天津市静海区第一中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

静海一中2023-2024第一学期高三数学（10月）学生学业能力调研试卷第Ⅰ卷基础题（共132分）一、选择题：每小题5分，共45分.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求解出集合，再求出，再由交集定义得出结果.【详解】解：因为，所以，所以，故.故选：B.2.已知a，b为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项.【详解】因为，如果b是负数，则是虚数，与无法比较大小，即由不可推出，因为，取，，则，即由不可推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.3.已知函数，则（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】分析】先对函数求导后，然后令可求得结果.【详解】由题意知，所以，解得.故选：D.4.函数在上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据的奇偶性排除B，根据时的取值排除A，D.【详解】当时，，所以为奇函数，排除B，选项C满足；当时，，当时，，排除A，D，选项C满足．故选：C．5.已知函数，，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得出是偶函数且在上单调递增，因为，，再结合的单调性即可得出答案.【详解】因为的定义域为，，所以是偶函数，因为当，，则在上单调递增，，，，因为，，，所以，因为在上单调递增，所以，则.故选：D.6.（）A.6B.8C.9D.7【答案】A【解析】【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值.【详解】解：.故选：A.7.已知函数的图象关于点中心对称，则（）A.在区间单调递减 B.在区间内有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数【答案】A【解析】【分析】先根据正弦函数的对称性求出，再根据正弦函数的单调性和对称性即可判断AC；根据极值点的定义即可判断B；根据平移变换的原则即可判断D.【详解】因为函数的图象关于点中心对称，所以，则，又，所以，所以，对于A，由，得，所以在区间单调递减，故A正确；对于B，由，得，所以在区间内有一个极值点，故B错误；对于C，由，所以直线不是曲线的对称轴，故C错误；对于D，函数的图象向右平移个单位长度得 ，故D错误.故选：A.8.已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型函数的性质及区间零点个数求参数范围即可.【详解】，在上，，即有且仅有1个零点，所以，则.故选：D9.已知函数若关于的方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数研究时的单调性，画出的大致图象，根据图象以及“个不同的实根”列不等式，由此求得的取值范围.【详解】当时，，此时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，，，作出的图象，如图所示，，即与共六个不等实根，由图可知时，或，即有两个根，若使与共六个不等实根，只需满足，即.故选：D【点睛】方法点睛：研究方程的根的问题，可转化为图象交点个数来进行研究.要画函数的图象，除了基本初等函数的图象外，需要利用图象变换的知识进行作图，有的题目需要利用导数研究函数的单调性，再根据单调性来画出函数的图象.二、填空题：每小题5分，共30分.10.若复数满足，则复数的虚部为_______．【答案】1【解析】【分析】设，代入中化简可求得结果【详解】设，则，由，得，所以，所以，得，所以复数的虚部为1． 故答案为：1.11.已知向量，，则______；向量在向量的投影向量是______．【答案】①.②.【解析】【分析】由平面向量模的计算公式和投影向量公式可解.【详解】由题意，，所以，向量在向量的投影向量是.故答案为：，12.函数，当x=__________时，的最大值为_________.【答案】①.②.3【解析】【分析】先将函数转化为的形式，然后利用三角函数的性质解决问题.【详解】解：，当时，则，所以，所以当时，即时，.13.已知平面内三个向量，，，若，则k=____________. 【答案】【解析】【分析】先表示出，再由平行向量的坐标表示求解即可.【详解】因为，，，，，因为，所以，所以，解得：.故答案为：14.设，若，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由已知可解得，根据换底公式可得，根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.【详解】因为，所以，又，所以.因为，根据基本不等式有，当且仅当，即时等号成立，所以.则， 所以的最大值为.故答案为：.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______.【答案】【解析】【分析】由图，设此山高为，后利用几何知识结合正弦定理可得答案.【详解】设此山高为，则，在中，.则在中，利用正弦定理则有.解得：故答案为：三、解答题：（本大题共4小题，共57分）16.（1）在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；（2）在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值；（3）请同学们辨析总结解决平面向量数量积问题中，若选择坐标法解决，在建系时应注意什么？【答案】（1） （2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）先根据题意解出的值，将转化为，求出的最小值即可解决问题；（2）用表示出向量，借助余弦定理求解出最值；（3）观察图形特点，充分挖掘图形的几何特征，合理建系，便于确定图形中的点的坐标.【详解】（1）由题意知，得，于是.取的中点，连接DE，如图所示，根据极化恒等式有，因此要求的最小值，就是要求的最小值，当时，最小，此时过点A作BC的垂线AF，垂足为，如图所示，则.所以的最小值为；  （2）设，因为，则，由图可得，， 所以，即，即.因为点为的中点，所以，于是.记，则，在中，由余弦定理得，，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值；（3）观察图形特点，充分挖掘图形的几何特征，合理建系，便于确定图形中的点的坐标.17.已知向量，，，设函数.（1）求函数的单调递增区间； （2）设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先借助三角变换知识求出函数的表达式，然后根据三角函数的性质求出结果；（2）先求出的值，由面积得出的值，再根据余弦定理得出结果.【小问1详解】解：，，，令，，解得，，的单调递增区间是，；【小问2详解】由（1）知，，，即，，，，的面积为，，解得，， 由余弦定理得，，，，综上所述，.18.已知函数.（1）若是函数的极值点，①求在处切线方程；②求在区间上的最值；（2）若，恒成立，求实数a取值范围.【答案】（1）①；②最小值，最大值为（2）【解析】【分析】（1）①先利用极值点求出参数值，进而得到斜率，根据点斜式公式得到切线方程；②先求出函数的单调性，进而解出最值；（2）先进行分离变量，求出新函数的最值，进而得出结果.【小问1详解】解：由函数，可得，因为已知是函数的极值点，所以1是方程的根，可得，解得，故，经检验符合题意，故.①因为，所以，，所以切线方程为； ②因为，所以当时；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又由，，，且，所以在区间上的最小值为，最大值为.【小问2详解】因为恒成立，即恒成立，则恒成立，所以恒成立，记，则，令，得，令，得，令，得，列表如下：↗↘所以函数的极大值也是最大值为，由恒成立得，所以.19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求的值；（2）若，（i）求的值；（ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）（i）（ⅱ）【解析】【分析】（1）先将化简得到，进而根据正弦定理得到；（2）（i）由角的余弦定理可解得；（ⅱ）先求出，，根据两角和差公式得出结果.【小问1详解】由，且C是三角形的内角，则，因为，所以，即，由正弦定理得，所以；【小问2详解】（i）由余弦定理得，即，解得或（舍去），故；（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，所以，， 所以.第Ⅱ卷提高题（共15分）20.设函数.（1）当时，若函数在其定义域内单调递增.求b的取值范围；（2）若，，证明：时，；（3）若有两个零点，，且，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得对恒成立，即只需，由基本不等式求即可；（2）要证时，，即证，令，对求导，得到单调性和最值，即可证明；（3）由有两个零点，可得，两式相减化简可得，再求得，令，则令，求出的单调性和最值，即可证明.【小问1详解】依题意：，在上递增，对恒成立，即对恒成立，只需 ，，当且仅当时取等号，，的取值范围是；【小问2详解】要证时，，即证，令且，则，所以在上递增，则，即.所以时，.【小问3详解】证明：由已知得，即，两式相减得：，即，由，得，令，则令，则，是上的减函数，，所以，又，，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；