浙江省北斗星盟2023-2024学年高二上学期12月阶段性联考数学试题（Word版附答案）

绝密★考试结束前2023学年第一学期浙江北斗星盟阶段性联考高二年级数学试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题纸.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线的倾斜角的大小是（）A.B.C.D.2.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.3.已知空间向量，，若，则（）A.B.C.D.4.已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（）A.1B.2C.3D.45.在平面直角坐标系中，，M是上一动点，则直线的斜率的取值范围为（）A.B.C.D.6.正四面体的棱长为4，点M、N分别是棱、的中点，则点A到平面的距离为（）A.B.C.2D.7.已知直线l与抛物线交于A、B两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（） A.相离B.相交C.相切D.与直线l的位置有关8.正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（）A.2B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.两异面直线所成角的取值范围是B.若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是C.二面角的平面角的取值范围是D.若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得10.已知圆与圆交于A、B两点，下列说法正确的是（）A.点在圆内B.直线的方程是C.D.四边形的面积是11.已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线（两定点除外）；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆（两定点除外）.如图，给定的矩形中，，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线、的动点，，，其中，且直线与直线交于点P.下列说法正确的是（）A.若，则P的轨迹是双曲线的一部分 B.若，则P的轨迹是椭圆的一部分C.若，则P的轨迹是双曲线的一部分D.若，则P的轨迹是椭圆的一部分12.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”.如图所示，正六边形的边长为1，分别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，再取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，依次类推……对于阴影部分，记第一个阴影的最大边长为，面积为；第二个阴影的最大边长为，面积为，第三个阴影三角形的最大边长为，面积为，依次类推……下列说法正确的是（）A.B.数列是以为公比的等比数列C.数列的前2023项和小于D.任意两个阴影三角形的最大边都不平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆心在x轴上的圆经过点，，则该圆的半径是_____________.14.如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 15.某牧场2015年初牛的存栏数为1200头，以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出90头牛，那么在2024年初牛的存栏数是多少_____________.（结果保留整数，参考数据：，，）16.已知F是椭圆的右焦点，O是坐标原点，点M是的中点，椭圆上有且只有一个动点与点M的距离最近，求该椭圆的离心率的取值范围_________________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.17.（本题满分10分）已知数列满足：，.（1）证明：数列是等差数列；（2）记，，求数列的前n项和.18（本题满分12分）已知圆，直线，.（1）判断直线l是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由.（2）若直线l与圆C交于A、B两点，且，求该直线方程.19.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等边三角形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.20.（本题满分12分）已知抛物线，.（1）Q是抛物线上一个动点，求的最小值；（2）过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值. 21.（本题满分12分）已知函数的图象与水平直线交于点，其中，记直线的斜率为，与y轴交于点.（1）求数列的通项公式；（2）记，，数列的前n项和为，求.22.（本题满分12分）如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接与双曲线左支交于点C，连接分别与x，y轴交于D，E两点.（1）求该双曲线的标准方程；（2）求面积的最小值. 2023学年第一学期浙江北斗星盟阶段性联考高二年级数学参考答案选择题题号123456789101112答案BCDCDBABABBCDCDACD填空题13.214.15.143416.8.点M在线段上运动，即动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动，以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示：其中翻折至，翻折至，在四边形，，由余弦定理可求得11.，，；，，；对于AB选项，，此时P的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，AB均错；对于C选项，，此时P的轨迹既是双曲线（顶点除外），C对；对于D选项，，此时P的轨迹既是双曲线（顶点除外），D对；12.，，故A对，B错； 对于C选项，的前2023项和为，小于，C对；对于D选项，记阴影三角形的最小角为，即存在正整数n，k，使得（转动k圈），其中，，……，发现（猜测）中的13无法约去，，D错；14.取，，为一组基底，，，，15.记2015年初牛的存栏数为，则2024年初牛的存栏数为，，16.经分析，椭圆上只有右顶点到点的距离最小，设是椭圆上的点，，，对称轴是，定义域是，，解得四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.17.（1），是以为首项，为公差的等差数列；（4分）（2）由（1）知，，（7分）（10分）18.（1）直线l变形得，令解得直线l过定点；（4分） （2）圆，圆心C到直线l的距离记为d，，解得或时，直线l的方程是；时，直线l的方程是；综上，直线l的方程是或.（12分）19.（1）取中点M，连接，在等边中，，，，在中，，，，与相交且都在平面内，平面又平面，平面平面；（4分）（2）以M为原点，记中点为N，分别以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，，，，对于平面，，，平面的一个方向量是；对于平面，，，平面的一个方向量是；，二面角的余弦值是.（12分）20.（1）设，， 此时（4分）（2）设直线的方程是，与抛物线联立，消x得，设，，则，，，.（12分）21.（1），，；（4分）（2），，……①，……②得，.（12分）22.（1），，，双曲线方程是（4分）设，，与双曲线联立，消x，得，，，解得，同理解得，由B、C坐标可得，解得，， 由A、D坐标可得，与y轴交于点，，令，，