重庆市渝北中学2024届高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、迹清晰.3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据偶次根号下大于等于零求解集合A，根据指数函数值域求解集合B，再利用并集运算求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以.故选：C.2.已知向量满足，则与夹角为（  ）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由，两边同时平方，利用已知条件和向量数量积的公式，求与的夹角.【详解】已知，设与的夹角为，有，解得，则与的夹角为.故选：B3.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由等比数列的通项公式求解．【详解】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴，故选：C．4.若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，则该正四棱台的体积为（）A.B.C.D.28【答案】C【解析】【分析】根据正四棱台的结构特征先求出该正四棱台的上、下底面的边长，然后根据侧棱与下底面所成角的正切值求得该正四棱台的高，最后利用台体的体积公式求解即可．【详解】设该正四棱台的高为，侧棱与下底面所成的角为，因为该正四棱台的上、下底面的面积分别为2和8，所以该正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，则，所以，所以该正四棱台的体积． 故选：C.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角恒等变换知识化简已知等式，从而求得.【详解】因为，即，两边平方可得，解得.故选：A6.已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数， 对任意的正数、，满足，则，所以，，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.7.M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.如图，由弦长公式知，，解得，所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上，由图可知，的最小值为.故选：B 8.设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值， 由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.在上最小值为D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到函数的图象【答案】AD【解析】【分析】利用代入法，结合三角函数的性质，即可判断ABC，根据三角函数的图象变换规律，即可判断D.【详解】A.，是函数的最小值，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；B.，所以的图象关于点对称，故B错误；C.当，，，即，所以函数在上最小值为，故C错误；D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，得，再把得到的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选：AD10.已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.B.椭圆C的离心率为C.直线l的方程为D.的周长为【答案】AC【解析】【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D. 【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；椭圆C的离心率为，故选项B不正确；不妨设，则，，两式相减得，变形得，又注意到点为线段的中点，所以，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选项C正确；因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.故选：AC．11.在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若∥，则平面C.若，则与平面所成角为 D.若∥平面，则与所成角的正弦最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用等体积法分析判断，对于B，由条件可得点在平面上的轨迹为，再判断与平面的位置关系即可，对于C，连接交于点，连接，，则可证得为直线与平面所成角，然后求解即可，对于D，连接，可证得平面∥平面，得点在平面上的轨迹为，得为与所成的角，从而可求得结果.【详解】对于A，因为是侧面上一动点，平面∥平面，所以点到平面的距离等于正方体的棱长，设棱长为，则，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确，对于B，因为∥，平面，所以当∥时，点在平面上的轨迹为，因为与不垂直，所以与平面不垂直，所以与平面不垂直，所以B错误，对于C，连接交于点，连接，，则，所以为等边三角形， 因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面平面，，是侧面上一动点，所以点的轨迹是，所以平面就是平面，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，因为，所以，因为为锐角，所以，即与平面所成角为，所以C正确，对于D，连接，则∥，∥，因为平面，平面，所以∥平面，∥平面，因为，平面，所以平面∥平面，因为∥平面，所以平面，因为平面平面，所以点在平面上的轨迹为，因为∥，所以为与所成的角，因为平面，平面，所以， 设正方体的棱长为1，设，则，所以，因为，所以当时，取得最小值，此时最小，所以此时取得最小值为，所以与所成角的正弦最小值为，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查线线角，线面角的求法，考查棱锥的体积的求法，考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是根据题意结合线面点的关系确定动点的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.12.已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为.若为偶函数，，，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错.【详解】因为为偶函数，则，两边求导得， 所以为奇函数，因为，，所以，故，所以，即的周期且，则，故B错误；在，中，令，可得，所以，故A正确；由，令，可得，则，则，即，所以，故D错误；在中，令得，，在中，令得，，两式相加得，即，故C正确.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为___________．【答案】【解析】【详解】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为. 14.各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则_____．【答案】15【解析】【分析】由，，成等差数列可得，利用通项公式代入求出公比，再由等比数列求和公式即可求.【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，因为，且各项均为正数，所以解得，所以.故答案为：1515.在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】根据条件及余弦定理，可求得，由勾股定理可得，则三棱锥的外接球球心为中点，即外接圆的直径为，进而求出外接球的半径，从而可求外接球的表面积.【详解】由，，，根据余弦定理可得，则，，中E为斜边AB中点，所以到各点的距离相等，则三棱锥外接球的直径为，故三棱锥外接球的表面积为． 故答案为：16.在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】由题可知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由数量积的定义求出，再由向量的模长公式求出，当与共线反向时，取最小值，即可得出答案.【详解】平面内动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，因为，由勾股定理可得：，所以，且，所以，所以，，，，，又向量是长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为一，故的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点睛：由数量积的定义和平面向量基本定理可得，当与共线反向时，取最小值，即可得出答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在数列中，，.（1）求证：为等差数列；（2）求的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用构造法，结合等差数列的定义可得证；（2）法一：利用并项求和的方法可得解，法二：分组求和的方法可得解.【小问1详解】由，得，又，所以数列是以为首项，的等比数列，即，即，所以，所以数列是以为首项，为公差等差数列；【小问2详解】由（1）得，法一： 当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述，；法二：当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B；（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解，（2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解.【小问1详解】∵，根据正弦定理得，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．【小问2详解】因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴， ∴，，所以∴，∴．19.从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.求他第一项测试“通过”的概率；（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）第一项测试“通过”分选择了项目A通过，选择了项目B通过和选择了项目C通过，利用条件概率和互斥事件的概率加法公式计算；（2）由居民乙获一等奖的概率为，可得，把获得二等奖的概率表示为的函数，利用导数研究单调性，求最小值.【小问1详解】记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，由题意知，，，，又事件互斥，则， 即，即居民甲第一项测试“通过”的概率是.【小问2详解】由居民乙获一等奖的概率为，可知.则获得二等奖的概率.令，，当时，；当时，.所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以，所以的最小值为.20.如图，在四棱台中，底面是正方形，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，交于点O，连接，，，易证，可得，得，又，得证； （2）易证为等边三角形，可证平面，可得，，两两互相垂直，建系利用向量法求解即可.【小问1详解】证明：设，交于点O，连接，，，因为，，，所以，所以，又因为O为正方形的对角线交点，即O是线段的中点，所以，又因为四边形为正方形，所以，又因为，平面，所以平面．【小问2详解】∵底面是正方形，，∴，，又，，∴为等边三角形，∵O为中点，∴，又，平面，∴平面，∴，，两两互相垂直， 以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，∴，，，所以，，设平面的法向量，则，即，令，则，，∴，取平面的法向量，设平面与平面所成夹角为，则，所以二面角的余弦值为．21.与双曲线有共同的焦点的椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意可得，再将点代入椭圆方程，解方程组，进而求解；（2）设直线的方程为，可得，进而得到直线的方程，表示出点的横坐标，联立直线与椭圆方程，由求出的取值范围，结合韦达定理，即可得到，进而利用基本不等式求解即可.【小问1详解】双曲线的焦点为，，则，即，又点在椭圆上，则，解得，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意，设直线的方程为，则，设，，则，直线方程为：，令，得点的横坐标为，联立，整理得，则，解得或， ，，则，从而，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围为.22.已知，.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明:且.【答案】(1);(2)见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再计算出，，即可求出切线方程； （2）由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根.令利用导数研究其单调性、最值，因为有两个零点，即，得.因为实数，是的两个根，所以，从而.令，，则，变形整理得.要证，则只需证，即只要证，再构造函数即可证明.【详解】(1)解:∵，∴，，∴曲线在点处的切线方程为.(2)证明:由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根.由，知，令，则，当时，，在上单调递增;当时，，在上单调递减.所以.因为有两个零点，即，得.因为实数，是的两个根，所以，从而.令，，则，变形整理得. 要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证，两点连线的斜率要比，两点连线的斜率小即可.因为，所以只要证，整理得.令，则，所以在上单调递减，即，所以成立，故成立.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明不等式恒成立，属于难题.