浙江省台州市2024届高三数学上学期第一次教学质量评估试题（PDF版附答案）

台州市2024届高三第一次教学质量评估试题数学2023.11命题：丁君斌（台州一中）王强（三门中学）审题：庄丰（玉环中学）本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A1,2,2,1，Bx,y|xy1，则AB（）A．2,1B．2,1C．1,2D．1,22．若coscos，则的取值可以为（）352A．B．C．D．636313．已知非零向量a，b，c满足ab，ca，若c为b在a上的投影向量，则向量a，b夹角的余弦值3为（）1111A．B．C．D．23454．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且a，b，则“a//b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A．288种B．360种C．480种D．504种6．函数yfx的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（） 11A．yf1xB．yf1x22C．yf42xD．yf42x7．已知二面角l的平面角为0，A，B，Cl，Dl，ABl，AB与平2S1面所成角为．记△ACD的面积为S，△BCD的面积为S，则的最小值为（）126S231A．2B．3C．D．221238．已知atan，btan，c，则（）2A．acbB．cabC．abcD．bca二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A．可能取到数字4B．中位数可能是2C．极差可能是4D．众数可能是210．已知等差数列a中，a，公差为，btana，记S为数列a的前n项和，则下列说法正n1nnnn42确的是（）nA．b1nn111B．bbbb123n2n11nC．若cab，则ccccnnn123n4 22nnD．若dbS，则ddddnnn1232n422xy11．已知A为双曲线C：1上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A169关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（）A．若AB10，则AFBFB．若AFBF，则△ABF的面积为9AFC．2D．AFAM的最小值为8AM12．已知gx是定义域为R的函数fx的导函数，f01，f10，gxg2x0，fxgx0，则下列说法正确的是（）x11A．f21B．f3（e为自然对数的底数，e2.71828）eC．存在xR，fx0D．若x0,1，则fx0,10000非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。113．若z2i（i为虚数单位），则z______．214．浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学玟分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为1:1:2，现从这三所学玟中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为______．15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c．若角A为锐角，b3，c4，则△ABC的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）16．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过2抛物线C：y4x上的点P（不为原点）作C的切线l，过坐标原点O作OQl，垂足为Q，直线PF（F为抛物线的焦点）与直线OQ交于点T，点A0,2，则TA的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。*17．已知等比数列a的各项均为正数，前n项和为S，若aa12anN，S121．nnn1n2n5（Ⅰ）求数列a的通项公式；n（Ⅱ）若balna，求数列b的前n项和T．nnnnn 18．已知fxsinxsinxcosxR．（Ⅰ）当0时，求fx的最小正周期以及单调递减区间；（Ⅱ）当2时，求fx的值域．19．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB4，ADAE2．将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置．（第19题）（Ⅰ）若平面APE平面ABCE，求证：APBE；33（Ⅱ）若点A到直线PC的距离为，求二面角PAEB的平面角的余弦值．320．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绕（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108（Ⅰ）请根据所给数据求出x，y的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数55学成绩：（参考数据：xiyi22820，yi435，xi的方差为200）i1i1（Ⅱ）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220nxixyiynadbc2附：bˆi1，aˆybˆx．2．n2abcdacbdxixi1 0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282x221．已知椭圆Γ：y1a1的上、下顶点分别为A，B，点Q在线段AB上运动（不含端点），点2aP1,0，直线PQ与椭圆交于C，D两点（点C在点P左侧），PD中点M的轨迹交y轴于E，F两点，3且EF．2（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）记直线AC，AD的斜率分别为k，k，求kk的最小值．1212x22．设fxlnx2x（Ⅰ）求证：fx；x12（Ⅱ）若fxnln1x恒成立，求整数n的最大值．（参考数据ln20.693，ln31.099） 台州市2024届高三第一次教学质量评估试题数学参考答案及评分标准2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．C3．B4．A5．C6．A7．D8．A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BD10．BCD11．ABD12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。34713．14．15．9（答案不唯一，8,12内的任何一个值均可）28016．51,51四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）2解：（Ⅰ）设a的公比为qq0，依题意得：aqaq12a，nnnn2即qq120，解得q3或q4（舍去）．5a113n1n1又由S121，解得a1，故aaq3；51n113n1（Ⅱ）因为b3n1ln3，n012n1所以Tbbbb3333123n1ln3n123nnn13n1n31n1nln3ln3．132218．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当0时，fxsinxcosx2sinx，435令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，242445所以函数fx的最小正周期为2，单调递减区间为2k,2kkZ．442（Ⅱ）设sinxcosxt2t2，则sin2xt1， 2215令gttt1，t2,2，又gtt，2415故当t2时，gt取得最大值12，当t时，gt取得最小值，245所以fx的值域为,12．419．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且△ADE为等边三角形，所以BCE120．又E为CD的中点，所以CEEDDACB，所以△BCE为等腰三角形，故CEB30，所以AEB180AEDBCE90，即BEAE因为平面APE平面ABCE，平面APE平面ABCEAE，BE平面ABCE，所以BE平面APE，又AP平面APE，所以APBE．（Ⅱ）取AE的中点O，连接PO，因为△APE为等边三角形，所以POAE，取AB的中点G，则OG//BE，由（Ⅰ）得BEAE，所以OGAE，所以POG即为二面角PAEB的平面角，记为．以点O为坐标原点，以OA，OG，OZ所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A1,0,0，C2,3,0，P0,3cos,3sin，PA1,3cos,3sin；PC2,33cos,3sin，222PAPC13cos所以点A到直线PC的距离为AP4，PC106cos213cos3317由4，解得cos，或cos，106cos33917所以二面角PAEB的平面角的余弦值为或．3920．（本小题满分12分）3040506070解：（Ⅰ）x50，5 435152y87，又xi，i1,2,3,,5的方差为xix200，55i155xixyiyxiyi5xy2282055087所以bˆi1i11.07，5252001000xixi1aˆybˆx871.075033.5，故yˆ1.07x33.5，当x100时，y140.5，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．（Ⅱ）零假设为H：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．0根据数据，计算得到：222nadbc22025130353011012.22，abcdacbd16555601609因为12.2210.828，所以依据0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设PD中点Mx,y，则D2x1,2y，00001a1因为点Q在线段AB上，可得02x1a，即x，002222x22x012由点D在椭圆Γ：y1上，所以4y1，220aa21132x2令x0，得y1，由2y，解得a4，故椭圆Γ的方程为y1．00202a24（Ⅱ）设CD：ykx1，k1，Cx,y，Dx,y．1122ykx124k2122228k由2得4k1x8kx4k10，xx，xx，x2124k21124k21y14y1kxk1k1k111又kk，kk，12xxxx1112264k416k1224k214k1211xx3k121k1k2k1k1k12，x1x2x1x24k1k124k1 223t6t4113令tk10,2，得kk463，12ttt2413当t即k时取等号，所以kk的最小值为．1233222．（本小题满分12分）2xx解：（Ⅰ）要证：，（x0，x1），lnxx11xx11只要证：，因为与lnx同号，只要证：lnx1，即证：lnx10．lnxx1x1xx111x1令gxlnx1，（x0，x1），gx，22xxxx由gx0，得x1，所以gx在0,1上递减，在1,上递增，所以gxg10，故原不等式得证．11（Ⅱ）因为x0,1，当x时，有nln32ln2，22ln2111则n2,3，所以整数n2．22ln2ln3ln221.3861.0990.69320.2870.693222x当n2时，由（Ⅰ）可得2ln1x，2x12x2x11下证：，x0,1，只要证：lnxx．2lnxx12x1令hx2lnxx，x0,1，x2221x2x1x1因为hx10，222xxxx所以hx在0,1上单调递减，故hxh10，所以得证．综上所述，整数n的最大值为2．