湖北省十一校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学龙泉中学武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学2024届高三湖北十一校第一次联考数学试题命题学校：龙泉中学命题人：张建军审题人：郑胜一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.2.已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（）A.B.C.D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则（）A.4B.8C.12D.165.如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（）A.B.C.D.6.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.7.从集合中任取3个不同的数，它们的和能被3整除的概率为（）A.B.C.D. 8.的零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.国际跳水比赛一共有八个评委现场打分，若八位评委给某个选手的打分分别为，记这组数据的平均分，中位数，方差，极差分别为、、、，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均数，中位数，方差，极差分别为、、、，则下列判断中一定正确的是（）A.B.C.D.10.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（）A.B.是的一条对称轴C.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为D.在内恰有3个零点11.如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）A.B.当二面角的大小为60°时，与平面所成的角为30°C.若，则四面体的体积为D.若，则二面角的余弦值为12.如图，双曲线的左右顶点为，，为右支上一点（不包含顶点），，，，直线与的渐近线交于、，为线段的中点，则（） A.双曲线的离心率为B.到两条渐近线的距离之积为C.D.若直线与的斜率分别为，，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.展开式中项的系数是______.14.已知，，，则的最小值为______.15.已知是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则点的横坐标为______.16.对，，当时，则的范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的周长.18.（12分）已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为，若，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式及其前项之和.19.（12分）如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为. （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值.20.（12分）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.（Ⅰ）求，，.（Ⅱ）写出与之间的递推关系，并求出的通项公式.21.（12分）设动圆与圆外切，与圆内切.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（12分）已知函数，是大于0的常数.记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，（Ⅰ）当，时求切线的方程；（Ⅱ）证明：.2024届高三湖北十一校第一次联考参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACABCCDDBCDABADACD1.A【解析】，∴2.C【解析】∴虚部为3.A【解析】，或，前面可以推导后面，后面不能推导前面4.B【解析】时，∴，再过年， 5.C【解析】，由投影的定义知∴6.C【解析】，∴为奇函数，，，∴∴为减函数，或7.D【解析】将按3同余分类得到：，，，∴.8.D【解析】由得，构造函数，求导得在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，及时，的图像如图，得到有3个解.9.BCD10.AB【解析】由三角函数的定义的，取，∴，∴A正确.B：时，正确，C：平移后应为所以C错.D：由得，仅，1符合，恰有两个零点，所以D错.11.AD【解析】A：，故A正确；B：如图，过作，且，连接，，则为正方形，为二面角的平面角，当时，易得为正三角形，过作，则平面，故即为与平面所成的角. 在中，，故B错误；C：时，到面的距离为1，所以四面体的体积为，所以C错D：由可得如图，取的中点，的中点，连接，，则二面角的平面角为，，，所以.12.ACD【解析】等轴双曲线的离心率为所以A正确，B：设，所以B错.C：，所以，C正确.D：方法1：设与双曲线及其渐近线依次交于，，，由得中点的横坐标为由得中点的横坐标为，所以和的中点重合，即为双曲线弦的中点，由点差法得，所以D正确.方法2：设，，由∴，所以D正确.三.填空题：13.14.2515.616. 13.【解析】14.25【解析】，15.6【解析】由抛物线的定义知，所以，，，，所以.16.【解析】两边取对数所以在上单调递减，所以在上恒成立，解出四.解答题：17.解：（1）由得：……2分∴∵，故为锐角，∴……4分∴……6分（2）由（1）知：，由正弦定理得：……10分∴故的周长为14.……12分18.解：（1）由，，成等比数列，故，即即，又故，……2分故等比数列的公比……4分（2）在等差数列中，……6分在等比数列中，故，即……9分……12分 19.解：（1）证明：∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴平面……2分又平面，平面平面，∴，……4分∵平面，∴平面.……6分（2）取，的中点分别为，，连接，，则，∵平面平面，且交线为，∴平面，又平面，，当与半圆弧相切时，，即，以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，……7分不妨设，易得，，，，则，，，设为平面的一个法向量，则，即，∴，令，则……9分设为平面的一个法向量，则，即令，则……11分∴，所以两平面的夹角的余弦值为.……12分20.解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率小球落入袋中的概率……2分故，，……5分（2）法1：游戏过程中累计得不到分，只可能在得到分后的一次游戏中小球落入袋（分）故即……8分法2：游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（ 分），或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（）分，故故为常数数列且，故即……8分由……10分故为等比数列且首项为，公比为故，故……12分21.解：（1）设动圆半径为，由圆与圆外切得：，由圆与圆内切得：故，……2分故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，故∴点的轨迹的方程为：……4分（2）设，，由……6分故，，的中点故的中垂线的方程为：……8分因为的中垂线为轴，故的中垂线与轴的交点即为外心，令得：，故……9分又……10分故（定值）……12分22.解：∴切线的方程为：即：令得……2分 （1）当，时切线的方程为：……4分（2）由得∵∴，，令，令，由得且时，单调递增，时，单调递减∴∴当，∴……6分①当时，，∵，∴∴……8分②当时，令，，，当时∴在上单调递增∴∴综上，……12分