重庆市渝北中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，集合，则（ ）A．B．C．D．2．已知向量满足，则与的夹角为（    ）A．B．C．D．3.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ）A．B．C．D．4.若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，则该正四棱台的体积为（    ）A．B．28C．D．5．已知，则（    ）A．B．C．D． 6.已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（   ）A．6B．8C．4D．27．M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（  ）A．1B．2C．3D．48．设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数，则下列说法正确的是（  ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上最小值为D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象10.已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）A．B．椭圆C的离心率为C．直线l的方程为D．的周长为 11．在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（   ）A．三棱锥的体积为定值B．若∥，则平面C．若，则与平面所成角为D．若∥平面，则与所成角的正弦最小值为12.已知定义在R上的函数和，是的导函数且定义域为R.若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的两条渐近线方程为，若焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为______________________．14．各项均为正数的等比数列的前n项和为，且成等差数列，若，则___________．15．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为．16.在直角中，，平面内动点P满足，则的最小值为________________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在数列中，，.（1）求证：为等差数列；（2）求的前n项和. 17.（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．18.（12分）从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.求他第一项测试“通过”的概率；（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值. 17.（分）如图，在四棱台中，底面是正方形，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值．21.（分）与双曲线有共同的焦点的椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于A、B两点，交x轴于点，点A关于x轴的对称点为，直线交x轴于点.求的取值范围. 22.（分）已知，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案CBDCDCBA8.解：函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，递增，当时，递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上递增，在上递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上递减，在上递增，所以，所以即，所以，即的取值范围为．故选A.二、多项选择题题号9101112答案ADACACDBC 12．解：因为为偶函数，则，两边求导得，所以为奇函数，因为，，所以，故，所以，即的周期且，则，故A错误；在，中，令，可得，所以，故B正确；由，令，可得，则，则，即，所以，故D错误；在中，令得，，在中，令得，，两式相加得，即，故C正确.故选：BC.三、填空题13．14.1515．16．16.解：平面内动点P满足，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，因为，由勾股定理可得：，所以，且，所以，所以，，，，又向量是长度为的一个向量，由此可得，点P在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，故的最小值为.四、解答题17．解：（1）由，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，即，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，当为偶数时， ；当为奇数时，；综上所述，；18.解：（1）∵，根据正弦定理得，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．（2）因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以，19．解：（1）记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，由题意知，，，又事件互斥，则，即，即居民甲第一项测试“通过”的概率是. （2）由居民乙获一等奖的概率为，可知.则.令，当时，；当时，.所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以.所以的最小值为.20．（1）证明：设，交于点O，连接，，，因为，，，所以，所以，又因为O为正方形的对角线交点，即O是线段的中点，所以，又因为四边形为正方形，所以，又因为，平面，所以平面．（2）解：  ∵底面是正方形，，∴，，又，，∴为等边三角形，∵O为中点，∴，又，平面，∴平面，∴，，两两互相垂直，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，∴，，，所以，，设平面的法向量，则，即，令，则，，∴，取平面的法向量，设平面与平面所成夹角为，则， 所以二面角的余弦值为．21．解：（1）双曲线的焦点为，，则，即，又点在椭圆上，则，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，则，设，，则，直线的方程为：，令，得点的横坐标为，联立，整理得，则，解得或，，，则，从而，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围为.22.（1）解：∵，∴，，∴曲线在点处的切线方程为.（2）证明：由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根. 由，知，令，则，当时，，在上单调递增;当时，，在上单调递减.所以.因为有两个零点，即，得.因为实数是的两个根，所以，从而.令，，则，变形整理得.要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证，两点连线的斜率要比，两点连线的斜率小即可.因为，所以只要证，整理得.令，则，所以在上单调递减，即，