直线与圆锥曲线的综合问题（强化训练）（原卷版）

专题3.7直线与圆锥曲线的综合问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中点弦问题题型四定点问题题型五定值问题 题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ）A．相交B．相切C．相离D．不能确定2．若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．3．直线与双曲线的交点个数是（    ）A．0B．1C．2D．34．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为.5．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数．6．已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为. 7．如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：  (1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？题型二弦长问题8．已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段的长．9．直线与椭圆交于两点，记的面积为.(1)当，时，求的取值范围；(2)当，时，求直线的方程.10．已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．11．已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为． (1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．12．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.13．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．题型三中点弦问题14．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ）A．B．C．D．15．设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ）A．B．C．D．16．（多选）已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ）A．B．椭圆C的离心率为C．直线l的方程为D．的周长为 17．已知椭圆的长轴长为，是上一点.(1)求E的方程；(2)若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值.18．在平面直角坐标系中，已知椭圆：，直线：（为实数且）与椭圆交于，两点.(1)若直线过椭圆的右焦点，求的面积；(2)线段的中点为，求直线的斜率.19．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为.20．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，.(1)求E的方程；(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.题型四定点问题21．椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为.(1)求的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.22．已知为椭圆：上一点，长轴长为. (1)求椭圆的标准方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标.23．已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程；(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.24．已知点在双曲线上．(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．25．已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4．(1)求双曲线的方程；(2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．26．在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.(1)求的方程；(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.27．已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线 轴，垂足为，且.(1)求抛物线的方程；(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.题型五定值问题28．已知A，B为椭圆的左、右顶点，过其焦点的直线与椭圆交于C，D两点，并与轴交于点(异于A，B)，直线，交于点，求证：为定值.29．已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．30．已知椭圆C：过点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l交C于点M，N，直线分别交直线于点P，Q．求证：为定值．31．已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，.(1)求C的标准方程.(2)记P，G，Q的横坐标分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.32．在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记 的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．33．已知双曲线：的右焦点为，离心率.(1)求的方程；(2)若直线过点且与的右支交于M，N两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值.34．已知双曲线过点和点．(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．题型六定直线问题35．已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.36．已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．37．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．38．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．39．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.40．如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．   (1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上．41．已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．题型七三角形（四边形）问题42．已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上(顶点除外)任意一点，若的角平分线与以为直径的圆交于点，则的面积的最大值为（  ）A．B．C．D．43．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是．44．已知椭圆的离心率为，点在C上，O为坐标原点.(1)求C的方程;(2)已知直线，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.①证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. ②若，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程.45．设抛物线的焦点为上点满足.(1)求抛物线的方程；(2)已知正方形有三个顶点在抛物线上，求该正方形面积的最小值.46．已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，左顶点为D，离心率为，经过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，①证明：直线MN过定点；②求的最大值.47．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线交于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.48．已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点  (1)求双曲线的标准方程．(2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线 交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值．题型八求参数范围问题49．已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，若的斜率恒成立，则m的最大值为（    ）A．1B．C．D．50．已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，左顶点为D，是面积为的正三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆外一点的直线交椭圆于P，Q两点，已知点P与点关于x轴对称，直线与x轴交于点K；若是钝角，求m的取值范围．51．已知椭圆C：的左右焦点分别为、，若点在椭圆上，且为等边三角形．(1)求椭圆C的标准方程？(2)过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，若为钝角，求k的取值范围．52．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．53．已知双曲线与直线有唯一的公共点．(1)点在直线l上，求直线l的方程； (2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心．①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由．②求的取值范围．54．已知双曲线：（，）上一点到的两条渐近线的距离之积为．(1)求的标准方程；(2)若直线与有两个不同的交点，，且的内心恒在直线上，求在轴上的截距的取值范围．55．曲线，第一象限内点在上，的纵坐标是．(1)若到准线距离为3，求；(2)若在轴上，中点在上，求点坐标和坐标原点到距离；(3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”求的取值范围．题型九双切线问题56．已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）57．在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明： 为定值.58．已知椭圆的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任意一点，、斜率之积为，且的面积最大值为.  (1)求椭圆的方程；(2)直线交椭圆于另一点，分别过、作椭圆的切线，这两条切线交于点，证明：.59．已知圆，椭圆的左右焦点为，如图为圆上任意一点，过分别作椭圆两条切线切椭圆于两点.(1)若直线的斜率为2，求直线的斜率；(2)作于点，判断点在运动的过程中，的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.60．已知椭圆. (1)若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆相切；(2)若为椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线分别交直线于两点，且的面积为8.问：在轴是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.61．已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，．(1)求直线的方程（含m）；(2)证明直线过点C，并比较与的大小．62．动点到定点的距离和到直线的距离之比为，(1)求动点的轨迹；(2)设点，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.63．已知抛物线，焦点为.过抛物线外一点（不在轴上）作抛物线的切线，其中为切点，两切线分别交轴于点.(1)求的值；(2)证明：①是与的等比中项； ②平分.