备考2024届高考数学一轮复习好题精练第四章三角函数突破：三角函数中有关ω问题的求解

突破　三角函数中有关ω问题的求解命题点1　利用三角函数对称性求ω例1将函数y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的图象分别向左、向右平移π6个单位长度后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（　A　）A.3B.2C.4D.6解析　将函数y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的图象分别向左、向右平移π6个单位长度后，得到y1＝4sin[ω（x＋π6）＋π2]，y2＝4sin[ω（x－π6）＋π2]的图象.由两个图象的对称轴重合，可得[ω（x＋π6）＋π2]－[ω（x－π6）＋π2]＝ω3π＝kπ（k∈Z），所以ω＝3k（k∈Z）.又ω＞0，所以ω的最小值为3.方法技巧已知三角函数的对称性求ω的思路：根据三角函数的对称性与周期的关系，对称轴与最值的关系，对称中心与零点的关系求ω.训练1[2023四川省名校联考]已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0），若∃x0∈[－π4，π3]，使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（　A　）A.34B.1C.32D.2解析　f（x）＝2sin（ωx＋π4）.f（x）的图象在[－π4，π3]上存在与x轴平行的切线，即f（x）的图象在[－π4，π3]上存在对称轴，所以－π4ω＋π4≤－π2或π3ω＋π4≥π2，解得ω≥3或ω≥34，所以ω的最小值为34，故选A.命题点2　利用三角函数单调性求ω例2[全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π2），x＝－π4为f（x）的零点，x＝π4为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）上单调，则ω的最大值为（　B　）A.11B.9C.7D.5解析　依题意，有ω·（－π4）＋φ＝mπ，ω·π4＋φ＝nπ＋π2（m，n∈Z），解得ω=2（n－m）+1，φ＝2（m＋n）+14π.又｜φ｜≤π2，所以m＋n＝0或m＋n＝－1.由f（x）在（π18，5π36）上单调，得πω≥5π36－π18，所以0＜ω≤12.当m＋n＝0时，ω＝4n＋1，φ＝π4， 取n＝2，得ω＝9，f（x）＝sin（9x＋π4），此时，当x∈（π18，5π36）时，9x＋π4∈（3π4，3π2），f（x）单调，符合题意.当m＋n＝－1时，φ＝－π4，ω＝4n＋3，取n＝2，得ω＝11，f（x）＝sin（11x－π4），此时，当x∈（π18，5π36）时，11x－π4∈（13π36，23π18），f（x）不单调，不合题意.故ω的最大值为9.方法技巧已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在[x1，x2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围的步骤：（1）根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期T的一半，即x2－x1≤12T＝πω，求得0＜ω≤πx2－x1；（2）以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z，解得ω的范围；（3）结合（1）中求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω的取值范围.训练2（1）[2023贵州省适应性测试]将函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到函数g（x）的图象.若g（x）的图象关于点（π4，0）对称，且g（x）在[π3，5π6]上单调递减，则ω＝（　B　）A.13B.23C.1D.2解析　由题意可得g（x）＝cos（ωx＋π2ω），因为g（x）的图象关于点（π4，0）对称，所以3πω4＝π2＋kπ，k∈Z，即ω＝23＋43k，k∈Z.令2k1π≤ωx＋π2ω≤π＋2k1π，k1∈Z，得g（x）的单调递减区间为[2k1πω－π2，π+2k1πω－π2]，k1∈Z，因为g（x）在[π3，5π6]上单调递减，所以π3≥2k1πω－π2，5π6≤π+2k1πω－π2，5π6－π3≤12·2πω，k1∈Z，解得12k15≤ω≤34＋32k1且0＜ω≤2，k1∈Z，所以k1只能取0，得0＜ω≤34.又ω＝23＋43k，k∈Z，所以k只能取0，得ω＝23.故选B.（2）[2023四川省遂宁市三诊]已知函数f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx（ω＞0），f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－x2｜的最小值为π，则ω的最小值为　12　.解析　f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx＝32sinωx＋12cosωx＋cosωx＝32sinωx＋32cosωx＝3sin（ωx＋π3），因为f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－x2｜的最小值为π，所以函数f（x）的最小正周期T的最大值为4π，ω的最小值为12.命题点3　利用三角函数最值求ω 例3将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（　C　）A.（712，1312]B.[712，1312）C.[1112，1712）D.（1112，1712]解析　由已知得函数g（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π），由g（x）的图象经过点（0，32）以及点在图象上的位置，得sinφ＝32，φ＝2π3，∵0≤x≤2π，∴2π3≤ωx＋2π3≤2πω＋2π3，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴5π2≤2πω＋2π3＜7π2，∴1112≤ω＜1712.方法技巧若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于ω的不等式（组），进而求出ω的取值范围.训练3[2023乌鲁木齐市质监]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且在区间（π，2π）内不存在最值，则ω的取值范围是（　D　）A.（0，16]B.[14，712]C.（0，16]∪[14，712]D.（0，16]∪[13，23]解析　因为f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象过点（0，1），所以f（0）＝2sinφ＝1，即sinφ＝12.又0＜φ＜π2，所以φ＝π6，于是f（x）＝2sin（ωx＋π6）.因为f（x）在区间（π，2π）内不存在最值，所以π≤T2＝πω（T为f（x）的最小正周期），得ω≤1.当x∈（π，2π）时，ωx＋π6∈（πω＋π6，2πω＋π6），其中π6＜πω＋π6≤7π6，所以有两种情况：①π6＜πω＋π6＜π2，2πω＋π6≤π2，解得0＜ω≤16；②π2≤πω＋π6≤7π6，2πω＋π6≤3π2，解得13≤ω≤23.故选D.命题点4　利用三角函数零点、极值点求ω例4[2023新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）＝cosωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　[2，3）　.解析　函数f（x）＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）.方法技巧 三角函数图象上两个相邻零点间和两个相邻极值点间的距离均为T2（T为最小正周期），根据三角函数的零点个数或极值点个数，可确定区间长度范围，进而研究ω的取值.训练4（1）[2022全国卷甲]设函数f（x）＝sin（ωx＋π3）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　C　）A.[53，136）B.[53，196）C.（136，83]D.（136，196]解析　结合4个选项可设ω＞0.由x∈（0，π），得ωx＋π3∈（π3，πω＋π3）.根据函数f（x）在区间（0，π）恰有三个极值点和两个零点，知5π2＜πω＋π3≤3π，得136＜ω≤83，即ω的取值范围为136＜ω≤83.（2）[2022全国卷乙]记函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T.若f（T）＝32，x＝π9为f（x）的零点，则ω的最小值为　3　.解析　因为T＝2πω，f（2πω）＝32，所以cos（2π＋φ）＝32，即cosφ＝32.又0＜φ＜π，所以φ＝π6.因为x＝π9为f（x）的零点，所以π9ω＋π6＝π2＋kπ（k∈Z），解得ω＝9k＋3（k∈Z）.又ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值，且最小值为3.