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湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考(五)数学试卷

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大联考长郡中学2024届高三月考试卷(五)数学命题人:曾卫国审题人:廖喜全孔令然注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若i为虚数单位,则(2i1i+−)()的虚部为()A.iB.1C.−iD.-12.若集合Ax={∣∣log2x<=1,}B{xx1},则AB∪=R()A.{0xx∣<<1}B.{xx∣−<<12}C.{1xx∣−<<0或0<<x2}D.{xx∣<2}3.已知不共线的两个非零向量ab,,则“ab+与ab−所成角为锐角”是“ab>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件ππ4.要得到函数gx()=cos2x+的图象,可以将函数fx()=sin2x+的图象()36ππA.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度33ππC.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度66422xxx−−>3,0,5.已知fx()=若fx()为(−∪+∞∞,0)(0,)上的奇函数,ga()=0(a<0),则a=gxx(),<0,()636A.±B.−C.−D.-1222学科网(北京)股份有限公司 22xy6.已知双曲线C:−=>>1(ab0,0)的左、右顶点分别为AAF12,,为C的右焦点,C的离心率为2,若22abπP为C右支上一点,PF⊥FA2,记∠APA12=θθ0<<,则tanθ=()21A.B.1C.3D.22π7.已知二面角αβ−−l的平面角为θθ0<<,,,,,,A∈∈αβBC∈∈lDlAB⊥lAB与平面β所成角为2πS1.记ACD的面积为S1,BCD的面积为S2,则的取值范围为()3S21133A.,1B.,3C.,3D.,12222*8.在长郡中学文体活动时间,举办高三年级绳子打结计时赛,现有5(n∈N)根绳子,共有10个绳头,每个绳头只打一次结,且每个结仅含两个绳头,所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为()6425632128A.B.C.D.315315315315二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.下列关于概率统计说法中正确的是()A.两个变量xy,的相关系数为r,则r越小,x与y之间的相关性越弱1B.设随机变量ξ∼N(2,1),若pp(ξ>=3),则pp(1<<=−ξ2)2C.在回归分析中,R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题,答对题数为XXB,∼(10,0.8),则EX()=810.已知等比数列{an}的公比为qq(>0),前n项积为Tn,若TTT768>>,则()A.01<<qB.q>1C.TT>>1D.TT>>11314141511.已知定义在R上的函数fx()满足fx(++2)fxf()=(2024),且fx(21+)是奇函数,则()A.fx()的图象关于点(1,0)对称学科网(北京)股份有限公司 B.ff(04)=()C.f(21)=100111D.若f=,则∑ifi−=022i=12BDBE⋅112.DE,是ABC边BC上的点,其中∠∠BAD=CAEBC,3=,且=.则ABC面积的可能取CDCE⋅3值为()933373A.B.C.33D.422三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.54(12)+x的展开式中x的系数是__________.(用数字作答).π14.函数fxxxx()=sin++2的图象在x=处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.215.四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形,点EF,分别为PCAD,的中点,平面BEF将四棱锥V1P−ABCD分成两部分的体积分别为VV12,,且满足VV12>,则=__________.V222xy16.已知椭圆C:+=>>1(ab0)的左、右焦点分别为FF12,,离心率为e,点P在椭圆上,连接PF1并22ab延长交C于点Q,连接QF,若存在点P使PQ=QF成立,则e2的取值范围为__________.22四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2aa24+=13,S7=49.(1)求{an}的通项公式;ba=+an,求数列{b}的前n项和T.(2)设nn2nn18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABCPA,=AB=BC=1,PC=3.学科网(北京)股份有限公司 (1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求二面角APC−−B的大小.19.(本小题满分12分)在ABC中,角ABC,,所对的边分别为abc,,,且ab=(3sinC+cosC).(1)求B;π(2)已知BC=23,D为边AB上的一点,若BD=1,∠ACD=,求AC的长.220.(本小题满分12分)sinx已知函数fx()=(x∈R).xe(1)求fx()的单调区间;π(2)若对于任意的x∈0,,fx()kx恒成立,求实数k的取值范围.221.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F为x轴正半轴上的一个动点.以F为焦点、O为顶点作抛物线2Cy:=2pxp(>0).设P为第一象限内抛物线C上的一点,Q为x轴负半轴上一点,设Qaa(−>,0()0),使得PQ为抛物线C的切线,且PQ=2.圆CC12、均与直线OP切于点P,且均与x轴相切.学科网(北京)股份有限公司 (1)试求出ap,之间的关系;(2)是否存在点F,使圆C1与C2的面积之和取到最小值.若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)现有一种不断分裂的细胞X,每个时间周期T内分裂一次,一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞,每次分裂后原X细胞消失,设每次分裂成一个新X细胞的概率为p,分裂成两个新X细胞的概率为1−p;新细胞在下一个周期T内可以继续分裂,每个细胞间相互独立.设有一个初始的X细胞,在第一个周1期T中开始分裂,其中p∈,1.2(1)设2T结束后,X细胞的数量为ξ,求ξ的分布列和数学期望;*(2)设nTn(∈N)结束后,X细胞数量为m的概率为Pnm().(i)求Pn2();8(ii)证明:Pn3()<2.27p学科网(北京)股份有限公司 大联考长郡中学2024届高三月考试卷(五)数学参考答案题号123456789101112答案DBCBCACDBDACABDAB1.D【解析】因为(2i1i+)(−=−++=−)22ii13i,故选D.2.B【解析】不等式log2x<1解得02<<x,则Axx={0∣<<2},Bxx={∣1},Bxx={∣∣<=−<<∴∪1}{xx11},ABxx=−<<{∣12},故选B.RR3.C【解析】因为ab,不共线,可知ab+与ab−不共线,则ab+与ab−所成角为锐角等价于(abab+⋅−>)()0,即22,即ab>,ab>所以“ab+与ab−所成角为锐角”是“ab>”的充分必要条件.故选C.π5π5π4.B【解析】f(xxg)=sin2+,(xx)=sin2+=sin2x+,126125πππ−=,故选B.121235.C【解析】由题意可得当a<0时,faga()=()=0,因为fx()为(−∪+∞∞,0)(0,)上的奇函数,所以fa()=−−fa(),4222所以ga()=−−=−++=fa()2aa30,(a+12)(a−=3)0,学科网(北京)股份有限公司 2236所以a=−1(舍去),或a=,因为a<0,所以a=−.故选C.226.A【解析】设C的焦距为2c,点Pxy(00,),由C的离心率为2可知c=2,ab=3a,22cy因为PF⊥FA,所以xc=,将Pcy(,)代入C的方程得−=01,即yb=3,200220ab33bb所以tan∠∠PAF21==3,tanPAF==1,ca−c−−(a)311−故tanθ∠∠=tan(PAF21−==PAF).1312+×故选A.7.C【解析】作AE⊥CD,垂足为E,连接BE,因为AB⊥l,即AB⊥CDAE,∩=ABAAEAB,,⊂平面AEB,故CD⊥平面AEBBE,⊂平面AEB,故CD⊥BE,又CD⊂平面β,故平面AEB⊥平面β,平面AEB∩平面β=BE,π则AB在平面β内的射影在直线BE上,则∠ABE为AB与平面β所成角,即∠ABE=,3π由于AE⊥⊥CDCD,BE,故∠AEB为二面角αβ−−l的平面角,即∠θθAEB=0<<,21AECD×S12AE==,S1BE2BECD×2AEBEAB在ABE中,==,sin∠∠∠ABEsinBAEsinAEBAEsin∠ABE31则==⋅,BEsin∠∠BAE2sinBAEππ2π而0<<θ,则∠BAE=−−=−πθθ,233π2π1则∠∠BAE∈∴∈,,sinBAE,1,632AEsin∠ABE313故==⋅∈,3,BEsin∠∠BAE2sinBAE2学科网(北京)股份有限公司 故选C.8.D【解析】不妨令绳头编号为1,2,3,4,,2n,可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1,2外有*22n−种可能,假设绳头1与绳头3打结,那么相当于对剩下n−1根绳子进行打结,令nn(∈N)根绳子打结后可成圆的种数为an,那么经过一次打结后,剩下n−1根绳子打结后可成圆的种数为an−1,由此可得,ann=(22,2nan−)−1,aann−1a2ann−1所以=22nn−=,(24,,2−)=,所以=−×−××=⋅−(2224nn)()22(n1)!,aaaann−−1211n−1显然a1=1,故ann=⋅−2(1!);另一方面,对2n个绳头进行任意2个绳头打结,总共有2222CCC⋅⋅C2nn⋅−⋅−(212)(n2)21⋅(2!n)2nn2224−−n2N===;nnn!2!⋅⋅nn2!nn−−121a2⋅−(n1!2)⋅−nn!(1!)nP===所以Nn(2!n)(2!).n2!⋅n128所以当n=5时,P=,故选D.315二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)9.BD【解析】对于A,两个变量xy,的相关系数为rr,越小,x与y之间的相关性越弱,故A错误;对于B,随机变量ξ服从正态分布N(2,1),由正态分布概念知,若Pp(ξ>=3),1则P(1<<=<<=>−>=−ξ2)P(2ξξξ3)PP(2)(3)p,故B正确;2对于C,在回归分析中,2R越接近于1,模型的拟合效果越好,22∴R为0.98的模型比R为0.89的模型拟合的更好,故C错误;对于D,某人在10次答题中,答对题数为XXB,∼(10,0.8),则数学期望EX()=×=100.88,故D正确.故选BD.学科网(北京)股份有限公司 10.AC【解析】因为等比数列{an}的公比为qq(>0)且TTT768>>,则TT612345++++615a=78>=1,aa<1,T6=aaaaaa123456=aq1=aq1>0,所以778TT6622又因为aa78=aq7>0,则01<aa78<<a7,所以aa78>>>10,从而a1>0,*1n−故对任意的n∈=>N,0anaq1,由a787>=>aaq0可得01<<q,A对B错;137T13=aa12a13=>=a71,T14aa12a14=(aa78)<1,即TT13>>114,C对D错.故选AC.11.ABD【解析】A选项,由题意知,fx(−+=−21)fx(21+),则fx(−++1)fx(+=10),所以fx()图象的对称中心为(1,0,A)正确;B选项,fx(++2)fxf()=(2024,)fx(+++=4)fx(2)f(2024),两式相减得fx(+=4)fx(),所以ff(40)=(),B正确;C选项,由B选项可得,fx()的周期为4,又2024=×4506,故fx(++2)fxf()=(2024)=f(0),令x=0得,fff(200)+=()(),得f(20)=,所以C错误;D选项,因为fx(−++1)fx(+=10),令x=1得,ff(0)+=(20),又f(20)=,故f(00)=,1311fx(−++1)fx(+=10)中,令x=得,ff=−=−,2222511731由fx(++20)fx()=,得ff=−=−,ff=−=,222222又fx()的周期为4,13571则(4nfn+1)44+++(nfn2)44+++(nfn3)44+++(nfn4)44+=+×+(n1)222221111(42n+×−++×−++×=×)(43n)(44n)(414243440nnnn+−+−+++=)()()(),2222学科网(北京)股份有限公司 1001所以∑ifi−=0,D正确.i=12故选ABD.12.AB【解析】由面积公式可得:1×××ADABsin∠BADSBD2AB×sin∠BADABD===,SCD1AC×sin∠CADADC×××ADACsin∠CAD21×××AEABsin∠BAESBE2AB×sin∠BAEABE===,SCE1AC×sin∠CAEAEC×××AEACsin∠CAE2因为∠∠BAD=CAE,故∠∠CAD=BAE,BDBE⋅1AB××sin∠∠BADABsinBAE1AB1由=可得×=,即=,CDCE⋅3AC××sin∠∠CADACsinCAE3AC3建立如图所示的平面直角坐标系,则BC(0,0,)(3,0),设Axy(,),222223227则(x−+=×+3)y3xy,整理得到:xy++=,24333即点A的轨迹是以−,0为圆心,为半径的圆,223393故ABC的BC边上的高的最大值为,故其面积的最大值为.故选AB.24三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)5rrrrr13.80【解析】(12)+x的通项为Txxr+15=C(2)=2C5,令r=4,得542C44=80.(12)+x的展开式中x的系数是514.1【解析】由题意可得fx′()=++sinxxxcos1,学科网(北京)股份有限公司 ππ则ff′=2,=+π2,22ππ故fx()的图象在x=处的切线方程为yx−+=−(π22),即yx=22+.令x=0,221得y=2;令y=0,得x=−1,则所求图形的面积为××=211.2715.【解析】如图,延长BFCD,交于点G,连接GE交PD于点M,5因为底面ABCD为平行四边形,所以FDG与FAB全等,1且FDG与BCG相似,相似比为,2设FDG的面积为S,则四边形BCDF的面积为3S,设点P到底面ABCD的距离为h,111则V=××=3ShSh,EBCDF−32211又因为E为PC的中点,所以VVVEDFM−−−=CDFM=GDFM,221111而V=×=ShShV,3=V+V=V,所以V=Sh,EDFG−EDFG−−−GDFMEDFMEDFM−EDFM−326185所以V==+=VVVSh,2MECBFDEBCDF−−EDFM9157V17所以V=V−=××−V4ShSh=Sh,所以=.12PABCD−399V2516.8211,1−)【解析】设QFmP11=,Fn=,则QF2=2am−.显然当P靠近右顶点时,学科网(北京)股份有限公司 PQ>QF,2所以存在点P使PQ=QF2等价于(PQ−QF22)0,PQ−QF=+−2mn2a,min222在PFF12中由余弦定理得PF2=+−⋅⋅PF1FF122PFFF112cosθ,2222b即(2anncnc−=+−⋅⋅)422cosθ,解得n=,ac−cosθ2b112a同理可得m=,所以+=,2ac+cosθmnb2b2211bnm2(322+)b所以22mn+=(mn+)+=3++,222amnamna22(21)+b所以(2mna+−2)=−2a,当且仅当nm=2时等号成立.min2a222(21)+bb2由−20a得1282−,所以8211−<e1.22aa四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,又2aa24+=13,S7=49,2(adad11+++=)313,所以76×d解得ad1=1,=2,7a+=49,12所以{an}的通项公式aandn=+−=+−=−1(1)12(n121)n.ba=+2212an=−+n21n−,(2)由(1)知nn3521n−所以Tbbbnn=++++=+++++++−+123b(1232)()(52)(212n)学科网(北京)股份有限公司 nn(121+−)214×−(n)2221n+−3521n−2=++++−+++++(13521222nn)(2)=+=+.214−318.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCBC,⊂平面ABC,所以PA⊥BC,同理PA⊥AB,所以PAB为直角三角形,又因为22PB=+=PAAB2,BC==1,PC3,222所以PB+=BCPC,则PBC为直角三角形,故BC⊥PB,又因为BC⊥PAPA,∩=PBP,所以BC⊥平面PAB.(2)由(1)知BC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,则BC⊥AB,以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则APCB(0,0,0,)(0,0,1,)(1,1,0,)(1,0,0),所以AP=(0,0,1,)AC=(1,1,0,)BC=(0,1,0,)PC=(1,1,1−),设平面PAC的法向量为mxyz=(111,,),mAP⋅=0,z=0,1则即令x1=1,则y1=−1,mAC⋅=0,xy11+=0,所以m=(1,1,0−),设平面PBC的法向量为nxyz=(222,,),nBC⋅=0,y=0,2则即nPC⋅=0,xyz222+−=0,令x2=1,则z2=1,所以n=(1,0,1),mn⋅11所以cos〈mn,〉===,|mn|||22×2又因为二面角APC−−B为锐二面角,学科网(北京)股份有限公司 π所以二面角APC−−B的大小为.319.【解析】(1)ab=(3sinC+cosC),根据正弦定理得,sinABCC=sin(3sin+cos),即sincosBC+=+cossinBC3sinsinBCBCsincos,∴=cossinBC3sinsinBC,因为sinC>0,3∴=cosBB3sin,所以tanB=,3πBB∈(0,π),∴=.6π(2)BC=23,BD=1,B=,根据余弦定理得62223CD=BC+BD−2BCBD⋅⋅cosB=+−××1122123×=∴7,CD=7.2ππ∠BDC=+∴∠∠A,sinBDC=+=sin∠AcosA.22BCCD237=,∴=在BDC中,由正弦定理知,sin∠∠BDCsinBcosA1,221π27∴=cosAA,∈∴=0,,sinA,727sinA23CD21∴===∴=tanA,AC.cosA3AC2π2cosx+20.【解析】(1)cosxx−sin4,fx′()==xxeeππππ令fx′()>0,则cosx+>0,即2kxkkπ−<+<2π+(∈Z),42423ππ解得fx()的递增区间为2kkkπ−+∈,2π(Z);44πππ3π令fx′()<0,则cosx+<0,即2kxkkπ+<+<+2π(∈Z),4242学科网(北京)股份有限公司 π5π解得fx()的递减区间为2kkkπ++∈,2π(Z).443ππ所以,fx()的递增区间为2kkkπ−+∈,2π(Z),44π5π递减区间为2kkkπ++∈,2π(Z).44π(2)因为对于任意的x∈0,,fx()kx恒成立,2sinxπ所以kx对于任意的x∈0,恒成立,xe2当x=0时,k∈R;πsinx当x∈0,时,k,x2xesinxπ令gx()=,x∈0,,xxe2xxcos−sinxxx−sin所以gx′()=.2xxeπ令hx()=−−xxcossinxxxxsin,∈0,,2π所以hx′()=−−−<xxsinsinxxxcos0在x∈0,上恒成立,2π所以hx()在0,上单调递减,2π所以hxh()<=(00),即gx′()<0在x∈0,上恒成立2ππ2所以gx()在0,上单调递减,所以gx()min=g=π,22πe22k所以π.πe2学科网(北京)股份有限公司 2综上,实数k的取值范围为−∞,.ππe2221.【解析】(1)由条件抛物线Cy:=2pxp(>0),点Qaa(−>,0()0),lx=−>myam,将其与抛物线C的方程联立,消去x得2设PQ:(0)y−+=220pmypa.①2a22因为PQ与抛物线C切于点P,所以方程①的判别式为Δ=4pm−×42pa=0,解得m=.p222a进而,点Pa(,2pa).故PQ=+1myP−=+012pa=42a+pa.p2由PQ=2,则424a+=pa.②(2)设圆CC12、的圆心分别为OxyOxy111(,,)222(,).注意到,OP与圆CC12、均切于点P,故OP⊥OO12.设圆CC12、与x轴分别切于MN,,如图所示:则OOOO12,分别为∠∠POM、PON的角平分线,故OM1=OPON1,2=OP2,∠OOO12=90,OPOP1易知OPO21∽OPO,则=,OPOP22222yy=OMON⋅=⋅=OPOP||OP=+=+xya2pa.121212PP22结合式②有yy=+=a2pa43−a.③12yy11−Py1−2paOP11OMy由OPO12,,三点共线得====,yP−y22pa−y2PO222ONy学科网(北京)股份有限公司 2化简可得y1+=y2yy12.④2pa22令Tyy=12+,于是,圆CC12、的面积之和为πT.根据题意,仅需考虑T取最小值的情形,根据③、④知222442(43−−aa)(2)T=(y+−=⋅−=y)2yyyy222yy(43−−−=a2)243(a2).12121212222pa44−−a1a22(311tt++)()11令ta=−1,由4t=−44a=2pa>>0,t0,T==++3t423t⋅+=423+4.ttt31当且仅当t=时,上式等号成立.此时,at=−=−11.332pat1−31t====结合式(2)得2a13333−−.1−31故点F的坐标为,0.33−222.【解析】(1)2个T结束后,ξ的取值可能为1,2,3,4,其中Pp(ξ=1)=,23P(ξ==−+−211)p(p)(pppp)=−,123P(ξξ==−×××−=3)(1p)Cnp(1pppP)2(1−),(==−4)(1p),所以ξ分布列为ξ12342323Pppp−2(1pp−)(1−p)23232E(ξ)=×+×−1p2(pp)+×32(1pp−)+×−4(1ppp)=−+44.(2)(i)Pn2()表示分裂nT结束后共有2个细胞的概率,则必在某一个周期结束后分裂成2个X细胞.不妨设在第kT时分裂为2个X细胞,之后一直有2个X细胞,nk−k−1221nk−−此事件概率Pp2,k=×−×(11pp)()=−×(pp),学科网(北京)股份有限公司 n21nk−−所以PnPP2()=+++=2,12,2P2,n∑(1−⋅pp)k=1n211n−−kn−n=−(1pp)∑p=p⋅−(1p).k=1(ii)Pn3()代表分裂nT后有3个细胞的概率,设细胞X在kT后分裂为2个新的X细胞,这两个X细胞在剩下的(nkT−)中,其中一个分裂为2个X细胞,一个保持一直分裂为1个X细胞,此事件的概率k−11nk−k−1nk−nk−−1nk−P3,k=pp⋅−⋅(1C)2p⋅P2(n−=k)pp⋅−⋅⋅(12)p⋅pp⋅−(1),22n−−kn32−−2k得P3,k=21p⋅−⋅−(pp)21p⋅−⋅(pp),nn22n−−kn32−−2kP3()nPP=+++=3,13,2Pp3,n2⋅−⋅(1ppp)∑∑−2⋅−⋅(1pp)kk=11=nn−−11nnnn21p⋅−(p)⋅−(1p)2ppp⋅−⋅−()(1p)==,211++p(pp)1n其中pp∈∈,1,(0,1).2n2x⋅−⋅−(pxxxxx)(1)21⋅−⋅−()(1)令xpPn=,3()=22<,(11++pp)(pp)21记fxxxfx()=−(1),′()=−−(1x)(13x),令fx′()=0,得x=.31当x∈>0,,fx′()0,fx()单调递增;31当x∈<,1,fx′()0,fx()单调递减.314故[]fx()max=f=,32788也就是Pn3()<<22.271(+pp)27p学科网(北京)股份有限公司

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2024-02-24 11:00:02 页数:18
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文章作者:180****8757

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