人教版九年级数学下册（第二十七章 相似）27.3 位似（学习、上课课件）

27.3位似第二十七章相似 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2位似图形的定义位似图形的性质位似图形的画法平面直角坐标系中的位似 知1－讲感悟新知知识点位似图形的定义11.定义：如果一个图形上的点A，B，…，P，…和另一个图形上的点A′，B′，…，P′，…分别对应，并且它们的连线AA′，BB′，…，PP′，…都经过同一点O，==…==…，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心. 知1－讲特别提醒●两个位似图形的位似中心有且只有一个.●位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部、边上或某一个顶点处. 感悟新知2.位似与相似的关系：(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点.(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此，位似是相似的特殊情况.知1－讲 知1－练例1判断如图27.3-1所示的各图中的两个图形是不是位似图形，如果是，请指出其位似中心. 知1－练解题秘方：紧扣位似图形的定义”进行判断.解：(1)是位似图形，位似中心为点A；(2)不是位似图形；(3)是位似图形，位似中心为点O. 知1－练1-1.为了增强视力保护意识，小红要在书房挂一张视力表，如图是视力表的一部分，图中的类似“E”的图形均是相似图形，下面不是位似图形的是()A．①和④B．②和③C．①和②D．②和④B 感悟新知知2－讲知识点位似图形的性质2位似图形具有的性质：(1)位似图形每组对应顶点的连线必过位似中心.(2)位似图形任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.(3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等.(4)若两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知2－讲感悟新知特别解读利用位似图形的性质可以解决：1.多边形的放大或缩小；2.确定位似中心；3.求周长或面积. 感悟新知知2－练找出如图27.3-2所示的位似图形的位似中心.例2 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣“位似图形每组对应顶点的连线必过位似中心”进行查找.解：如图27.3-3，点P1，P2，P3即为所求的位似中心. 知2－练2-1.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点DD 知2－练感悟新知如图27.3-4，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，AO=3，A′O=6.例3解题秘方：紧扣位似图形相似比的性质进行计算. 知2－练感悟新知(1)若AC=5，求A′C′的长；解：因为△ABC与△A′B′C′是位似图形，AO∶A′O=3∶6=1∶2，所以△ABC∽△A′B′C′，且相似比为.所以=，即=.所以A′C′=10. 知2－练感悟新知(2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.解：根据题意，=()2=，即=.所以S△A′B′C′=7×4=28. 知2－练3-1.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为()A.2B.8C.16D.24C 知2－练3-2.[中考·长春]如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.若OA∶AA′=1∶2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为_______.1:3 感悟新知知3－讲知识点位似图形的画法3画位似图形的步骤：(1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点处)；(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长； 知3－讲感悟新知特别提醒以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形. 知3－讲感悟新知(3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置；(4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.注意：画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比. 知3－练[开放题]如图27.3-5，已知四边形ABCD，将四边形ABCD放大，使放大后的图形与原图形是位似图形，且放大后的图形与原图形对应线段的比为2∶1.例4 知3－练解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位似图形的步骤作图(画法不唯一). 知3－练解：(画法不唯一)根据位似中心的不同位置情况进行作图.画法一：位似中心在四边形的顶点上，如图27.3-6，以点A为位似中心，四边形AB1C1D1就是所求作的图形. 知3－练画法二：位似中心在四边形的边上，如图27.3-7，以AD边上一点为位似中心，四边形A1B1C1D1就是所求作的图形. 知3－练4-1.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点. 知3－练(1)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°，得到△A1BC1，请在网格中画出△A1BC1.解：如图所示，△A1BC1即为所求． 知3－练(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为3∶1.请在网格中画出△A′B′C′.解：如图，△A′B′C′即为所求． 感悟新知知4－讲知识点平面直角坐标系中的位似41.位似变换时的对应点的坐标变化规律：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky). 感悟新知知4－讲2.位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别：(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换.(2)在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律： 感悟新知知4－讲①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离；②在轴对称变换中，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则纵坐标相等，横坐标互为相反数；③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数；④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝对值都等于相似比. 知4－讲感悟新知特别提醒●在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，位似图形与原图形的相似比为k，那么当位似图形与原图形在原点的同侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)；当位似图形与原图形在原点的两侧时，原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky).●当k>1时，图形扩大为原来的k倍；当0<k<1时，图形缩小为原来的k. 感悟新知知4－练如图27.3-8，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1).例5 知4－练感悟新知解题秘方：根据位似中心及相似比作图，再利用位似变换的坐标变化规律求对应点的坐标. 感悟新知知4－练(1)画出以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2)的位似图形△OB′C′； 感悟新知知4－练解：如图27.3-8，延长BO到点B′，使OB′=2OB；延长CO到点C′，使OC′=2OC，连接B′C′，则△OB′C′就是要画的图形. 感悟新知知4－练(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；解：点B′，C′的坐标分别为(－6，2)，(－4，－2). 感悟新知知4－练(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，试写出点M的对应点M′的坐标.解：点M(x，y)的对应点M′的坐标为(－2x，－2y). 知4－练感悟新知方法点拨：位似变换作图的思路有两种一种是先求出变换后对应点的坐标，再描点画图；另一种是先根据对应边的比画出位似变换后的图形，再确定对应点的坐标. 知4－练感悟新知5-1.[中考·舟山]如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′， 知4－练感悟新知则顶点C′的坐标是()A.(2，4)B.(4，2)C.(6，4)D.(5，4)C 位似位似图形画法定义性质坐标规律