四川省成都市成华区某校2024届高三上学期一模数学（文）试题（Word版附解析）

一诊模拟考试高2021级数学（文科）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把答案直接填涂在答题卷上.1.已知是实数集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合、，再进行补集和交集运算.【详解】，，，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于基础题.2.若复数满足，则下列说法正确的是()A.的虚部为2B.为实数C.D.【答案】C【解析】【分析】由给定等式求出z，再由复数z的特征判断各选项得解.【详解】，z的虚部为1，选项A错；z是虚数，选项B错；，选项C正确；，选项D错.故选：C 3.已知变量满足约束条件，则的最大值（）A.B.1C.4D.8【答案】D【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解，【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当直线过点时，取最大值．由解得，即，所以．故选：．【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．属于基础题．4.已知方程表示焦点在轴的双曲线，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围.【详解】因为方程表示焦点在轴的双曲线， 故可得，解得.故选：B.【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.5.已知，，，则（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为所以选C．考点：比较大小6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（）注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生.A.互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C.互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多【答案】D【解析】【分析】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项. 【详解】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为和，则“后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.“前”和“后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，其中从事技术岗位的人数占的比为，则“后”从事技术岗位的人数占总人数的.“前”和“后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过，故选项B正确；对于选项C，“后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，大于“前”的总人数所占比，故选项C正确；选项D，“后”从事技术岗位的人数占总人数的，“后”的总人数所占比为，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用扇形统计图和条形统计图解决实际问题，解本题关键就是利用条形统计图中“后”事互联网行业岗位的占比乘以“后”所占总人数的占比，再对各选项逐一分析即可.7.设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的（）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合向量共线和充分、必要条件等知识确定正确选项.【详解】依题意是非零向量，“存在实数λ，使得”，“”同向，所以“存在实数λ，使得”是“”的必要而不充分条件.故选：C8.已知是上的奇函数，且为偶函数，当时，，则　　 A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义，可得的最小正周期为4，结合已知条件，计算即可得到所求值．【详解】解：是上的奇函数，且为偶函数，可得，即，且，可得，即有，的最小正周期为4，则，当时，，可得，故选：．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的判断和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数图象可求出的解析式为，再根据平移规则可得.【详解】由图象可知，，解得；由振幅可知；将代入可得，又，即可得，因此，易知，故选：C10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．【详解】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥: 和是两个全等的直角三角形；，几何体的体积为：，故选C.【点睛】本题考查由三视图求体积，解决本题的关键是还原该几何体的形状．11.等腰三角形中，点在底边上，，，，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，则，，然后分别在，中解三角形得出的值，再求出的值，最后利用即可求出的面积.【详解】设，则，，中，，，则，中，，由正弦定理得，即，∴， 得，，∴.故选C.【点睛】本题主要考查解三角形的问题，涉及正弦定理及三角形的面积公式、三角恒等变换等知识，对运算能力要求较高，属中等难度题.12.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数的取值范围.【详解】函数有6个零点，等价于函数与有6个交点，当时，，当时，，，当时，递增，当时，递减，的极大值为：，作出函数的图象如下图， 与的图象有6个交点，须，表示为区间形式即.故选C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第II卷（共90分）二､填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卷上）13.抛物线的准线方程为__________.【答案】【解析】【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线的准线方程是.故答案为：.14.已知等差数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件求出的值，然后利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，且该数列的前项和为，则，所以，，因此，. 故答案为：.15.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.【详解】由正弦定理，①，又，代入式①得：，∴，∵，∴，，故，又，∴．故答案：16.点，，，在同一球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为．【答案】【解析】【详解】试题分析：依题意所以，设的中点为，球心为O,球的半径为R，过三点的截面圆半径为由球的表面积为知，，解得.因的面积为,所以要四面体体积最大，则为射线与球面交点，所以球心到过三点的截面的距离为，所以，所以四面体体积最大为考点：1.球的几何性质；2.几何体的表面积、体积.三､解答题：本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22､23题选做一题，10分，共70分.17.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表： 经常应用偶尔应用或者不应用总计农村城市总计从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；（2）在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取个学校进行分析，然后再从这个学校中随机抽取个学校所在的地域进行核实，求没有抽取到农村学校的概率.附：，临界值表：.【答案】（1）表格见解析，有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知，抽取的个样本有个是农村学校，个是城市学校，将个农村学校分别记为、，个城市学校分别记为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：列联表如下表所示：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村 城市总计.所以有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.【小问2详解】解：由题意可知，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的个样本有个是农村学校，个是城市学校，将个农村学校分别记为、，个城市学校分别记为、、，从上述个学校中，随机抽取个学校，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，其中，事件“没有抽取到农村学校”所包含的基本事件有：、、，共种，故所求概率为.18.已知数列为等比数列，首项，公比，且是关于的方程的根.其中为常数.（1）求数列的通项公式；（2）设，求使的的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用韦达定理得出；再根据题目条件利用等比数列的通项公式，求出公比，进而得到通项公式；（2）利用对数的运算性质和数列裂项相消求和，得；再根据不等式的解法即可得出答案.【小问1详解】因为是关于的方程的根，所以. 又因为数列为等比数列，，公比.所以，解得：或（负值舍去），故：【小问2详解】由（1）得：，所以：，所以：因为，所以，解得：（），故：的最大值为48.19.如图，在四棱锥ABCD中，和都是等边三角形，平面PAD平面ABCD，且，．（1）求证：CDPA；（2）E，F分别是棱PA，AD上的点，当平面BEF//平面PCD时，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知即可证得：，且，再利用是等边三角形即可证得：，再利用面面垂直的性质即可证得：平面，问题得证. （2）利用平面BEF//平面PCD可得：BF//CD，结合可得，即可求得：DF=，从而求得，利用（1）可得四棱锥的高，再利用锥体体积公式计算即可.【详解】证明：（1）因为是等边三角形，所以又，，所以，所以，且．又是等边三角形，所以，所以．又平面平面，平面平面，平面所以平面．所以CDPA．（2）因为平面BEF//平面PCD，所以BF//CD，EF//PD，又所以．又在直角三角形ABD中，DF=，所以．所以．由（1）知平面，故四棱锥的体积．【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线线垂直的判定、面面平行的性质及锥体体积计算公式，还考查了转化思想及空间思维能力，属于中档题. 20.已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标.【答案】（1）（2）直线经过定点【解析】【分析】（1）根据三角形面积和离心率得到方程组，求出，求出椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，根据斜率之和得到方程，求出，代入直线方程，求出定点.【小问1详解】因为的面积，且，又，故解得，则，则陏圆的标准方程为；【小问2详解】假设，直线与椭圆联立得，消去整理得，则，又因为， 所以，则，即，代入韦达定理得，即，化简得，因为，则，即代入直线得，即所以直线经过定点.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.21.已知函数.（是自然对数的底数）（1）求的单调递减区间；（2）记，若，试讨论在上的零点个数. 【答案】（1）（2）个【解析】【分析】（1）求出及函数的定义域，解不等式，可得出函数的单调递减区间；（2）利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【小问1详解】解：函数的定义域为.且.由得，可得，解得.所以，函数的单调递减区间为.【小问2详解】解：由已知.所以，，令，则.因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，即在上单调递增，在上单调递减.因为，.当时，，.所以，存在，使得， 当时，；当时，，所以，函数在上单调递增，在上单调递减.因为，，故函数在上无零点，又因为，由零点存在性定理可得，则在上有且只有一个零点，综上所述，当时，函数在上仅有一个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）选修4-4（极坐标与参数方程）22.已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）．(1)设与相交于两点，求；(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程，联立直线和曲线的方程求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式求得. （2）根据坐标变换求得曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.【详解】（1）的普通方程为，的普通方程为，联立方程组，解得交点为,所以=；（2）曲线：（为参数）．设所求的点为，则到直线的距离.当时，取得最大值．【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.选修4-5（不等式选讲）23已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)令，的图象与两坐标轴的交点分别为，，，若三角形的面积为，求得值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)当时，不等式可化为，分类讨论，即可求解不等式的解集；(2)由题意，得到函数的解析式，得到的图象与两坐标轴的交点坐标分别，根据面积列出方程，即可求解.【详解】(1)当时，不等式可化为， ①当时，不等式化为，解得：；②当时，不等式化为，解得：；③当时，不等式化为，解集为，综上，不等式的解集为.(2)由题设得，所以的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，，于是三角形的面积为，得，或（舍去），故.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及分段函数的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，熟练求得函数的图象与两坐标轴的交点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.