辽宁省铁岭市某校2023-2024学年高二上学期第二次阶段数学试题（Word版附解析）

高二年级上学期第二次考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、单选题（每小题5分，共8小题40分）1.直线关于点对称直线方程是（）A.B.C.D.2.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）A.7B.6C.5D.43.已知实数满足，则的最大值是（）A.B.4C.D.74.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A.1B.2C.4D.55.双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.6.设椭圆的离心率分别为．若，则（）A.B.C.D.7.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C 的离心率为（）A.B.C.D.8.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.1B.C.D.二、多选题（每小题5分，全队得5分，漏选得2分，共4小题20分）9.已知曲线.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若m=0，n>0，则C是两条直线10.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A.B.C.以MN为直径的圆与l相切D.为等腰三角形11.已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，12.已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的准线为B.直线AB与C相切C.D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．14.过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．15.已知为椭圆C：两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．16.已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，18-22每题12分，共70分）17.已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：（1）边所在直线的方程；（2）边的垂直平分线的方程.18.在平面直角坐标系中，以O为圆心圆与直线相切．（1）求圆O的方程：（2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内的动点P满足，求的取值范围．19.已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线斜率为，求.20.已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为．（1）求双曲线的方程．（2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段中点？若直线存在，请求直线的方程：若不存在，说明理由． 21.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.22.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 高二年级上学期第二次考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、单选题（每小题5分，共8小题40分）1.直线关于点对称的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.2.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）A.7B.6C.5D.4【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D. 3.已知实数满足，则的最大值是（）A.B.4C.D.7【答案】C【解析】【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.4.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A.1B.2C.4D.5 【答案】B【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.5.双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D6.设椭圆的离心率分别为．若，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A7.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.8.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.二、多选题（每小题5分，全队得5分，漏选得2分，共4小题20分）9.已知曲线.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A.B.C.以MN为直径的圆与l相切D.为等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.11.已知点在圆上，点、，则（） A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.12.已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q 两点，则（）A.C的准线为B.直线AB与C相切C.D.【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：14.过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：． 15.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.故答案为：.16.已知椭圆焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得椭圆的标准方程是，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系结中点坐标公式可得答案【详解】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，∴其标准方程是：， 联立方程组，消去得，.设、，线段的中点为，则，，∴，即线段中点坐标为.故答案为：四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，18-22每题12分，共70分）17.已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：（1）边所在直线的方程；（2）边的垂直平分线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两点式求得直线的方程.（2）先求得的斜率，然后求得中点的坐标，从而求得边的垂直平分线的方程.【小问1详解】因为直线经过和两点，由两点式得的方程为，即.【小问2详解】由（1）知直线的斜率，则直线的垂直平分线的斜率.易得中点的坐标为.可求出直线的点斜式方程为，即.18.在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．（1）求圆O的方程： （2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内的动点P满足，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程；（2）根据圆内的动点P满足，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【详解】（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为；（2）不妨设由，即得．设，由，得整理得．由于点P在圆O内，故由此得，则，所以的取值范围为．19.已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线的斜率为，求.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦点，可得，进而求出抛物线方程；（2）由（1）可知，直线的方程为，联立方程，利用弦长公式，即可求出结果.【小问1详解】解：因为椭圆的右焦为，所以，所以，即，所以抛物线的标准方程；【小问2详解】解：由（1）可知，直线的方程为，联立方程，得，设，所以,所以.20.已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为．（1）求双曲线的方程．（2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求直线的方程：若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）这样的直线不存在，证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率和距离最小可得出的方程，解出，求出即可求出双曲线方程；（2）用点差法求出直线方程，然后直线和双曲线联立检验，可判断直线是否存在. 【详解】（1）由题意可得，当为右顶点时，可得到右焦点的距离最小，即有，解得，，，可得双曲线的方程为；（2）过点假设存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点．设，，可得，，两式相减可得，由中点坐标公式可得，，可得直线斜率为，即有直线的方程为，，即为，代入双曲线的方程，可得，由判别式为，可得方程无实数解.故这样的直线不存在．【点睛】本题考查中点弦问题，属于基础题.方法点睛：（1）设直线与双曲线交点的坐标，代入双曲线方程，做差；（2）整理可得双曲线系数比，直线斜率和中点坐标比值的关系，求出直线斜率；（3）代入中点坐标，求出直线方程；（4）直线和双曲线联立，检验是否有解.21.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为．设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立 得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．令，则对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设．因为，所以．于是，所以则直线的斜率为．当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值. 22.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：， 化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．