备考2024届高考物理一轮复习讲义第五章万有引力与宇宙航行专题八卫星变轨问题双星模型题型3双星或多星模型

题型3　双星或多星模型1.双星模型（1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2.（2）两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.（3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.（4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为m1m2＝r2r1.（5）推论：双星的运行周期T＝2πL3G（m1＋m2）.（6）推论：双星的总质量m1＋m2＝4π2L3T2G.2.多星模型分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体外，各星体的角速度和周期相等.（1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示.②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示.（2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式：①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示.②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 研透高考明确方向命题点1　双星模型8.[2024山东日照高三校联考开学考试/多选]2023年6月21日，国际学术期刊《自然》刊载：“中国天眼FAST”发现了一个名为PSRJ1953＋1844（M71E）的双星系统，其轨道周期仅为53分钟，是目前发现轨道周期最短的脉冲星双星系统.假设双星系统中两颗脉冲星在演化过程中，质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并.某双星系统中的两颗脉冲星a和b的质量分别为m1、m2，其中m2＝14m1，轨道周期为T，万有引力常量为G.根据提供的信息，下列说法正确的是（　ABD　）A.两颗脉冲星的距离为3G（m1＋m2）T24π2B.脉冲星a的线速度大小为141532πG（m1＋m2）TC.脉冲星b的密度为3πGT2D.若在演化过程中双星间的距离保持不变，则双星间的引力逐渐减小解析　两颗脉冲星a和b构成双星系统，两颗脉冲星的角速度和周期相同，设两者间距离为L，轨道半径分别为r1、r2，有Gm1m2L2＝m14π2T2r1，Gm1m2L2＝m24π2T2r2，r1＋r2＝L，联立解得L＝3G(m1＋m2)T24π2，故A正确；根据m2＝14m1，可得m2m1＝r1r2＝141，可得r1＝1415L，则脉冲星a的线速度大小为v1＝2πT·r1＝141532πG(m1＋m2)T，故B正确；因脉冲星b的半径未知，故无法求出其密度，故C错误；若在演化过程中双星间的距离L保持不变，而质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并，则两颗脉冲星的质量乘积逐渐减小，故双星间的引力F＝Gm1m2L2会逐渐减小，D正确.考法拓展 [物理量的估算]双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr（a星的轨道半径大于b星的轨道半径），则（　B　）A.b星的周期为l－Δrl＋ΔrTB.a星的线速度大小为π（l＋Δr）TC.a、b两颗星的轨道半径的比值为ll－ΔrD.a、b两颗星的质量的比值为l＋Δrl－Δr解析　双星系统中的两颗星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b星的周期也为T，故A错误；根据题意可知ra＋rb＝l，ra－rb＝Δr，解得ra＝l＋Δr2，rb＝l-Δr2，则a星的线速度大小va＝2πraT＝π(l＋Δr)T，rarb＝l＋Δrl-Δr，故B正确，C错误；对a、b两颗星，有maω2ra＝mbω2rb，解得mamb＝rbra＝l-Δrl＋Δr，故D错误.命题点2　多星模型9.[三星系统/多选]太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式（如图所示）：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则（　BC　）A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B.直线三星系统的运动周期T＝4πRR5GMC.三角形三星系统中星体间的距离L＝3125RD.三角形三星系统的线速度大小为125GMR 解析　直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；直线三星系统中，对甲星(或丙星)有GM2R2＋GM2(2R)2＝M4π2T2R，解得T＝4πRR5GM，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2GM2L2cos30°＝M4π2T2·L2cos30°，联立解得L＝3125R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝2πrT＝2πL2cos30°T，联立解得v＝36·3125·5GMR，D错误.