2021-2022学年福建省莆田第一中学高二下学期期中考试数学试题

莆田一中2021-2022学年度下学期期中考试试卷高二数学一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意1.函数的单调增区间是（）A.B.C.D.2.在等比数列中，，，则公比的值为（）AB.或1C.－1D.或－13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（）A.B.2eC.D.4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中前5天共分发多少升大米？（）A.1170B.1440C.1512D.17725.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家不同发言顺序共有（）A.12种B.8种C.6种D.4种6.函数且的图象大致是（　　）A.B.12 CD.7.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知，则函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.或为的最大值11.已知为函数导函数，若，，则下列结论错误的是（）A.在上单调递增B.在上单调递减12 C.在上有极大值D.在上有极小值12.已知，且，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则在处的切线方程为______.14.已知等比数列各项都是正数，且，，成等差数列，则______.15.已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是_______.16.已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设.（1）求的单调区间，并确定的极值点；（2）求在区间上的最大值与最小值.18.两位老师甲、乙和四位学生站成一排.（适当说明过程，列出式子并计算结果，结果用数字表示）（1）两位老师不能相邻，共有多少种排法？（2）甲在乙左边，共有多少种排法？（3）最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？（4）两位老师在中间，两端各两位学生，假如学生身高不等，要求学生由中间到两端从高到矮排，共有多少种排法？12 19.在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知为等差数列的前项和，若____________.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20.设是数列的前项和，，点在斜率为的直线上.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．21.已知函数f（x）＝﹣αx2+（α﹣2）x+lnx.（1）当α＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若在当x∈（0，+∞）时恒成立，求实数α的取值范围.22.已知函数．（1）若，证明：；（2）若只有一个极值点，求的取值范围．12 CBDACBAC9.AC10.BD11.ABC12.BC13.【答案】14.【答案】915.【答案】16.【答案】17.【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；极大值点，极小值点1；（2），【解析】【分析】（1）直接求导得，由，，可得的单调区间，进而确定极值点.（2）先由的单调性求出极值，再计算端点值，进而确定最值.【小问1详解】，令，得或，由，可得或，由，可得，在，上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点.【小问2详解】由（1）知在单调递增，单调递减，单调递增，极小值为，极大值为，又，，12 所以，.18.【答案】（1）480（2）360（3）216（4）12【解析】【分析】（1）先将4位学生全排列，再将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，由分步计数原理计算可得答案；（2）将6人全排列，而甲在乙左边与甲在乙右边的情况数目相同，即可求得答案；（3）分2种情况讨论：①最左端排甲，其余任意排，②最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，由加法原理计算可得答案；（4）先排列两位老师有两种方法，再将四位学生分成两组即可，最后按照分步计数原理计算可得答案.【小问1详解】根据题意，先将4位学生全排列，再将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，故有种排法；【小问2详解】根据题意，将6人排成一排，有种排法，甲在乙左边与甲在乙右边的情况数目相同，则甲在乙左边的排法有种；【小问3详解】根据题意，分2种情况讨论：最左端排甲，其余任意排，有种，最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，有种，故有种排法；【小问4详解】两位老师排列有两种方法，由于两端学生按身高排列，相当于顺序固定，故四位学生分两组共有种，所以共有种.19.【答案】（1）12 （2）【解析】【分析】（1）①②根据所选条件得到方程组，求出与，即可求出通项公式；③根据，计算可得；（2）利用分组求和法与裂项相消法求和即可；【小问1详解】解：若选①，，则，解得，所以；若选②，，则，解得，所以；若选③，当时，当时，所以，当时也成立，所以【小问2详解】解：因为，所以，所以所以20.【答案】（1）12 （2）【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出，可知满足，可得出，再利用可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得.【小问1详解】解：由，点在斜率为的直线上，知，即.当时，也符合上式，故.当时，；也满足上式，故.【小问2详解】解：.则，所以，，上式下式得，因此，.21.【答案】（1）f（x）的增区间为，减区间为；（2）（﹣∞，1].【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，12 （2）在当x∈（0，+∞）时恒成立，得α⩽ex−−在（0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）＝ex−−，则，再构造函数h（x）＝x2ex+lnx，利用导数可判断出h（x）在（0，+∞）上单调递增，再由零点存在性定理可得存在x0∈（，1），使得h（x0）＝0，从而可判断出当x＝x0时，g（x）取得极小值，也是最小值，进而可求出实数α的取值范围【详解】（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当α＝1时，f（x）＝﹣x2﹣x+lnx，＝﹣2x﹣1+＝，令＞0，解得：0＜x＜，令＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，即f（x）的增区间为，减区间为；（2）f（x）⩽x（ex−αx−2−）恒成立，即xex﹣1⩾lnx+αx在（0，+∞）上恒成立，即α⩽ex−−在（0，+∞）上恒成立.令g（x）＝ex−−，则，令h（x）＝x2ex+lnx，则h′（x）＝2xex+x2ex+＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＝e＞0，h（）＝−1＜0，故存在x0∈（，1），使得h（x0）＝0，即ex0+lnx0＝0，所以x0ex0＝−lnx0＝ln＝ln•，令λ（x）＝xex，x∈（0，+∞），λ′（x）＝（x+1）ex＞0，所以λ（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x0＝ln＝−lnx0，12 当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，故g（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以当x＝x0时，g（x）取得极小值，也是最小值，所以故α⩽1，所以α的取值范围为（﹣∞，1].22.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将代入，可得等价于，即，令，求出，可得的最小值，可得证；（2）分，三种情况讨论，分别对求导，其中又分①若②③三种情况，利用函数的零点存在定理可得a的取值范围.【详解】解：（1）当时，等价于，即；设函数，则，当时，；当时，．所以在上单调递减，在单调递增．故为的最小值，而，故，即．（2），设函数，则；（i）当时，，在上单调递增，又，取b满足且，则，故在上有唯一一个零点，12 且当时，，时，，由于，所以是的唯一极值点；（ii）当时，在上单调递增，无极值点；（iii）当时，若时，；若时，．所以在上单调递减，在单调递增．故为的最小值，①若时，由于，故只有一个零点，所以时，因此在上单调递增，故不存在极值；②若时，由于，即，所以，因此在上单调递增，故不存在极值；③若时，，即．又，且，而由（1）知，所以，取c满足，则故在有唯一一个零点，在有唯一一个零点；且当时，当时，，当时，由于，故在处取得极小值，在处取得极大值，即在上有两个极值点．综上，只有一个极值点时，取值范围是12 12