四川省成都市石室中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

成都石室中学2023～2024学年度上期高2025届期中考试数学试卷第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的方程得出其斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系得出答案.【详解】直线的斜率，设直线的倾斜角为，,则，则，故选：A.2.已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为（）A.B.16C.18D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为，如图所示，设点其中，且过点作，垂足， 由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于，即，所以，解得，即点的横坐标为.故选：C.3.已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义结合焦半径的范围，即可求解．【详解】由已知，又，所以，故选：D．4.已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆离心率的定义和的大小关系求解离心率的取值范围即可.【详解】由椭圆，则椭圆的离心率，又因为，则， 所以.故选：B5.已知直线，双曲线，则（）A.直线与双曲线有且只有一个公共点B.直线与双曲线的左支有两个公共点C.直线与双曲线的右支有两个公共点D.直线与双曲线的左右两支各有一个公共点【答案】C【解析】【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案.【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程得，解得或，则直线与双曲线的右支有两个公共点.故选：C.6.已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（）A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线 【答案】D【解析】【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案.【详解】设，其中，则，即，所以，所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线.故选：D7.已知斜率为的两条直线都与椭圆相切，则这两条直线间的距离等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设切线方程为，联立方程根据得到，再计算平行直线的距离得到答案.【详解】设切线方程为，则，则，，解得，切线方程为，故这两条直线间的距离等于.故选：B.8.已知，，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】表示点两点间距离的平方，点P轨迹是直线，点Q轨迹是圆，求出直线与圆上点的最小距离的平方即可. 【详解】表示点两点间距离的平方；点P轨迹是直线点Q轨迹是圆；圆心到直线的距离是；所以直线和圆的最近距离是．故的最小值是故选：B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线，，则（）A.当时，直线的一个方向向量为B.若与相互平行，则或C.若，则D.若不经过第二象限，则【答案】CD【解析】【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，，A错误；对B，若与相互平行，则，解得或，当时，与重合，B错误；对C，若，则，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确.故选：CD10.已知圆（为坐标原点），圆的圆心为点，则（）A.圆与圆共有条公切线B.在圆上，，与圆切于，，当最大时，，，共线C.在直线上，直线与圆相切于，直线与圆相切于，则D.圆与圆和圆均外切，则圆的圆心的轨迹为双曲线【答案】ABC【解析】【分析】A选项，判断出两圆外切，得到A正确；B选项，得到三角形全等，设，故，，结合正弦函数和余弦函数的单调性，得到最大，只需最大，从而得到B正确；C选项，设出，表达出；D选项，根据双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点的双曲线的一支，D错误.【详解】A选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则圆心距为，又，由可知，故两圆相离，故圆与圆共有条公切线，A正确；B选项，因为，与圆切于，，所以⊥，⊥，由对称性可知，≌，连接交于点，则⊥，且，设，则，，要想最大只需最大，而在上单调递增，故只需最大， 其中，而在上单调递减，故只需最大，显然当，，三点共线，如图所示时，最大，B正确；C选项，设，则，，，，故，C正确； D选项，由题意得，，故，则点的轨迹为以为焦点的双曲线的一支，D错误.故选：ABC【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，其中定义法往往考察椭圆，双曲线和抛物线的定义，利用三者的定义求出轨迹或轨迹方程，注意舍去或添加一些点.11.设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（）A. B.C.若，则的面积为D.若平行于轴，则【答案】BCD【解析】【分析】根据点到直线的距离，直线斜率、三角形的面积、双曲线上的点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】双曲线，即，所以，不妨设，而，到的距离为，所以，所以A选项错误.B选项，设，其中，则，所以，则，，由图可知为钝角，为锐角，所以，则，B选项正确.C选项，若，，两式相减得， 所以的面积为，C选项正确.D选项，直线的方程为，由解得，则，所以，由，所以，，所以D选项正确.故选：BCD12.已知正方体中，为正方形的中心．为平面上的一个动点，则下列命题正确的是（）A.若，则的轨迹是圆 B.若，则的轨迹是椭圆C.若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线D.若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，分别表示四个选项，利用定义和数形结合进行判断.【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，对于A，，，，，则，即即，所以的轨迹是点，故A错误；对于B，，所以可以看成为以为高线圆锥的母线，当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线；当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线；当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆；当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆；当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点；当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线；如图所示， 根据题意，平面不过圆锥的顶点,且与圆锥面的一侧相交，所以所形成的轨迹为椭圆,故B正确；对于C，若到直线，距离相等，面，面，所以，所以到直线的距离为到点的距离，则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故C正确；对于D，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，此时，若到直线，距离相等，即，则，即，则的轨迹是双曲线，故D正确，故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解.第II卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.已知直线与交于点，则____________．【答案】【解析】【分析】求出两直线交点坐标后可得．【详解】由得，所以， ，故答案为：3.14.如图，弓形中，弦，为的中点，且到的距离为，则所在的圆的半径为______________．【答案】【解析】【分析】利用圆的性质，借助勾股定理列式求解即得.【详解】令线段的中点为，由圆的性质知，，且所在圆的圆心在直线上，设所在圆的半径为r，则有，解得，所以所在圆的半径为5.故答案为：515.设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】作出关于轴和直线的对称点，数形结合求出最小值.【详解】设关于的对称点为，关于轴的对称点为，则，解得，故，连接交轴于点，交直线于点，连接， 则，此时的周长最小，最小值为.故答案为：16.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为_____________．【答案】##【解析】【分析】设，根据勾股定理得到，确定，中，根据余弦定理得到，得到离心率.【详解】不妨取为上顶点，如图所示：则，设，则，则，整理得到，，中，根据余弦定理：，整理得到，即. 故答案为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知圆的一条直径的两个端点为和．（1）求圆标准方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，求的最小值，并求出当最小时直线的方程．【答案】（1）（2）最小值为，的方程为【解析】【分析】（1）先求得线段AB的中点即圆心，从而求得半径，写出方程；（2）由时最小，再利用弦长公式求解.【小问1详解】解：由题意可知圆的圆心为，半径为．所以圆的方程为．【小问2详解】易知当时最小，此时的斜率为，所以直线的方程为，即，所以．18.已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．（1）求的值；（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）求出直线方程后设出交点坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）给出直线方程后和抛物线方程联立，韦达定理结合面积公式即可求解.【详解】（1）当斜率为时，由得，恰好经过坐标原点，不妨设，则为抛物线上的点．代入抛物线的方程得，解得．（2）由（1）可知抛物线的焦点．当经过时，其方程为．将其与抛物线的方程联立得．设，，则，．因此的面积．19.抛掷一枚均匀的骰子次，将第次掷出的点数记为，第次掷出的点数记为．（1）求的概率；（2）记事件为“”，事件为“”，若且事件和事件为相互独立事件，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列举出两次掷出的点数的所有结果，再利用古典概率结合对立事件概率公式计算即得.（2）求出，并确定事件的结果数，利用相互独立事件的概率公式求出，再逐一验证即得.【小问1详解】将次掷出的点数记为，则所有的样本点为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，且每个样本点出现的可能性相同，使得的样本点有，，，，，，，，，共 个，因此，显然与为对立事件，所以．【小问2详解】由（1）知，，由和相互独立，即知，此时等价于事件“且”，因此中仅有一个样本点，即，则，而，，，，，因此当且仅当时，且，所以所求的值为.20.如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成的角．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据长方体性质得出，再根据勾股定理得出，即可根据线面垂直的判定得出平面，即可根据面面垂直的判定得出答案； （2）以点为原点，以、、所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，得出相关向量，即可求出平面法向量，即可根据线面角的向量求法，得出答案.【小问1详解】是长方体，平面,平面,,是边长为的正方形，侧棱，且为棱的中点，,,,,,平面，平面，且，平面，平面，平面平面.【小问2详解】以点为原点，以、、所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,，则,,,设平面的法向量为， 则，解得：，取，则，设直线与平面所成角为，则，线面角范围为，，即直线与平面所成角为.21.已知双曲线经过点，直线和为双曲线的两条渐近线．（1）求双曲线方程；（2）设直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若与的斜率互为相反数，求直线的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，将点的坐标代入可得答案；（2）解法一：设直线的方程为，与双曲线联立消去，设，则与的横坐标为此方程的两个根，可得、，设，的斜率为，类似的可得、，再由可得答案．解法二：设直线的方程为，与双曲线的方程联立消去，设，，由直线的斜率与的斜率和为0、韦达定理可得答案.【小问1详解】由题意，可设双曲线方程为，将点的坐标代入得， 因此双曲线的方程为；【小问2详解】解法一：设直线的斜率为，则直线的方程为，即，与双曲线联立消去，得．设，则与的横坐标为此方程的两个根，即，因此，从而，设，由题意，的斜率为，类似的可得，，因此直线的斜率，即直线的斜率为．解法二：设直线的方程为，与双曲线的方程联立消去得．设，，则，．由于直线的斜率为，的斜率为，因此，整理得，所以，整理得，即．由于当时，直线经过点不符合题意，所以．综上所述，直线的斜率为． 【点睛】方法点睛：（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.22.已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，，根据可得关系即得点的轨迹方程.（2）化简，先计算当与一条与轴垂直时值，再设直线、方程联立，计算，换元转化为二次函数求值域即可.【小问1详解】设，，，则，．由得，从而，即曲线的方程为．【小问2详解】由于，所以． 当与一条与轴垂直，另一条与轴垂直时，不妨设，可得．当与都不与坐标轴垂直时，不妨设，，其中．将的方程与曲线的方程联立消去得，显然对都有．设，，则，，因此．类似的可得．所以．令，有．由于，因此，从而．综上所述，的取值范围是．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；