八年级数学（第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明）13.1 三角形中的边角关系（沪科版 学习、上课资料）

13.1三角形中的边角关系第十三章三角形中的边角关系、命题与证明第1课时三角形中边的关系 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的相关元素三角形按边分类三角形的三边关系 知1－讲感悟新知知识点三角形的相关元素11.三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形.三角形的表示法：用符号“△”表示三角形，如图13.1.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排 感悟新知知1－讲特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如顶点A所对的边BC可用a表示. 感悟新知2.三角形的“三元素”(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图13.1.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点.(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边.如图13.1.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC的三条边.知1－讲 感悟新知(3)内角：在三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图13.1.1-1，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个角.知1－讲 知1－练感悟新知如图13.1.1-2中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是()例1 感悟新知知1－练特别提醒图形是三角形与图形内含有三角形是两个不同的概念.图形是三角形表示整个图形是一个三角形，图形内含有三角形表示图形局部有三角形，如选项A，B，D中的图形内都含有三角形，但整个图形不是三角形. 知1－练感悟新知解：选项A，B，C，D都是由三条线段组成的图形，但选项A，B，D不是首尾顺次相接，因此只有选项C符合三角形的“三要素”.解题秘方：紧扣三角形的“三要素”进行识别.答案：C 感悟新知知1－练如图13.1.1-3，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.例2 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.方法点拨几何图形计数的常用方法：1.按序计数法；2.画图计数法；3.基本图形计数法；4.分类计数法. 感悟新知知1－练(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来.解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE. 感悟新知知1－练(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？三个内角呢？解：△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD. 感悟新知知1－练(3)以AB为边的三角形有哪些？解：以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 感悟新知知1－练(4)以∠C为内角的三角形有哪些？解：以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 感悟新知知1－练特别提醒三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，如△ABF也可以写成△BAF，△BFA，△FAB等. 感悟新知知2－讲知识点三角形按边分类21.按边的相等关系分类三角形等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. 感悟新知知2－讲分类示意图如图13.1.1-4. 知2－讲感悟新知特别提醒对三角形进行分类时，原则是不重复，不遗漏. 感悟新知知2－讲2.等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.(如图13.1.1-5)特别地，三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形. 感悟新知知2－练[易错题]下列说法：①三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形一定是等腰三角形；③有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个例3 知2－练感悟新知答案：B解：等边三角形是特殊的等腰三角形，它属于等腰三角形，故①错误；②正确；③为等腰三角形的定义，故正确. 感悟新知知2－练易错警示在按边分类时，等边三角形属于等腰三角形，不能单独作为一类. 感悟新知知3－讲知识点三角形的三边关系31.三角形的三边关系文字语言数学语言理论依据图形三角形中任何两边的和大于第三边a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b两点之间线段最短三角形中任何两边的差小于第三边a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b(a＞b＞c) 感悟新知知3－讲2.三角形三边关系的应用(1)判断三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值范围；(3)三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围；(4)说明线段的不等关系. 知3－讲感悟新知特别提醒◆三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较短的边的和与第三边作比较，选取最长边与最短边的差与第三边作比较.◆已知三角形两边长a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a+b. 知3－练感悟新知[中考·金华]已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是()A.2cmB.3cmC.6cmD.13cm例4 知3－练感悟新知答案：C解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”进行判断.解：设第三边的长为xcm，因为三角形的两边长分别为5cm和8cm，所以8－5＜x＜8+5，所以3＜x＜13. 感悟新知知3－练技巧提醒确定三条线段能否组成三角形的两种方法：1.看较短的两条线段的和是否大于最长的线段，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形.2.看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三条线段，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形. 知3－练感悟新知[中考·大庆]三个数3，1－a，1－2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为___________．例5 知3－练感悟新知解题秘方：由三个数的大小关系初步确定a的取值范围为a＜－2；再紧扣三角形的三边关系得到3+(1－a)＞1－2a，从而求出a的取值范围． 知3－练感悟新知答案：－3＜a＜－2解：因为3，1－a，1－2a在数轴上从左到右依次排列，所以3＜1－a＜1－2a.所以a＜－2.因为以这三个数为边长能构成三角形，所以3+(1－a)＞1－2a.所以a＞－3.所以－3＜a＜－2. 感悟新知知3－练方法点拨已知某三条线段能围成一个三角形，则其中任何一边都小于另两边之和，大于另两边之差，据此既可以解决“已知两边长，求第三边长的取值范围”，也可以解决“用字母表示三角形边长时字母的取值范围”. 知3－练感悟新知如图13.1.1-6，已知点D是△ABC内一点．试说明：(1)BD+CD＜AB+AC；(2)AD+BD+CD＜AB+BC+AC．例6 感悟新知知3－练解法提醒说明线段和的大小关系，首先要把这些分散的线段集中，构造三角形，并运用“三角形任意两边的和大于第三边”这一关系，得出几个同向不等式，然后根据不等式的性质等知识，得出结论. 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”将要说明的线段转化到三角形三边中去说明. 知3－练感悟新知解:(1)如图13.1.1-7，延长BD交AC于点E，在△ABE中，有AB+AE＞BE，在△EDC中，有ED+EC＞CD，所以AB+AE+ED+EC＞BE+CD.因为AE+EC＝AC，BE＝BD+DE，所以AB+AC+ED＞BD+DE+CD.所以AB+AC＞BD+CD.即BD+CD＜AB+AC. 知3－练感悟新知解:(2)由(1)同理可得：AD+CD＜AB+BC，BD+AD＜BC+AC，又因为BD+CD＜AB+AC，所以2(AD+BD+CD)＜2(AB+BC+AC).所以AD+BD+CD＜AB+BC+AC． 三角形中边的关系三边关系组成元素不等边三角形分类三角形边角顶点等腰三角形按边分类 13.1三角形中的边角关系第十三章三角形中的边角关系、命题与证明第2课时三角形中角的关系 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形按角分类三角形的内角和定理 知1－讲感悟新知知识点三角形按角分类11.各类三角形的概念(1)锐角三角形：三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.(2)直角三角形：三角形中,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.(3)钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 感悟新知知1－讲拓展1.三角形的内角中，最多有一个直角或一个钝角；最少有两个锐角.2.三角形按边分类和按角分类是两种不同的分类方式，各自独立，无论按哪种标准分类,原则都是不重不漏.3.同一个三角形可能同时属于两种不同的分类，如等腰直角三角形，按边分类属于等腰三角形，按角分类属于直角三角形. 感悟新知2.直角三角形的表示直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边,直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图13.1.2-1所示.知1－讲 感悟新知3.三角形按角的大小分类三角形知1－讲 知1－练感悟新知下列说法中，正确的有()①锐角三角形中最大的角一定小于90°；②所有的等边三角形都是锐角三角形；③所有的等腰三角形都是锐角三角形；④直角三角形一定不是等腰三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个例1 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣三角形分类的标准进行辨析.①锐角三角形的三个角都为锐角，锐角小于90°，故正确；②等边三角形的三个角都为60°，所以它是锐角三角形，故正确；③对于顶角是钝角的等腰三角形，不满足结论，故错误； 知1－练感悟新知方法点拨此题考查三角形的分类，按角分类的关键是先观察一个三角形中是否有直角或钝角；按边分类应观察一个三角形中是否有相等的边，有几条相等的边. 知1－练感悟新知④直角三角形可能是等腰三角形，三角尺中就有一个是等腰的直角三角形，故错误.故选B.答案：B 知2－讲感悟新知知识点三角形的内角和定理21.定理三角形三个内角的和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 感悟新知知2－讲特别解读1.三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.2.三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 感悟新知2.说明三角形的内角和定理的思路思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图13.1.2-2①②.知2－讲 感悟新知知2－讲特别提醒说明三角形的内角和定理的思路方法：主要是运用平行线作为桥梁，将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这个角或两个角的和是180°即可. 感悟新知思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图13.1.2-3①②.知2－讲 知2－练感悟新知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.解题秘方：紧扣三角形的内角和定理建立方程(组)求解.例2 知2－练感悟新知(1)已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度数；解：设∠B=∠C=x°，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，所以40+x+x=180，解得x=70，所以∠B=∠C=70°. 感悟新知知2－练另解因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，所以∠B+∠C=180°－40°=140°.又因为∠B=∠C，所以∠B=∠C=140°÷2=70°. 知2－练感悟新知(2)已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B的度数；解：设∠A=x°，∠B=y°，因为∠A－∠B=16°，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=54°，所以解得所以∠A=71°，∠B=55°. 知2－练感悟新知(3)已知∠A=∠B=∠C，求∠A，∠B，∠C的度数. 知2－练感悟新知解：因为∠A=∠B=∠C，所以∠B=2∠A，∠C=3∠A.设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+2x+3x=180.∴x=30.所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°. 知2－练感悟新知教你一招：三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解.当角之间存在某种数量关系时，一般根据三角形的内角和为180°列方程求解. 知2－练感悟新知方法点拨求三角形内角的度数的方法：1.若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形的内角和求解.2.若已知一个角的度数及另两个角之间的数量关系；或不知道任何一个角的度数，只知道三个角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和为180°”这个隐含的数量关系列方程(或方程组)求解. 感悟新知知2－练一个零件的形状如图13.1.2-4所示，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.例3 知2－练感悟新知解题秘方：建立三角形的模型利用三角形内角和求出角度和，再用三角形内角和进行验证.解法提醒“三角形的内角和等于180°”这个定理是任何三角形都必须具备的性质. 知2－练感悟新知解：这个零件不合格，理由：如图13.1.2-4，连接BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，因为∠A=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=38°.在△DCB中，∠BDC=180°－(∠DCB+∠DBC)=180°－38°=142°≠146°，所以这个零件不合格. 三角形中角的关系内角和等于180°三个内角的数量关系三角形中角的关系直角三角形斜三角形最大角的大小 13.1三角形中的边角关系第十三章三角形中的边角关系、命题与证明第3课时三角形中几条重要线段 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的角平分线三角形的中线三角形的高 知1－讲感悟新知知识点三角形的角平分线1定义　三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 感悟新知知1－讲特别提醒◆角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.◆三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分.故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. 感悟新知几何语言：如图13.1.3-1，(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC交BC于点D；(3)∠BAD=∠CAD=∠BAC.知1－讲 知1－练感悟新知[月考·合肥]如图13.1.3-2，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE=∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．例1 知1－练感悟新知解：AD是△ABC的角平分线．理由：因为DE∥AC，DF∥AB，所以∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD.又因为∠ADE=∠ADF，所以∠DAF=∠EAD.所以AD是△ABC的角平分线．解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明. 知1－练感悟新知解法提醒本题主要考查了角平分线的定义及平行线的性质.三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 感悟新知知2－讲知识点三角形的中线21.定义三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线. 感悟新知知2－讲几何语言：如图13.1.3-3，(1)AD是△ABC中BC边上的中线；(2)D是BC边的中点；(3)BD=DC，BD=BC，DC=BC或BD=DC=BC. 知2－讲感悟新知特别解读三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系：1.两个三角形的面积相等；2.两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的差. 感悟新知知2－讲2.三角形的重心三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如图13.1.3-4中的点O)，重心在三角形内部. 感悟新知知2－练如图13.1.3-5，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长；(2)若S△ABC=8，求S△ABE.例2 知2－练感悟新知解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.解：(1)因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5. 知2－练感悟新知(2)因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ABC=4.因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△ABD=2. 知2－练感悟新知详解三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个三角形的面积相等，即S△ABD=S△ADC=S△ABC. 感悟新知知3－讲知识点三角形的高31.三角形的高的定义和性质 感悟新知知3－讲定义从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高图形性质因为AD是△ABC的边BC上的高(已知)，所以AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)判定因为AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)，所以线段AD是△ABC的边BC上的高(高的定义) 感悟新知知3－讲2.三角形三条高的位置高的位置交点位置交点名称锐角三角形三条高都在三角形内部三角形内一点垂心直角三角形其中两条高恰好是直角边直角顶点钝角三角形其中两条高在三角形外部三角形外一点 知3－讲感悟新知示图 知3－练感悟新知如图13.1.3-9，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.(1)△ABC的边BC上的高为______，边AB上的高为________；(2)若AB=5，BC=2，CD=，则AE=________.例3 知3－练感悟新知解题秘方：(1)紧扣“三角形高的定义”进行判断.(2)分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.解：(1)△ABC是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD. 知3－练感悟新知答案：(1)AE；CD(2)(2)因为S△ABC=BC·AE=AB·CD，所以×2×AE=×5×.所以AE=. 知3－练感悟新知特别提醒作三角形某边上的高的方法：1.找出该边所对的顶点；2.过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 知3－练感悟新知教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的方法之一.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系是一种很重要的数学方法——等积法. 三角形中几条重要线段都有三条三角形的重要线段都是线段(所在直线)相交于一点中线角平分线高