江苏省常熟中学2023-2024学年高二上学期12月学业水平调研数学试题（Word版附解析）

2023～2024年度第一学期高二年级十二月阶段性学业水平调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列中，，，则（）A.4或B.C.4D.82.已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦A.B.C.D.24.已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.5.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）A.B.C.D.6.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引 的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）A.1B.2C.4D.57.已知数列的前项和为，，当时，，则等于（）A.1008B.1009C.1010D.10118.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（）A.1B.3C.2D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题为真命题的是（）A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为B.直线的倾斜角的范围是C.直线与直线之间的距离是D.直线过定点10.设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（）A.为定值B.直线过抛物线的焦点C.最小值为16D.到直线的距离最大值为411.已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（）AB.C.的值是中最大的D.使成立的最大正整数数的值为19812.已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，过作，垂足为，下列结论正确的是（） A.在定直线上B.为定值C.定值D.为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线与垂直，则m值为______．14.在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________.15.若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为___．16.过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则取值范围为_____________.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：（1）曲线C是椭圆；（2）曲线C是双曲线．18.已知双曲线与有相同焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.19.已知点及圆：.(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．20.已知数列满足，数列的首项为2，且满足（1）求和的通项公式 （2）记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围．（3）设，证明：．21.已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.22.在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 2023～2024年度第一学期高二年级十二月阶段性学业水平调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列中，，，则（）A.4或B.C.4D.8【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质计算即可.【详解】设公比为，则，因为，，所以，所以.故选：C.2.已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，因为直线与C无公共点，所以，即，所以，又，所以C的离心率的取值范围为. 故选：D.3.已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.∵圆的圆心，，圆心到直线：的距离，则．故选A【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．4.已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程.【详解】由已知，解得，故抛物线的准线方程为，故选：A.5.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为，解得，因为，所以故选：A 6.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）A.1B.2C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线，，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.【详解】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，，所以由题意得是的中位线，所以，所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离故选：A.7.已知数列的前项和为，，当时，，则等于（）A.1008B.1009C.1010D.1011【答案】D【解析】【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合并项求和，即可求解.【详解】解：由题意可得，当时，，，两式作差可得，即， 即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为，所以，故选：．8.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（）A.1B.3C.2D.【答案】A【解析】【分析】因为点、在椭圆上得，直线，的斜率之积为得，两边平方化简得，代入可得答案.【详解】因为点，在椭圆上，所以，因为直线，的斜率之积为，所以，可得，化简得，则.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题为真命题的是（） A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为B.直线的倾斜角的范围是C.直线与直线之间的距离是D.直线过定点【答案】BD【解析】【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D.【详解】对于A，当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为，综上，所求直线方程为或，故A错误；对于B，直线的斜率，所以倾斜角的范围是，故B正确；对于C，直线，即为，故直线与直线之间的距离为，故C错误；对于D，直线，即为，令，解得，所以直线过定点，故D正确.故选：BD.10.设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（） A.为定值B.直线过抛物线的焦点C.最小值为16D.到直线的距离最大值为4【答案】ACD【解析】【分析】由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，设直线，代入可得，所以，即，所以直线过点，而抛物线的焦点为，故B错误；对于C，因为，当时，等号成立，又直线过点，所以，故C正确；对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.故选：ACD.【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.11.已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（）A.B.C.的值是中最大的D.使成立的最大正整数数的值为198【答案】ABD【解析】 【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】∵，∴，∴.∵，∴，又，∴.故A正确.由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.∴，，∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.故选：ABD12.已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，过作，垂足为，下列结论正确的是（）A.在定直线上B.为定值C.为定值D.为定值【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的定义与内切圆的性质可判断A，由三角形面积公式可判断B，由双曲线定义与三角形中位线的性质可判断C，数形结合可判断D【详解】设的内切圆在上的切点分别为，设切点的坐标为，因为，所以，因为内切圆圆心为， 所以轴，所以内切圆圆心在直线上，故A正确；因为（为内切圆的半径），，所以不为定值，故B错误；，垂足为，设，为的角平分线，为等腰三角形，,因为，在中，为中位线，所以，所以为定值，故C正确；因为为圆在轴右侧上的动点，在双曲线右支上的一个动点，结合图象易知不是定值.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线与垂直，则m的值为______．【答案】0或-9##-9或0【解析】 【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.【详解】因直线与垂直，则有，解得或，所以m的值为0或-9.故答案为：0或-914.在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解．【详解】∵，，∴，∵，∴由正弦定理得，即，，所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，所以轨迹方程为．故答案为：．15.若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为___．【答案】【解析】【分析】根据题意得出直线的方程为，设，将直线方程与椭圆方程联立可得，，由可得： ，进而化简即可求解.【详解】椭圆左焦点，直线的倾斜角为，则斜率为，直线的方程为，设，联立，得．解得：，．，．即，即，解得：.故答案为：．16.过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，， 根据椭圆定义，设，则，即，则，当时，取到最小值．当时，取到最大值．故的取值范围为：.故答案为：.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：（1）曲线C是椭圆；（2）曲线C双曲线．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.【小问1详解】∵曲线C的方程为， ∴，又曲线C是椭圆，∴，解得且，∴实数m的取值范围为；【小问2详解】∵曲线C双曲线，∴，解得或，故实数m的取值范围为.18.已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可【小问1详解】由的焦点坐标为由双曲线与有相同的焦点所以双曲线的焦点坐标为 故，在双曲线中：①又双曲线经过点所以②解得：所以双曲线的方程为：【小问2详解】由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：由直线与双曲线交于两点，设所以消去整理得：所以所以由的中点坐标为所以所以.19.已知点及圆：. (1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）见解析【解析】【分析】【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.试题解析:(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，由＝1，解得k＝.所以直线方程为，即3x＋4y－6＝0.当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，解得a<0.则实数a的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数a存在．由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.而kAB＝a＝－，所以a＝.由于，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在, 故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.20.已知数列满足，数列的首项为2，且满足（1）求和的通项公式（2）记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围．（3）设，证明：．【答案】（1），（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据的关系即可作差得，根据等差数列的性质可求解.（2）根据的单调性，即可求解.（3）利用放缩法得，即可结合裂项求和求解.【小问1详解】由可得：时，，相减可得，故，当时，也符合上式，故，由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2，所以，则.【小问2详解】 由和可得，记，则，所以，当时，，当时，，此时单调递减，而,由于集合M的元素个数为2，所以，故.【小问3详解】由得，，由于，因此.21.已知双曲线左焦点为，渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可.（2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线 方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明.【小问1详解】由题意知，，解得，所以双曲线C的方程为.【小问2详解】证明：如图所示，由题意知，，，由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，，，联立，，则，，又因为过点T直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内，所以，，，，所以，即，解得， 设直线方程为，直线方程为，联立，即，又，所以，所以点Q在直线上.22.在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，.【解析】 【分析】（1）由切线性质得，由此可求得点坐标，从而得圆方程．（2）设切线方程为，由直线与圆相切得出的方程，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得．（3）当直线不落在坐标轴上时，设，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线有一条落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．【详解】（1），则，又，又，故解得，所以，所以圆M的方程为（2）因为直线与圆M相切，所以直线与圆联立，可得同理，由判别式为0，可得是方程的两个不相等的实数根，∴因为点在椭圆C上，所以，所以；（3）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，因为，所以，因为在椭圆C上.所以整理得，所以所以.（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，综上：，所以|所以的最大值为．【点睛】 本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．