两式相减得fx(+=4)fx()，所以ff(40)=()，B正确；C选项，由B选项可得，fx()的周期为4，又2024=×4506，故fx(++2)fxf()=(2024)=f(0)，令x=0得，fff(200)+=()()，得f(20)=，所以C错误；D选项，因为fx(−++1)fx(+=10)，令x=1得，ff(0)+=(20)，又f(20)=，故f(00)=，1311fx(−++1)fx(+=10)中，令x=得，ff=−=−，2222511731由fx(++20)fx()=，得ff=−=−,ff=−=，222222又fx()的周期为4，13571则(4nfn+1)44+++(nfn2)44+++(nfn3)44+++(nfn4)44+=+×+(n1)222221111(42n+×−++×−++×=×)(43n)(44n)(414243440nnnn+−+−+++=)()()()，2222学科网（北京）股份有限公司 1001所以∑ifi−=0，D正确.i=12故选ABD.12.AB【解析】由面积公式可得：1×××ADABsin∠BADSBD2AB×sin∠BADABD===，SCD1AC×sin∠CADADC×××ADACsin∠CAD21×××AEABsin∠BAESBE2AB×sin∠BAEABE===，SCE1AC×sin∠CAEAEC×××AEACsin∠CAE2因为∠∠BAD=CAE，故∠∠CAD=BAE，BDBE⋅1AB××sin∠∠BADABsinBAE1AB1由=可得×=，即=，CDCE⋅3AC××sin∠∠CADACsinCAE3AC3建立如图所示的平面直角坐标系，则BC(0,0,)(3,0)，设Axy(,)，222223227则(x−+=×+3)y3xy，整理得到：xy++=，24333即点A的轨迹是以−,0为圆心，为半径的圆，223393故ABC的BC边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.故选AB.24三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）5rrrrr13.80【解析】(12)+x的通项为Txxr+15=C(2)=2C5，令r=4，得542C44=80.(12)+x的展开式中x的系数是514.1【解析】由题意可得fx′()=++sinxxxcos1，学科网（北京）股份有限公司 ππ则ff′=2,=+π2，22ππ故fx()的图象在x=处的切线方程为yx−+=−(π22)，即yx=22+.令x=0，221得y=2；令y=0，得x=−1，则所求图形的面积为××=211.2715.【解析】如图，延长BFCD,交于点G，连接GE交PD于点M，5因为底面ABCD为平行四边形，所以FDG与FAB全等，1且FDG与BCG相似，相似比为，2设FDG的面积为S，则四边形BCDF的面积为3S，设点P到底面ABCD的距离为h，111则V=××=3ShSh，EBCDF−32211又因为E为PC的中点，所以VVVEDFM−−−=CDFM=GDFM，221111而V=×=ShShV,3=V+V=V，所以V=Sh，EDFG−EDFG−−−GDFMEDFMEDFM−EDFM−326185所以V==+=VVVSh，2MECBFDEBCDF−−EDFM9157V17所以V=V−=××−V4ShSh=Sh，所以=.12PABCD−399V2516.8211,1−)【解析】设QFmP11=,Fn=，则QF2=2am−.显然当P靠近右顶点时，学科网（北京）股份有限公司 PQ>QF，2所以存在点P使PQ=QF2等价于(PQ−QF22)0,PQ−QF=+−2mn2a，min222在PFF12中由余弦定理得PF2=+−⋅⋅PF1FF122PFFF112cosθ，2222b即(2anncnc−=+−⋅⋅)422cosθ，解得n=，ac−cosθ2b112a同理可得m=，所以+=，2ac+cosθmnb2b2211bnm2(322+)b所以22mn+=(mn+)+=3++，222amnamna22(21)+b所以(2mna+−2)=−2a，当且仅当nm=2时等号成立.min2a222(21)+bb2由−20a得1282−，所以8211−<e1.22aa四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，又2aa24+=13,S7=49，2(adad11+++=)313,所以76×d解得ad1=1,=2，7a+=49,12所以{an}的通项公式aandn=+−=+−=−1(1)12(n121)n.ba=+2212an=−+n21n−，（2）由（1）知nn3521n−所以Tbbbnn=++++=+++++++−+123b(1232)()(52)(212n)学科网（北京）股份有限公司 nn(121+−)214×−(n)2221n+−3521n−2=++++−+++++(13521222nn)(2)=+=+.214−318.【解析】（1）因为PA⊥平面ABCBC,⊂平面ABC，所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，所以PAB为直角三角形，又因为22PB=+=PAAB2,BC==1,PC3，222所以PB+=BCPC，则PBC为直角三角形，故BC⊥PB，又因为BC⊥PAPA,∩=PBP，所以BC⊥平面PAB.（2）由（1）知BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则APCB(0,0,0,)(0,0,1,)(1,1,0,)(1,0,0)，所以AP=(0,0,1,)AC=(1,1,0,)BC=(0,1,0,)PC=(1,1,1−)，设平面PAC的法向量为mxyz=(111,,)，mAP⋅=0,z=0,1则即令x1=1，则y1=−1，mAC⋅=0,xy11+=0,所以m=(1,1,0−)，设平面PBC的法向量为nxyz=(222,,)，nBC⋅=0,y=0,2则即nPC⋅=0,xyz222+−=0,令x2=1，则z2=1，所以n=(1,0,1)，mn⋅11所以cos〈mn,〉===，|mn|||22×2又因为二面角APC−−B为锐二面角，学科网（北京）股份有限公司 π所以二面角APC−−B的大小为.319.【解析】（1）ab=(3sinC+cosC)，根据正弦定理得，sinABCC=sin(3sin+cos)，即sincosBC+=+cossinBC3sinsinBCBCsincos，∴=cossinBC3sinsinBC，因为sinC>0，3∴=cosBB3sin，所以tanB=，3πBB∈(0,π),∴=.6π（2）BC=23,BD=1,B=，根据余弦定理得62223CD=BC+BD−2BCBD⋅⋅cosB=+−××1122123×=∴7,CD=7.2ππ∠BDC=+∴∠∠A,sinBDC=+=sin∠AcosA.22BCCD237=,∴=在BDC中，由正弦定理知，sin∠∠BDCsinBcosA1，221π27∴=cosAA,∈∴=0,,sinA，727sinA23CD21∴===∴=tanA,AC.cosA3AC2π2cosx+20.【解析】（1）cosxx−sin4，fx′()==xxeeππππ令fx′()>0，则cosx+>0，即2kxkkπ−<+<2π+(∈Z)，42423ππ解得fx()的递增区间为2kkkπ−+∈,2π(Z)；44πππ3π令fx′()<0，则cosx+<0，即2kxkkπ+<+<+2π(∈Z)，4242学科网（北京）股份有限公司 π5π解得fx()的递减区间为2kkkπ++∈,2π(Z).443ππ所以，fx()的递增区间为2kkkπ−+∈,2π(Z)，44π5π递减区间为2kkkπ++∈,2π(Z).44π（2）因为对于任意的x∈0,,fx()kx恒成立，2sinxπ所以kx对于任意的x∈0,恒成立，xe2当x=0时，k∈R；πsinx当x∈0,时，k，x2xesinxπ令gx()=,x∈0,，xxe2xxcos−sinxxx−sin所以gx′()=.2xxeπ令hx()=−−xxcossinxxxxsin,∈0,，2π所以hx′()=−−−<xxsinsinxxxcos0在x∈0,上恒成立，2π所以hx()在0,上单调递减，2π所以hxh()<=(00)，即gx′()<0在x∈0,上恒成立2ππ2所以gx()在0,上单调递减，所以gx()min=g=π，22πe22k所以π.πe2学科网（北京）股份有限公司 2综上，实数k的取值范围为−∞,.ππe2221.【解析】（1）由条件抛物线Cy:=2pxp(>0)，点Qaa(−>,0()0)，lx=−>myam，将其与抛物线C的方程联立，消去x得2设PQ:(0)y−+=220pmypa.①2a22因为PQ与抛物线C切于点P，所以方程①的判别式为Δ=4pm−×42pa=0，解得m=.p222a进而，点Pa(,2pa).故PQ=+1myP−=+012pa=42a+pa.p2由PQ=2，则424a+=pa.②（2）设圆CC12､的圆心分别为OxyOxy111(,,)222(,).注意到，OP与圆CC12､均切于点P，故OP⊥OO12.设圆CC12､与x轴分别切于MN,，如图所示：则OOOO12,分别为∠∠POM､PON的角平分线，故OM1=OPON1,2=OP2,∠OOO12=90，OPOP1易知OPO21∽OPO，则=，OPOP22222yy=OMON⋅=⋅=OPOP||OP=+=+xya2pa.121212PP22结合式②有yy=+=a2pa43−a.③12yy11−Py1−2paOP11OMy由OPO12,,三点共线得====，yP−y22pa−y2PO222ONy学科网（北京）股份有限公司 2化简可得y1+=y2yy12.④2pa22令Tyy=12+，于是，圆CC12､的面积之和为πT.根据题意，仅需考虑T取最小值的情形，根据③､④知222442(43−−aa)(2)T=(y+−=⋅−=y)2yyyy222yy(43−−−=a2)243(a2).12121212222pa44−−a1a22(311tt++)()11令ta=−1，由4t=−44a=2pa>>0,t0,T==++3t423t⋅+=423+4.ttt31当且仅当t=时，上式等号成立.此时，at=−=−11.332pat1−31t====结合式（2）得2a13333−−.1−31故点F的坐标为,0.33−222.【解析】（1）2个T结束后，ξ的取值可能为1,2,3,4，其中Pp(ξ=1)=，23P(ξ==−+−211)p(p)(pppp)=−，123P(ξξ==−×××−=3)(1p)Cnp(1pppP)2(1−),(==−4)(1p)，所以ξ分布列为ξ12342323Pppp−2(1pp−)(1−p)23232E(ξ)=×+×−1p2(pp)+×32(1pp−)+×−4(1ppp)=−+44.（2）（i）Pn2()表示分裂nT结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X细胞.不妨设在第kT时分裂为2个X细胞，之后一直有2个X细胞，nk−k−1221nk−−此事件概率Pp2,k=×−×(11pp)()=−×(pp)，学科网（北京）股份有限公司 n21nk−−所以PnPP2()=+++=2,12,2P2,n∑(1−⋅pp)k=1n211n−−kn−n=−(1pp)∑p=p⋅−(1p).k=1（ii）Pn3()代表分裂nT后有3个细胞的概率，设细胞X在kT后分裂为2个新的X细胞，这两个X细胞在剩下的(nkT−)中，其中一个分裂为2个X细胞，一个保持一直分裂为1个X细胞，此事件的概率k−11nk−k−1nk−nk−−1nk−P3,k=pp⋅−⋅(1C)2p⋅P2(n−=k)pp⋅−⋅⋅(12)p⋅pp⋅−(1)，22n−−kn32−−2k得P3,k=21p⋅−⋅−(pp)21p⋅−⋅(pp)，nn22n−−kn32−−2kP3()nPP=+++=3,13,2Pp3,n2⋅−⋅(1ppp)∑∑−2⋅−⋅(1pp)kk=11=nn−−11nnnn21p⋅−(p)⋅−(1p)2ppp⋅−⋅−()(1p)==，211++p(pp)1n其中pp∈∈,1,(0,1).2n2x⋅−⋅−(pxxxxx)(1)21⋅−⋅−()(1)令xpPn=,3()=22<，(11++pp)(pp)21记fxxxfx()=−(1),′()=−−(1x)(13x)，令fx′()=0，得x=.31当x∈>0,,fx′()0,fx()单调递增；31当x∈<,1,fx′()0,fx()单调递减.314故[]fx()max=f=，32788也就是Pn3()<<22.271(+pp)27p学科网（北京）股份有限公司