新疆喀什地区巴楚县2023-2024学年高二上学期10月期中数学试题（Word版附解析）

巴楚县2023-2024学年第一学期高二年级数学期中考试试卷一、单选题（每道题5分，共60分）1.对于空间向量，，若，则实数（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据，知它们的坐标对应成比例，求出实数的值.【详解】因为，所以，即，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题.2.在直三棱柱中，若，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】由已知得，故选：C3.过点的直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据两点的斜率公式即可求解.【详解】根据两点的斜率公式可得.故选：B.4.与向量同向的单位向量的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】与向量同向的单位向量为，求解即可．【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为．故选：A.5.直线与直线的交点坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过联立方程组求得正确答案.【详解】由解得，所以交点为.故选：B6.已知直线：，：，若，则的值为（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直的公式计算即可. 【详解】因为直线：，：，，所以，解得.故选：C.7.经过点，且与直线平行的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程.【详解】令所求直线方程为，则，所以，所求直线为（或）.故选：A8.已知为平面内三点，直线的方向向量为，直线与平面的位置关系是（）A.B.或C.D.与相交，但与不垂直【答案】C【解析】【分析】计算的法向量为，得到平面的法向量与直线的方向向量平行，得到答案.【详解】设平面的法向量为，则，取得到，故平面的法向量与直线的方向向量平行，故.故选：C.9.已知，，则等于（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.【详解】因为，，所以，，所以.故选：C10.已知直线，则下列结论正确的个数是（）①直线的截距为1②过点与直线平行的直线方程为③若直线，则A3B.2C.1D.0【答案】B【解析】【分析】根据直线的方程得到横纵截距，即可判断①；设与直线平行的直线方程为，然后将代入得到，即可得到过与直线平行的直线方程，即可判断②；根据两直线垂直时斜率相乘为-1判断③.【详解】直线的方程为，令，则，令，则，所以直线的横纵截距都为-1，故①错；设与直线平行的直线方程为，将代入得到，解得，所以过与直线平行的直线方程为，故②正确；直线的斜率为，直线的斜率为，，所以，故③正确.故选：B.11.经过两点的直线的斜率是12，则等于（）A.B.C.3D.1 【答案】A【解析】分析】由斜率公式可得答案.【详解】由题可得，由斜率公式，.故选：A12.在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.【详解】如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，则，，设是平面的一个法向量，则，令，则，又，所以点到平面的距离为， 故选：D.二、填空题（每道题5分，共20分）13.直线的倾斜角为______．【答案】【解析】【分析】根据直线方程的特征进行求解即可.【详解】因为直线与横轴垂直，所以直线的倾斜角为，故答案为：14.已知点，，则线段中点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.【详解】点，，所以线段中点的坐标为.故答案为：15.已知空间三点在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为________.【答案】【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.详解】设，，因为，所以，即，因为直线OA上有一点H，所以，即，显然， 所以，代入中，得，所以点H的坐标为，故答案为：16.在下列命题中，所有正确命题的序号是___________.①不存在同时经过两条异面直线的平面.②如果两条直线与第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行.③与两条异面直线都垂直的直线有无数条.④如果两个角的两条边对应平行，那么这两个角相等.【答案】①③【解析】【分析】根据异面直线的定义判断①；根据正方体同一顶点出发的三条棱可以得到反例判断②；根据异面直线能够平移成相交直线可判断③；根据等角定理可判断④.【详解】对于①，不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线，所以①错误；对于②，正方体同一顶点出发的三条棱两两相互垂直，所成角相等但不平行，所以②错误；对于③，有无数条直线垂直与两条异面直线都平行的平面，所以③正确；对于④，根据等角定理：如果两个角的两条边对应平行，那么这两个角相等或互补，所以④错误；故答案为：①③三、解答题（17、18、19每题10分，20题12分，21、22每题14分，共70分）17.如图，已知三点，，．（1）求直线AB，BC，CA的斜率；（2）求直线BC，CA的倾斜角．【答案】（1），，；（2）直线BC的倾斜角为，直线CA的倾斜角为. 【解析】【分析】（1）利用两点式求直线斜率；（2）由所求的对应直线斜率，结合倾斜角范围及斜率、倾斜角关系求倾斜角大小.【小问1详解】直线AB的斜率；直线BC的斜率；直线CA的斜率．【小问2详解】设直线BC的倾斜角为，由，则倾斜角．设直线CA的倾斜角为，由，则倾斜角．18.如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.求证：（1）平面；（2）平面⊥平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用，得到，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用向量的坐标运算得到，从而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.【小问1详解】 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，，，∴，，，，，，.，，即，又⊂平面，平面，∴平面.【小问2详解】，，∴，即又平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面⊥平面.19.直线：与直线：的交点为M，求点M到直线的距离.【答案】【解析】【分析】先联立直线方程求出点M坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由，解得，所以交点.因为，所以，即点M到直线的距离为.20.（1）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程（2）直线经过点，平行于轴，写出直线的方程；（3）直线经过点，，写出直线的一般式方程；（4）直线在轴、轴上的截距分别是，，写出直线s的斜截式方程．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】根据直线方程的点斜式、一般式和斜截式方程，逐个求解，即可得到答案.【详解】（1）由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为.（2）由直线m经过点，平行于x轴，所以直线的方程为.（3）由直线经过点，，可得直线的斜率为，则直线，直线的一般式方程为.（4）由直线在轴、轴上的截距分别是和，可直线的方程为，所以直线的斜截式方程为.21.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明；（2）根据线面角的向量求法即可求解.【小问1详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，所以，设平面一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面.【小问2详解】由（1）得，，设直线与平面所成的角为， 则.22.如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解线线垂直，进而由线面垂直的判断求解，（2）利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，,,因为， 所以，即因为，所以，即又因为，平面，平面因此平面【小问2详解】因为平面，所以为平面的一个法向量由（1）知为平面的一个法向量.