内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰二中2022-2023学年高二上学期11月月考数学（理）试题（Word版附答案）

赤峰二中2021级高二上学期第一次月考理科数学试题一、单选题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．若直线过圆的圆心，则（    ）A．0B．1C．2D．32．直线，，若，则的值为（    ）A．B．C．或D．或3．已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．已知体积公式中的常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长，在球中，表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为），正方体（棱长为），球（直径为）的“立圆率”分别为，，，则（    ）A．B．C．D．5．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ）A．13B．1C．7D．5 6．已知函数，则不等式的解集是（    ）A．B．C．D．7．下列函数中，同时满足：①在上是严格增函数；②以为周期；③是奇函数的函数是（    ）A．B．C．D．8．已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（　　）A．2B．C．D．49．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ）A．4B．9C．D．10．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，则欧拉线的方程为（    ）A．B．C．D． 11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积的最大值为D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF12．已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（    ）A．B．C．D．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．若点在圆的外部，则实数a的取值范围是___________.14．数列中，，则__________.15．若三棱锥的各顶点都在球的表面上，，，则球的表面积为___________.16．某海轮以海里/时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向上，向北航行分钟后到达点，测得油井在点的南偏东方向上，海轮改为北偏东 的航向再行驶分钟到达点，则、间的距离为______海里．三、解答题(共70分)17．（10分）已知斜率k且过点A（5，﹣4）的直线l1与直线l2：x﹣2y﹣5＝0相交于点P.（1）求以点P为圆心且过点B（4，2）的圆C的标准方程：（2）求过点Q（﹣4，1）且与圆C相切的直线方程.18．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长.19．（12分）已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和. 20．（12分）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，侧面是边长为的正方形，侧面侧面，为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．22．（12分）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1， 被直线l：截得的弦长为2.(1)求的方程；(2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.①求曲线的方程；②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案：1．D【分析】先求出圆的圆心坐标，根据圆心在直线上，代入即可求解.【详解】解：圆，即，圆的圆心坐标为：，将代入，即，解得：.故选：D.2．A【分析】由直线与直线平行的判断条件求解即可【详解】因为直线，，且，所以，解得a＝3，故选：A．3．A【分析】对于A选项，垂直于同一条直线的两个平面互相平行；对于B选项，垂直于同一个平面的两个平面有可能相交，也有可能互相平行；对于C选项，由线面垂直的性质即可判断； 对于D选项，平行于同一个平面的两条直线有可能相交、平行或异面.【详解】选项A正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；选项B错误，平面和也可以相交；选项C错误，直线可能在平面内；选项D错误，直线和还可能相交或者异面.故选：A.4．A【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：A.5．D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，故故选：D 6．D【分析】由可得，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.【详解】解：依题意，等价于，在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：如图可得的解集为：.故选：D.7．C【分析】由三角函数的单调性、周期性及奇偶性逐项判断即可得解.【详解】对于A，，该函数在上单调递减，不合题意；对于B，，该函数在上单调递减，且为偶函数，不合题意；对于C，，当时，，在上是增函数，最小正周期，且为奇函数，符合题意； 对于D，，在上单调递减，不合题意.故选：C.8．A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由圆C1与圆C2相外切，得即，∴；要使取得最大值，则，同号，不妨取，，由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，∴ab的最大值为2．故选：A9．D【分析】由题得，再利用基本不等式求解.【详解】由题得，所以. 当且仅当时取等.所以的最小值为.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于“拼凑”化简，再利用基本不等式求解.10．D【分析】求出重心，求出边上的高和AC边上的高的方程，联立可求出垂心，即可求出欧拉线的方程.【详解】由题可得的重心为，直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为，即，直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为，即，联立可得垂心坐标为，则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，所以欧拉线的方程为.故选：D.11．C【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当 时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面，∴四棱锥为“阳马”，故A正确；B选项，由，即，又且，∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴四面体为“鳖膈”，故B正确；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，最大值为，故C错误；D选项，因为，，，所以平面，故D正确；故选：C12．D【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率. 【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，所以，，由椭圆的定义可知，所以，所以，，，，由椭圆的定义可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的离心率是.故选：D.13．【分析】根据题意，建立不等式即可求解. 【详解】由题意可知，解得或，则实数a的取值范围是，故答案为：14．【解析】当时，，当时，根据，即可求得，综合即可得答案.【详解】当时，，当时，，所以，又，满足上式，所以，故答案为：15．【分析】由已知条件可知三棱锥是正三棱锥，设的中心为，则外接球的球心在所在直线上，在在中，由勾股定理求得外接球半径，再由球的表面积公式即可求解.【详解】因为三棱锥中，，所以此三棱锥为正三棱锥，设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点，外接球球心在所在直线上， 因为，所以，因为，所以，设球的半径为，在中，，，，由可得，解得，所以即为球心，球的半径，所以球的表面积为.故答案为：.16．【分析】根据题意，画出草图，在中由正弦定理解出，在中，根据勾股定理求得.【详解】如图，在中，（海里），，,由，得，解得海里．在中，（海里）， 由已知得，所以（海里）,所以、间的距离为海里．故答案为：.17．（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝25；（2）x＝﹣4或8x﹣15y+47＝0【分析】（1）先求出直线的方程，与直线联立求出点P，P为圆心且过点B，可得半径，即得标准方程；（2）根据圆的方程可知点Q在圆外，设过Q点圆的切线方程为l，当直线斜率存在时，由点到直线的距离等于圆的半径可求得斜率k，当斜率不存在时，x＝﹣4复合题意，综上，即得。【详解】（1）l1：y+4（x﹣5）即x+2y+3＝0；l2：x﹣2y﹣5＝0；，即，即P（1，﹣2）.因为B（4，2），所以|PB|＝5； 所以圆的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝25；（2）因为点Q（﹣4，1）在圆外，设过Q点圆的切线方程为l，当l斜率不存在时，x＝﹣4复合题意，当l斜率存在时，可设为k，则l的方程为y﹣1＝k（x+4）即kx﹣y+4k+1＝0，点P（1，﹣2）到直线l的距离为5，即k.即直线的方程为8x﹣15y+47＝0；综上可知，过Q点圆C的切线方程为方程x＝﹣4或8x﹣15y+47＝0.【点睛】本题考查求圆的标准方程，以及直线和圆的位置关系，需要注意不要忽略斜率不存在的情况。18．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得的大小；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用面积求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，由三角形内角和定理和诱导公式可得，，代入上式可得，，所以. 因为，所以，即.由于，所以.（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.又的面积为，所以，即，所以.由余弦定理得，则，所以，即.所以的周长.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．（1）；（2）.【分析】(1)根据已知条件求出，，即可求出通项公式.（2）用错位相减法，即可求出数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，，即∵是与的等比中项，∴， 即，解得∴数列的通项公式为；（2）由（1）问可知∴两式相减并化得【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）在平面BCD内找到2条相交的直线，使得AB垂直于它们即可；（2）根据（1）的结论。建立空间直角坐标系，用向量的方法求二面角的余弦值.（1）连接，因为侧面是菱形，且，所以是等边三角形， 又因为为的中点，所以，因为，所以；因为侧面是边长为的正方形，所以，又侧面侧面，侧面侧面，侧面，所以侧面，又因为侧面，所以．又，所以平面；（2）平面，，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：则、、、、、、，所以，， 设平面的法向量为，则，令，则，由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为；综上，平面与平面夹角的余弦值为.21．(1)；(2).【分析】（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.（1）解：由题意知，所以，，所以，由椭圆定义知：， 则，，故椭圆的方程为．（2）解：①当直线轴时，令，可得，解得，可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，成立，设，，则，，可得．又圆的半径，∴的面积为，化简得，解得，∴，∴圆的方程为．22．(1) (2)①；②存在，【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；（2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.（1）由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，，解得：，即圆心为，圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，由已知所以，所以圆的标准方程为；（2）设，则，由得：，所以D在圆上运动，整理可得点T的轨迹方程为：当直线轴时，轴平分， 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，联立化简可得，方程的判别式，设，，，若轴平分，则，所以，又，，所以，所以，所以所以解得，当时，能使轴平分.