浙江省杭州市西湖区杭师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

杭师大附中2023学年第一学期高二年级期中考试高二数学试卷本试题满分150分，考试时间120分钟一．单项选择（共8题，每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的倾斜角为.故选：C2.已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．【详解】因为，，，所以.故选：D. 3.若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是（）A.4B.6C.3＋1D.8【答案】D【解析】【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.【详解】如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[0,6].故选：D.4.某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（）A.中位数是3，众数是2B.平均数是3，中位数是2C.方差是，平均数是2D.平均数是3，众数是2【答案】C【解析】【分析】举特例可说明正误，利用方差的计算公式可判断C.【详解】选项A：有可能出现点数6，例如；选项B：有可能出现点数6，例如；选项C：设这5次的点数为，则方差如果出现点数6，而，则方差大于或等于3.2，故不可能出现点数6；选项D：有可能出现点数6，例如， 故选：C．5.已知椭圆（）的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】由题意得，则，，所以椭圆方程为，因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，因为，即点为线段的中点，设，显然，则，，可得，则，即，所以，即直线的斜率， 所以直线为，即，因为M为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，故选：B.6.已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意知，A在圆O上，PA中点也在圆上，根据中点位置列出方程式解得中点的轨迹为，然后根据两圆的位置关系求得a的取值范围.【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为，则有：，解得：，又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点， 所以，解得：，解得：，故选：B.7.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，易得，，，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点.由平面，平面，得，又，则，由平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，，.所以.因为，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.8.设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，由梯形中位线得到，然后求得r，进而得到，然后，利用韦达定理求解.【详解】解：如图所示： 设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，则，所以，则，即，解得或（舍去），则，设，由，消去y得，则，解得，所以直线方程为，即，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知圆C的方程为，直线的方程为，下列选项正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆相交C.直线被圆所截最短弦长为D.存在一个实数，使直线经过圆心【答案】ABC【解析】【分析】化简直线的方程为，结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点 的距离，得到点在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线的方程，可判定D不正确.【详解】对于A项：由直线的方程，可化为，联立方程组，解得，即直线恒经过定点，所以A正确；对于B项：由圆的方程，可得圆心，半径，又由，可得在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；对于C项：由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，所以C正确；对于D项：将圆心代入直线的方程，可得，所以不存在一个实数，使得直线过圆心，所以D不正确.故选：ABC.10.甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（）A.事件、是相互独立事件B.事件、是互斥事件C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为：，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件包含的基本事件有9个，分别为：，，，，，，，，，，，事件、是相互独立事件，故正确；事件与能同时发生，故事件与不互斥事件，故错误；，故正确；包包含的基本事件有9个，分别为：，，，，，，，，，．故错误．故选：．11.直线l与抛物线相交于，，若，则（）A.直线l斜率为定值B.直线l经过定点C.面积最小值为4D. 【答案】BCD【解析】【分析】由数量积的坐标表示结合抛物线方程得出，联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出直线l经过定点，再由判别式判断A，由面积公式结合不等式的性质判断C.【详解】，因为，所以，即，，又，所以，故D正确；设直线，由得，即，，即直线l过定点，故B正确；又，则，故A错误；，当时，面积取最小值，故C正确.故选：BCD12.在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（）A.点P的轨迹的长度为B.点Q的轨迹的长度为C.PQ长度的最小值为D.PR长度的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，取BC的中点N，连接AN，，根据面面平行的判定可证得平面平面，从而得点P的轨迹为线段AN，解三角形计算可判断；对于B，连接DQ，由勾股定理得，从而有点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，由圆的周长计算可判断； 对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，由三角形相似计算得，由此可判断；对于D，由已知得点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：，联立，整理得，由，解得，再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值．【详解】解：对于A，取BC的中点N，连接AN，，则，，所以平面，平面，又平面，平面，，所以平面平面，又点P在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，所以点P的轨迹为线段AN，因为，所以点P的轨迹的长度为，故A不正确；对于B，连接DQ，因为Q在底面ABCD上，，所以，解得，所以点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，如下图所示，所以点Q的轨迹的长度为，故B正确； 对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，而，所以，所以，即，解得，所以，所以PQ长度的最小值为，故C正确；，对于D，因为点R到平面的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线的距离等于点R到平面的距离，所以点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，则，，，直线AB的方程为，直线AN的方程为，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：，联立，整理得，，解得，所以直线l的方程为：， 则直线AN与直线l的距离为：，所以PR长度的最小值为，故D正确，故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）13.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为和，则密码被成功破译的概率为________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设事件“甲能破译密码”，事件“乙能破译密码”，则事件与相互独立，且，则密码被成功破译的概率为：.故答案为：.14.已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是___________【答案】【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出 ，结合计算即可求解.【详解】空间内三点，，，所以，，，，由，易得，所以，所以点到直线距离.故答案为：.15.，是椭圆C的两个焦点，点P是椭圆C上异于顶点的一点，点I是的内切圆圆心，若的面积是的面积的4倍，则椭圆C的离心率为______．【答案】【解析】【分析】作图，根据几何关系以及条件求出a与c的关系式，再求出e.【详解】设椭圆方程为：，如图，设P（m，n），，，的周长为l，内切圆I的半径为r，则由椭圆的定义可得l＝2a＋2c，∴，，∴，解得：，；故答案为：． 16.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上且在轴上方，若线段的中点在以为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为______．【答案】【解析】【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，，，再利用余弦定理以及同角三角关系求斜率.【详解】由双曲线可知，设线段的中点为，双曲线的右焦点为，则，，由题意可知：点在第一象限，则，，可得，且为锐角，则， 可得，所以直线的斜率为.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】17.18或【解析】【分析】（1）根据题干假设出圆的标准方程，代入题干信息即可求解.（2）讨论过点的直线斜率不存在时，是否与圆相交，弦长是否为；斜率存在时，利用弦长公式进行计算，求解直线的方程即可.【小问1详解】设圆的标准方程为，代入题干得：，解得：则圆的标准方程为：【小问2详解】当过点的直线斜率不存在时，直线为：，此时圆心到直线的距离为所以相切，与题干不符；当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为：，即， 此时圆心到直线的距离为，又因为相交的弦长为，则.所以，解得或则直线的方程为：或18.如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为（1）求的长；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，设，利用空间向量结合异面直线夹角运算求解； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】由题意可知：平面，且，如图，以为坐标原点，为轴所在直线建立空间直角坐标系，设，则，可得，由题意可得：，解得，所以.【小问2详解】由（1）可得：，设平面的法向量，则，令，则，可得，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.19.实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．2019年下半年以来，全国各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例．某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组450.75第二组25第三组200.5第四组0.2第五组30.1（1）求的值；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访，并在这6人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率．【答案】（1）（2）（3） 【解析】【分析】（1）直接由频率分布直方图求出即可；（2）由频率分布直方图中平均值的公式求出；（3）古典概率，先求符合条件的人数，再求基本事件总数，符合条件的事件数量，最后求概率.【小问1详解】由题意得：，【小问2详解】根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值：【小问3详解】从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访，中选：人，分别记为，中选：人，分别记为，并在这6人中选取2人作为记录员，，基本事件总数，选取的2名记录员中至少有1人年龄在包含的基本事件：，基本事件数，选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率20.已知椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，轴正半轴上的 点满足．（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标．（2）过点的直线交椭圆于两点，且和的面积相等，求直线的方程．（3）在（2）的条件下，求当直线的倾斜角为钝角时，的面积．【答案】20.椭圆的标准方程为，点坐标为21.或22.【解析】【分析】（1）由及椭圆的定义即可求得标准方程及点点坐标.（2）由与的面积相等知点到直线的距离相等，再由点到直线的距离公式即可求得直线方程.（3）由（2）求得的直线方程，联立椭圆，再由面积公式即可求得三角形的面积.【小问1详解】设点的坐标为，易知，可得，则，，因此椭圆的标准方程为，点坐标为．【小问2详解】由（1）可知：，由题意可知：直线的斜率存在，设直线，即， 由与的面积相等知点到直线的距离相等，所以，解得或，所以直线的方程为或．【小问3详解】因为在椭圆内部，则直线与椭圆相交，若直线的倾斜角为钝角，则，此时直线的方程为，即联立方程，消去得，设，坐标分别为，，则，所以的面积，故所求的面积为．21.如图，在三棱柱中，，为的中点，平面平面． （1）证明：；（2）已知四边形是边长为2的菱形，且，线段上的点，且，当平面与平面的夹角的余弦值为时，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【小问1详解】因为，且D为BC的中点，则，因为平面平面ABC，交线为BC，AD⊥BC，AD平面ABC，可得AD⊥平面，且平面，所以.【小问2详解】连接，，因为四边形为边长为2的菱形，且，可知为等边三角形，且D为BC的中点，则，又因平面平面ABC，交线为BC，平面，所以平面ABC，以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，可得，，，，可得．设平面AED的一个法向量为，则，令，则，可得，设平面AEC的一个法向量为，则，令，则，可得，设平面EAD与平面EAC的夹角为，则，解得：，故点E为中点，.22.已知双曲线（）的离心率为，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）点在双曲线上，直线与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值．【答案】（1） （2）当为的中点时，【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解.【小问1详解】因为双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则且，设，则，直线的方程为，令，可得，即,同理可得， 因为为的中点，所以，即，则，可得，整理得，所以或，若，即，则直线方程为，即，此时直线过点，不合题意；若时，则直线方程为，恒过定点，所以为定值，又由为直角三角形，且为斜边，所以当为的中点时，.【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；