重庆市第七中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

重庆市第七中学校2023-2024学年度上期高2025级期中考试数学试题（满分150分，考试时问120分钠）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，所以到另一个焦点的距离为.故选：A2.已知点，直线与直线AB垂直，则实数（）A.B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】求出直线AB的方程，根据直线垂直得到，求出答案.【详解】直线AB的方程为，即，因为直线与直线AB垂直，所以，解得.故选：D 3.若点在圆外，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，若点在圆外，则，解得或，所以实数的取值范围是.故选：C.4.已知向量，，且，则（）．A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及空间向量平行的坐标表示即可求解．【详解】由题可知，，，因为，所以存在实数，使，所以，解得，故选：B．5.如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（） A.0B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】如图所以所以异面直线与所成角的余弦值故选：A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.6.已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（）A.2个B.4个C.6个D.8个 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的对称性及的值，分类讨论，即可求解.【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；设椭圆的上顶点为，由椭圆，可得，可得，则，，所以，故，所以不存在以为直角顶点的，故满足本题条件的点共有4个.故选：B.7.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（）A.10B.9C.8D.7【答案】C【解析】【分析】首先利用对称关系求出点关于直线的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离．【详解】设点关于直线的对称点坐标为 故，解得，即对称点，故原点到点的距离，所以最短距离为．故选：C8.定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（）A.B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案． 【详解】，，设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD，又AO，AB，ADÌ平面ABD，故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，，，在中，，则，又的方向与相同，所以．故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列命题中，是真命题的为（）A.设，是两个空间向量，则B.若空间向量，满足，则C.若空间向量，，满足，，则D.在正方体中，必有【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断.【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题； 对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定，所以不一定成立，故B为假命题；对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题；对于选项D：在正方体中，，且方向相同，所以，故D为真命题.故选：ACD.10.已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的为（）A.两圆外切B.两圆有两条公切线C.直线的方程为D.线段的长为【答案】BD【解析】【分析】对于A：根据题意可得两圆的圆心和半径，进而判断两圆的位置关系为相交；对于B：根据两圆相交分析判断；对于C：根据两圆方程之差即为公共弦所在直线方程，运算求解即可；对于D：利用点到直线的距离公式结合垂径定理求公共弦长.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，圆，即，可知圆心，半径，对于选项A：因为，则，所以两圆相交，故A错误；对于选项B：因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故B正确；对于选项C：因为两圆相交，则两圆方程之差即为公共弦所在直线方程，可得直线的方程为，故C错误；对于选项D：因为到直线的距离，所以线段的长为，故D正确；故选：BD. 11.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面为椭圆，若，则（）A.椭圆的短轴长为B.椭圆的离心率为C.椭圆的方程可以为D.椭圆上点到焦点的距离的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】利用图中的几何性质即可求出，即可判断的正误，利用二次函数的性质即可求出椭圆上的点到焦点的距离的最小值.【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，由已知可知，解得，∵，∴椭圆的短轴长为，故A正确；则椭圆的标准方程为，故C不正确；∵，∴，∴，故B正确；椭圆上一点为,其中一个焦点坐标为,且，则 该抛物线的对称轴为，故函数在区间上单调递减，当有最小值，此时，即，故D正确.故选：ABD.12.如图，棱长为的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，若平面，则的最大值为C.当时，若，则点的轨迹长度为D.过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形【答案】AC【解析】【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；分别取、中点、，连接、、、、，找出点的轨迹，结合图形求出的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的形状，可判断D选项.【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，、、，对于A选项，当时，，设平面的法向量为，，，则，取，可得，所以，，则，因为平面，故当时，平面，A对；对于B选项，当时，为中点，分别取、中点、，连接、、、、，因为、分别为、的中点，所以，，又因为且，所以，四边形为平行四边形，则，所以，，因为平面，平面，所以，平面， 因为且，、分别为、的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，可得且，又因为且，所以，且，故四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，则平面，因为，、平面平面，当点为的边上一点（异于点）时，则平面，则平面，故点的轨迹为的边（除去点），因为，同理可得，结合图形可得，B错；当时，、分别为、的中点，如下图所示：此时点、、，，当点在平面内运动时，设点，其中，，则，因为，则，解得，设点的轨迹分别交棱、于点、，则、，当点在平面内运动时，设点，其中，，，则， 设点的轨迹交棱于点，则，设点的轨迹交棱于点，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，所以，四边形为平行四边形，且，，因此，点的轨迹的长度即为平行四边形的周长，C对；对于D选项，设截面交棱于点，连接、，题意可知，截面与平面重合，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，所以，四边形为平行四边形，易知，其中，所以，，，所以，，故与不可能垂直，故平行四边形不可能为矩形，故过、、三点的截面不可能是矩形，D错.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用平面的性质确定截面形状的依据如下：（1）平面的四个公理及推论;.（2）直线与平面平行的判定与性质;（3）两个平面平行的性质. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为______.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，进而可得直线的斜率和倾斜角.【详解】若直线的倾斜角为，则，可知直线的斜率为，设倾斜角为，则，所以倾斜角为.故答案为：.14.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在轴上可得.【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，得.故答案为：15.已知圆：上有且只有三个点到直线：的距离为1，则________.【答案】【解析】【分析】根据圆的半径为2，将问题转化为圆心到直线的距离为1，解方程即可得答案.【详解】圆的半径为2，圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，圆心到直线的距离为1，，则，解得. 故答案为：.16.在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，则三棱锥体积的最大值为____________．【答案】【解析】【分析】分析可知三棱锥外接球球心为中点，求出点到平面的距离，可得出点到平面的距离的最大值，从而可得出答案.【详解】解：正中，为的中点，则，而平面，平面，则，而，、平面，则平面，平面，所以，平面，平面，，所以的中点到点、、、的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，从而点是三棱锥外接球球心，设球的半径为，则，因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接，因为、分别为、的中点，则，故平面，，则点到平面的最大距离为，所以三棱锥体积的最大值为.故答案为：. 【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.四、解答题（共70分）17.已知△ABC的顶点，C在y轴上.（1）已知直线l过点A且在两条坐标轴上的截距之和为6，求l的方程；（2）若C到直线AB的距离为，求点C的坐标.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据直线的截距式方程，代入即可求解，（2）根据两点坐标，由斜截式求直线方程，进而根据点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】由于直线在两条坐标轴上的截距之和为6，可知直线与轴均有截距，且不为0，故设直线方程为：因此或， 即直线方程为或，故方程为：或【小问2详解】设直线方程为将坐标代入得，所以直线的方程为：，即，则点到直线的距离为，化简得，故或故或18.在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，.（1）求证：平面；（2）求点E到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；（2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果.【小问1详解】 因为为直三棱柱，则平面，且，以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，且，分别是，的中点，则，所以,，设平面的法向量为，则，则，取，则，则平面的一个法向量为，因为平面，且，则平面.【小问2详解】由（1）可知，平面的一个法向量为，且，则点到平面的距离.19.在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． （1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；（2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.【小问1详解】当时，圆C的方程为，圆心，半径，①当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l与圆C相切，则，解得，所以l的方程为，即，综上得，直线l的方程为或；【小问2详解】圆心，，则线段的中垂线的方程为，即，要使得，则M在线段的中垂线上，所以存在点M既要在上，又要在圆C上，所以直线与圆C有公共点，所以，解得，所以． 20.已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）已知、为椭圆的两焦点，若点P在椭圆上，且，求面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得对应的，从而求得椭圆的方程.（2）根据已知条件求得，结合求得面积.【小问1详解】椭圆对应的，所以对于，有，解得，则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）得，，在中，由余弦定理得①，由椭圆的定义得②，由①②整理得， 由于，所以为锐角，所以，所以.21.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，点是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，再根据勾股定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，从而利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）根据线面角的定义及正弦值求得边长，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面所成角的余弦值.【小问1详解】 平面平面，.，由且是直角梯形，，即，.平面平面，平面.平面，平面平面.【小问2详解】平面平面，.又，平面平面，平面，即为直线与平面所成角.，，则，取的中点，连接，以点为坐标原点，分别以为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设为平面的法向量，则，令，得，得，设为平面的法向量， 则，令，则，得..平面与平面所成角的余弦值的余弦值为.22.已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点.（i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值；（ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）（i）7；（ii）是在定直线上，直线方程：【解析】【分析】（1）根据点在圆上，得到，再根据为中点，得到，然后代入，整理即可得到曲线的方程；（2）（i）设直线方程，得到弦长和，然后将面积表示出来，最后分和两种情况讨论面积的最大值；（ii）联立直线和曲线的方程，根据韦达定理得到，然后通过联立直线和直线的方程得到的坐标，再结合即可得到点在定直线上.【小问1详解】设，因为点在圆上，所以①.因为为中点，所以，整理得。 代入①式中得，整理得所以曲线的方程为【小问2详解】（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即.则直线为设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为.则，所以.所以当时，.当时，，当且仅当时等号成立.综上所述，四边形面积的最大值为7.（ii）设，联立，得.则，.因为曲线与轴交于两点，所以.则直线的方程为，直线方程为， 联立两直线方程得.直线与直线的交点在定直线上