重庆市荣昌中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

荣昌中学高2025级高二上期第二次月考数学参考答案考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一条直线过点A(1，0)和B(−2，3)，则该直线的倾斜角为(C)A．30°B．45°C．135°D．150°2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是(D)A.B.C.D.3．在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则(A)A.B.C.D..4．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为(B)A．B．C．D．【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，因为圆与圆仅有一个公共点，所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，所以或，由此解得，故选：B. 5．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于、两点，是坐标原点．若，则双曲线的离心率为(C)A．B．C．D．【详解】设右焦点则由对称性知即所以解得故选C6．已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为(D)A．4B．6C．8D．12【分析】根据椭圆定义，结合勾股定理即可求解，由焦点三角形的周长公式即可求解.【详解】由于为直径的圆经过M点，所以，不妨设则，由椭圆定义可得由勾股定理可得和，即和，解得，故的周长为，故选：D    7．设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为(C)A．B．2C．3D．4 【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案.【详解】因为，则抛物线焦点坐标为，准线方程为，则，即，所以，则要使其最小，则需最小，因为圆的圆心为，半径，所以.故选：C.8．双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为(A)A．B．C．D．【分析】设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知，且， 不妨设，则，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，结合，即得，故得，即.又可设，则，而，故，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于空间向量，以下说法正确的是()A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角【答案】ABC【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D.【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；对于B，因为且，所以P，A，B，C四点共面，B正确；对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则，即，则，与其为基底矛盾，所以不共面，所以也是空间的一组基底，C正确；对于D，若，则是钝角或是，D错误；故选：ABC10．已知直线：，圆：，则()A．直线恒过定点B．直线与圆相交C．圆被轴截得的弦长为D．当圆被直线截得的弦最短时，【详解】依题意，直线：可化为，由解得，，即直线过定点，A不正确； 圆：的圆心，半径，，即点P在圆内，直线与圆恒相交，B正确；圆心到x轴的距离，则圆被轴截得的弦长为，C不正确；由于直线过定点，圆心，则直线PC的斜率，当圆被直线截得的弦最短时，由圆的性质知，，于是得，解得，D正确.故选：BD11．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（  ）A．B．C．D．为中点【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形， ，则，设，，由，则，可得，所以，,解得所以,所以B正确.，得，A选项错误；所以,满足,所以C正确.而,所以D正确.故选：BCD12.已知正方体的棱长为，点满足,其中，为棱的中点，则下列说法正确的有（）A.若平面，则点的轨迹的长度为B.当时，的面积为定值C.当时，三棱锥的体积为定值D.当时，存在点使得平面分析】构造面面平行可判定A，根据线线平行可判定B，利用线面平行及棱锥体积公式可判定C，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系可判定D. 【详解】如图所示，取中点，中点，中点，由正方体的特征可得四边形是平行四边形，故，又中点，中点，所以，所以，同理四边形也是平行四边形，可知，又平面，平面，可得平面，同理可得平面，因为，、平面，平面平面，若平面，则点的轨迹为线段，已知正方体的棱长为，则点的轨迹的长度为，故A正确；当时，，则点在线段上运动，由题意易得，故点到的距离是定值，所以的面积为定值，故B正确；由正方体特征可知是边长为的等边三角形，面积为定值，又中点为，中点为，当时， ，故共线，即点在线段上运动，且，平面，平面，所以平面，可得点到平面的距离是定值，可得三棱锥的体积为定值，故C正确；如下图所示，以点A为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，，，则，若存在点使得平面，那么，而，故当时，不存在点使得平面，故D选项错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则点P到坐标原点O的距离_________.【答案】【详解】试题分析：两点关于y轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点关于轴的对称点是可得， 14.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为_________.【答案】4【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4.【详解】根据椭圆定义可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面积为.故答案为：415.已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，.若，则_1_____.16．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点满足，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【分析】由题意可得四边形为平行四边形，根据及托勒密定理可得四边形为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论．【详解】由双曲线的左、右焦点分别为， 及双曲线上关于原点对称的两点，，则，，可得四边形为平行四边形，  又及托勒密定理，可得四边形为矩形．设，，在中，，则，，，，，，解得．双曲线的离心率为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求AB的中垂线方程；(2)求AC的直线方程.答案：(2)(2)求线段PQ的中点N的轨迹方程. 20.(12分)如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的余弦值. 21.(12分)已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即，则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，则，可得，所以曲线的方程为．  （2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，由于且直线的斜率不等于0，不妨设，，，则，，由可得，联立方程，消去x得则，由韦达定理可得，由，解得，代入可得，解得，即，因此直线，即. 22.(12分)已知E，F分别是椭圆C：的左顶点与左焦点，P，Q是C上关于原点O对称的两点，(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于A，B两点，M，N是直线上关于轴对称的两点，证明：直线MA，BN的交点在一条定直线上.