山东省潍坊市2023-2024学年高三10月联考数学试题（Word版附解析）

2024届高三上学期10月份阶段性测试题数学试题注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出集合，再由交集与补集的定义求解即可.【详解】由题意，或，则，故.故选：A.2.设，，分别是的三条边，且.则“”是“为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.详解】由题意可知，-21- 若，则，所以，所以为钝角三角形，充分性满足；若为钝角三角形，由，则，即，所以，必要性满足.所以“”是“为钝角三角形”的充要条件.故选：C3.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较，，与的大小关系即可得正确选项.【详解】，，，所以，故选：D.4.已知，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把待求式中“1”用替换，然后用基本不等式求得最小值．【详解】因为，，，-21- 所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：C．5.设为所在平面内一点，，为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知即可求解.【详解】解：因为，为的中点，所以，故选：A.6.曲线在处的切线的倾斜角为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.-21- 【详解】，当时，，所以，由万能公式得：所以故选：B7.已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意问题可转化为方程在上有解，令，，求出的值域即可得的取值范围.【详解】依题意可知，方程在上有解，即上有解，令，，则，时，时，所以上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，-21- 又，，则的最大值为，所以的值域为，即可得的取值范围是.故选：C8.设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性求出，再利用的对称性和奇函数性质求解即可.【详解】因为是定义域的奇函数，所以，，因为当，，所以，从而，因为是偶函数，即的图像关于轴对称，因为图像是图像向左平移一个单位得到的，所以的图像关于对称，故，因为，所以，因为，，所以.故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的给0分）-21- 9.下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.【详解】对于选项A，因为在上单调递减，所以上单调递减，故A错；对于选项B，结合的图象性质，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，故B正确；对于选项C，结合的图象性质，易知没有周期性，故C错；对于选项D，令，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，因也是单调递增的，所以是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.故选：BD.10.下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.已知，，且，则D.已知，，且，则-21- 【答案】BC【解析】【分析】A选项做差法即可比较大小从而得出结果；B选项结合均值不等式即可判断；C选项结合二次不等式的恒成立问题即可判断；D选项举出反例即可说明.【详解】A因为，，则，即，故A错误；B因为，，则当且仅当时等号成立，故B正确；C因为，则，当时等号成立，故C正确；D当时，满足，，且，但，故D错误.故选：BC.11.设函数，若在有且仅有5个极值点，则（）A.在有且仅有3个极大值点B.在有且仅有4个零点C.的取值范围是D.在上单调递增【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的极值点（也即最值点）的性质，求出极值点，然后根据条件，结合图像列出关于的不等式组，解出的范围，然后再逐一判断每个选项.【详解】作出的草图如下：-21- 的极值点满足，即，因为在有且仅有5个极值点，所以，则需，且，解得，故C错误；因为，则由图可知时，是在上的第一个极大值点，根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，时是的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A正确；如图可知，在点之前已有4个零点，也可能落在点的右侧，从而使在上有5个零点，故B错误；当时，的周期最小，此时第一个极大值点为，而在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：AD12.关于函数，，下列说法正确的是（）A.对，恒成立B.对，恒成立C.函数的最小值为D.若不等式对恒成立，则正实数的最小值为【答案】ABD-21- 【解析】【分析】利用导数证明恒成立，判断A，A中不等式绝对值变形的转换可判断B，利用导数求出函数的最小值判断C，把不等式进行变形转化为不等式恒成立，然后求得的范围判断D．【详解】设，，时，，递减，时，，递增，所以，所以，即恒成立，A正确；在中令，则，，，再令得，B正确；设，定义域为，，定义域内恒成立，令是增函数，，，所以在即在上存在唯一零点，，，时，，即，递减，时，，即，递增，所以，C错；不等式为，，，所以，即，令，则，时，，递减，时，，递增，，-21- 因为，所以，因此不等式恒成立，则恒成立，，即，设，，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即的最小值是，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，.若，则________.【答案】【解析】【分析】根据求解即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：14.已知，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦二倍角公式结合诱导公式即可求解.【详解】因为，所以-21- .故答案为：15.已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】画出的图象，数形结合解决问题【详解】有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意故答案为：16.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围________.【答案】【解析】【分析】首先求导，根据题意得到，恒成立，再利用导数求解最值即可得到答案.【详解】，，因为函数在上单调递增，-21- 所以，恒成立，即，恒成立，设，，，，为减函数，，，为增函数，所以，即.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.（2）根据三角函数的单调性即可求解.小问1详解】-21- ，，解得，所以函数的单调递增区间为【小问2详解】由（1），解得函数的单调递减区间为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，，所以函数的最大值为.18.在中，内角，，所对的边长分别为，，，是1和的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若边上的中线长为，，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根据是1和的等差中项得到，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到，从而得出，即可求出角；-21- （Ⅱ）设中线交于，则，由余弦定理求得，再由求得，最后根据三角形的面积公式，进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意及正弦定理得，所以，化简得，因为，所以，而在中，，所以；（Ⅱ）设中线交于，则，由余弦定理得，即，化简得，因为，所以，所以．19.首届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本万元，每生产一箱需另投入元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒-21- 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万箱）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.【解析】【分析】（1）分和两种情况列出解析式即可；（2）分别结合二次函数在某区间上的最值以及利用均值不等式求出最值，进而比较即可求出结果.【小问1详解】当时，，所以，当时，；所以，因此；【小问2详解】由（1）知当时，，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，因此当时；当时，-21- ，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.20.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.（1）求；（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.【小问1详解】选①，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以，又因为，所以，-21- 所以，解得.②，由正弦定理可得，即，整理可得，又因为，解得，因为，所以.③，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.【小问2详解】，解得，由余弦定理可得，所以，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为.21.已知函数.-21- （1）讨论函数的单调性；（2）证明不等式恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，即得证.【详解】（1），当时，，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，，单调递增，当，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）设函数，则，可知在上单调递增.又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，结合，知，-21- 所以，则，即不等式恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明的最小值大于0.22.已知函数，其中为正实数.（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线方程即可求解；（2）当时，成立，所以；当时，，令，，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，然后利用求出即可得答案.【小问1详解】解：当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即，设切线与两坐标轴交点为，所以；-21- 【小问2详解】解：由题意，当时，即恒成立，当时，成立，所以；当时，因为，所以恒成立，即，令，，则，令，，则，，令，，由二次函数的知识有在上单调递减，因为，，所以存在使得，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，所以存在，使得，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，-21- 所以，即，所以在上单调递减，所以，所以，综上，的取值范围为.-21-