新疆霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题（Word版附解析）

霍尔果斯市苏港中学42023-2024学年第一学期高三第三次月考数学试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，那么集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式解得集合，再利用集合的交运算即可求得结果.【详解】因，故.故选：C.2.已知函数，则（）A.0B.C.1D.10【答案】C【解析】【分析】结合分段函数解析式、对数和指数运算求得正确答案.【详解】.故选：C3.在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，，，，则C的值为（）A.30°B.60°C.120°D.60°或120°【答案】D【解析】【分析】直接通过正弦定理即可得解.【详解】因为，，， 由正弦定理可得，又因为，所以或，故选：D.4.已知，，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质比较与的大小即可得结论.【详解】因为，，，所以．故选：D.5.已知，则等于（）A.B.0C.D.2【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正切公式求出，再由诱导公式即可得解.【详解】，，故选：C6.下列说法正确的是（） A.函数为实数集上的奇函数，当时，（a为常数），则B.已知幂函数在单调递减，则实数C.命题“，”的否定是“，”D.中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则是的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，求得，从而可判断A；根据幂函数的定义及性质可得，从而可求出，即可判断B；根据全称命题的否定相关知识，即可判断C；直接利用正弦定理边角互化结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.【详解】对于A，因为函数为实数集上的奇函数，当时，（a为常数），所以，所以，则，故A错误；对于B，因为幂函数在上单调递减，所以，解得，故B正确；对于C，命题“，”的否定是“，”，故C错误；对于D，在中，由正弦定理可知，所以是充要条件，故D错误.故选：B.7.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，和差公式，辅助角公式及平方关系即可求解. 【详解】，则；因为，故.故选：A.8.是定义在R上的可导函数，且对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，求出，即可得到函数的单调性，即可得解；【详解】解：令，则．因为，所以，所以，所以在R上单调递增，又因为，所以，即，即，故D正确，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】 【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.【详解】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.故选：BC.10.下列等式成立的是（）A.B.C.D.tan255°＝2＋【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等变换公式一一计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D： 故选：BCD11.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.是函数图象的一个对称轴D.的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】由题可得，再利用余弦函数的性质即可判断.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.对于A，的周期为，故A正确；对于B，由，得，从而即时，单调递减，故B不正确；对于C，，所以是函数图象的一个对称轴，故C正确；对于D，，所以的图象关于点对称，故D正确．故选：ACD. 12.已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ）A.为的一个周期B.的图象关于直线对称C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证即可得到答案.【详解】由是奇函数，得，则，所以，则的一个周期为，A错误；因为，所以函数关于对称，B正确；，令，则，所以，故C正确；，D错.故选：BC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数，则的极大值点为______.【答案】2【解析】【分析】求导，得到的解，进而得到函数单调性，求出极大值点.【详解】，令，解得或6， 当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在取得极大值，故极大值点为2.故答案为：214.钝角中，，则的面积是__________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得，代入数据，解得或，因为钝角三角形，，所以，所以的面积是.故答案为：15.已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】根据函数是偶函数，求出解析式，数形结合解不等式.【详解】当时，，故，又因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，所以，图象如下： 由图象可知：当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；综上所述，不等式的解集为.故答案为：16.已知函数.若在恒成立，则的范围为___________.【答案】【解析】【分析】利用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】，因为，所以，所以由，设，，因此有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因为在恒成立，所以有，因此的范围为， 故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用常变量分离法，通过构造新函数来进行求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）17.如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.（1）求AC；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；（2）根据内接四边形可得，再根据正弦定理求解即可【小问1详解】因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.【小问2详解】因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.18.已知函数在区间上的图象如图所示． （1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式；（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的值域.【小问1详解】由图象可知，函数的最小正周期为，则，所以，，因为，因为，则，所以，，解得，因此，. 【小问2详解】将的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，，则，所以，，因此，在上的值域为.19.设.（1）求f（x）的单调增区间及对称中心；（2）当时，，求cos2x的值.【答案】（1）单调递增区间是；对称中心（2）【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式及诱导公式化简得到，整体法求解函数的单调递增区间及对称中心；（2）先求出，结合得到，从而求出，利用余弦差角公式进行求解【小问1详解】由题意得：， 由，可得；所以的单调递增区间是；令，，解得：，，此时函数值为-1，所以对称中心为．【小问2详解】∵∴，∵，∴，∵当时，，∴∴，．20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值；（3）若对于任意，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；（2）利用导函数判断单调区间及极值即可；（3）分离参数结合导数研究函数的最值计算即可.【小问1详解】由题意可知，所以，故曲线在点处的切线方程为；【小问2详解】由（1）知，令可得，即在上单调递增；令可得，即上单调递减，令可得，函数在上取得极小值，极小值为，无极大值；综上函数在上单调递增，在上单调递减，无极大值，极小值为；【小问3详解】原式对恒成立，令，当时，，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增， 所以，即，故.21.在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.22.已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；【小问2详解】，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.