备考2024届高考数学一轮复习大题规范练4立体几何

大题规范4　立体几何考情综述　立体几何解答题每年必考，从其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置来看，难度有所下降，说明试题的难度在灵活调整.从近几年的命题情况来看，设问主要采用“论证与计算”相结合的模式，考查考生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养，转化与化归（空间问题转化为平面问题）和数形结合（根据空间位置关系，利用向量转化为代数运算）的思想方法.高频命题角度有：（1）空间几何体中的线、面平行和垂直问题，注意空间线、面平行（垂直）的判定定理和性质定理在解题中的应用；（2）空间角、空间距离的求解，掌握空间异面直线所成角、线面角、二面角、点线距离、点面距离、线面距离的求法；（3）不同知识点间的交汇，如空间几何体的体积与空间角、距离相融合等.在利用有关判定定理和性质定理时，应注意定理条件叙述的完整性，否则，极易被扣分！示例　[2023全国卷甲/12分]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.（1）证明：A1C＝AC；（2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.思维导引　（1）（2）规范答题（1）如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D.（1分）→观察图形特征与待证的结论，适当添加辅助线.∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，（2分）→由线面垂直证得线线垂直，注意线在面内的说明.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1.∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，（3分）→证明线面垂直，注意“线不在多，重在相交”，不要漏写两线相交的说明，否则，易被扣分.又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1.（4分）由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.（5分）（2）如图，连接A1B，由（1）易证Rt△A1CB≌Rt△A1C1B1，∴A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，又△CA1C1是等腰直角三角形，A1D⊥CC1，A1D＝1，CC1＝2，∴A1C＝A1C1＝AC＝2，AB＝A1B1＝5，BC＝3.建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，（6分）→必须判断经过点C的三条直线两两垂直，才能建立空间直角坐标系.则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，3，0），B1（－2，3，2），C1（-2，0，2），∴CB＝（0，3，0），CC1＝（－2，0，2），AB1＝（－22，3，2）.（7分）→空间中点的坐标一定要求准确，向量的坐标利用“终减起”求解.设平面BCC1B1的法向量为n＝（x，y，z），则n·CB=0，n·CC1=0，即3y=0，－2x＋2z=0，取x＝1，则y＝0，z＝1，∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝（1，0，1）.（9分）设AB1与平面BCC1B1所成的角为θ，则sinθ＝｜cos＜n，AB1＞｜＝｜n·AB1｜｜n||AB1｜＝1313.（11分）→注意区分求线面角与二面角的向量公式，不要混淆. ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为1313.（12分）→注意及时下结论，避免丢分.感悟升华1.解答立体几何问题重在“建”——建模，建系2.求解空间中的平行与垂直问题的关键熟练把握空间中平行与垂直的判定定理和性质定理是解题的关键.在运用定理证明问题时，要注意定理的条件要书写齐全.3.利用向量法求线面角和二面角的关注点建立恰当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出相应平面的法向量是解题的关键.求解时，要注意：（1）点的坐标的准确性；（2）线面角与二面角公式的区分；（3）二面角的平面角是锐角还是钝角；（4）所求为空间角的正弦值还是余弦值.训练　[2024湖北部分重点中学联考/12分]如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，BE＝EF＝FC＝1.（1）求证：BF⊥平面ACFD；（2）求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.解析　（1）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，又BF⊂平面BCK，因此BF⊥AC.（2分）又EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，（3分）则BF⊥CK，又CK∩AC＝C，所以BF⊥平面ACFD.（4分）（2）如图，取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC. 又平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，KO⊂平面BCFE，所以KO⊥平面ABC.以点O为坐标原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.（5分）由题意得B（1，0，0），C（－1，0，0），K（0，0，3），A（－1，－3，0），E（12，0，32）.因此，AC＝（0，3，0），AK＝（1，3，3），AB＝（2，3，0）.（6分）设平面ACK的法向量为m＝（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为n＝（x2，y2，z2）.由AC·m=0，AK·m=0，得3y1=0，x1+3y1＋3z1=0，取m＝（3，0，－1）.（8分）由AB·n=0，AK·n=0，得2x2+3y2=0，x2+3y2＋3z2=0，取n＝（3，－2，3）.于是，cos〈m，n〉＝m·n｜m||n｜＝33－33+1×9+4+3＝34.（11分）由图知二面角B－AD－F的平面角为锐角，所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为34.（12分）