江苏省南师大灌云附中、灌南二中2023-2024学年高三数学上学期10月阶段性联考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.是虚数单位，复数A.B.C.D.3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.B.C.D.14.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b5.函数y=的图象可能是A.B. C.D.6若，则A.B.C.1D.7.已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14B.12C.6D.38.当时，函数取得最大值，则（）A.B.C.D.1二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名10.已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A. B.函数在上为增函数C.直线是函数图象的一条对称轴D.点是函数图象的一个对称中心11.已知，，且，则下列结论正确的是（）A.ab最大值为B.的最小值为4C.的最大值为1D.的最小值为312.设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（）AB.C.D.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.15.过三点，，圆的方程是______．16.已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率等于________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求面积的最大值．18.如图，直三棱柱中，分别是的中点，．（1）证明：平面；（2）求锐二面角的余弦值． 19.设为数列的前项和.已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20.设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，点，为C的左，右顶点．P为直线上的动点，与C的另一个交点为M，与C的另一个交点为N．（1）求C的方程；（2）证明：直线MN过定点．22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论．【详解】，，，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础．2.是虚数单位，复数A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，故选A．考点：复数的运算． 3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】由从共有15个球中任取2个球，共有种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法，所以概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5.函数y=的图象可能是 A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.若，则A.B.C.1D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.8.当时，函数取得最大值，则（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在 上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名【答案】AC【解析】【分析】A选项，利用扇形图的数据得到及格率，B选项先求出满分所占百分比，进而求出满分学生人数；C选项，求出中位数和平均数，比出大小；D选项先求出抽取的学生成绩优秀率，再估算出数学史知识测试成绩能得优秀的同学人数【详解】由图知，及格率为，故A正确．该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误．由图知，中位数为80分，平均数为分，故C正确．由题意，1500名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误．故选：AC10.已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（） A.B.函数在上增函数C.直线是函数图象的一条对称轴D.点是函数图象的一个对称中心【答案】ABD【解析】【分析】先根据降幂公式和辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性求出，再根据正弦函数的单调性和对称性逐一判断即可.【详解】，则，所以，故A正确；所以，因为，所以，所以函数在上为增函数，故B正确；因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；因为，所以点是函数图象的一个对称中心，故D正确.故选：ABD.11.已知，，且，则下列结论正确的是（）A.ab的最大值为B.的最小值为4 C.的最大值为1D.的最小值为3【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式即可判断AC；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断BD.【详解】对于A，因为，，且，所以，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为，故A正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，故B正确；对于C，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，的最大值为，故C错误；对于D，由，得，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为3，故D正确.故选：ABD. 12.设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程.【详解】因为抛物线C的方程为，所以焦点，设，由抛物线的性质知，得．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，代入抛物线方程，得，解得或．所以抛物线C的方程为或．故选：AC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以． 故答案：．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】求出球的半径即可.【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，所以球的直径为正方体的对角线，所以，所以，故球的表面积：.故答案为：.15.过三点，，的圆的方程是______．【答案】【解析】【分析】根据圆心经过弦的中垂线可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可【详解】由题，设，，，则的中垂线方程为，又和的中点为，且直线的斜率为，故直线的中垂线斜率为1，故直线的中垂线方程为，即，故圆心的坐标为与的交点，半径，故圆的方程为故答案为：16.已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率等于________．【答案】## 【解析】【分析】将代入双曲线方程可求，将代入双曲线可求，根据，得出的齐次式，从而可求离心率.【详解】将代入，得，即，解得，所以，将代入，得，即，解得，所以，因为，所以，即，所以，所以双曲线C的离心率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形得内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再结合三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，又，所以，即，又，则，所以，又因，所以；【小问2详解】由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，即面积的最大值为．18.如图，直三棱柱中，分别是的中点，． （1）证明：平面；（2）求锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理证得，再利用线面平行的判定定理即可证得；（2）易证，建立空间直角坐标系，分别求出面的法向量与面的法向量，进而求出，故得到锐二面角的余弦值.【小问1详解】连结,交于点，连结，因为在直三棱柱中，面是矩形，则为的中点，又因为为的中点，所以，又因为平面,平面,所以平面；【小问2详解】由，可知,以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，,,,，设是平面的法向量，则，即，可取；同理，设是平面的法向量，则，即，可取，从而，所以锐二面角的余弦值为.19.设为数列的前项和.已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】【详解】分析：（1）利用与关系式即可求出；（2）裂项相消法求和.详解：（1）由，知.两式相减，得 ，即.因为，所以.又因为，解得（舍去）或.所以是首项为2，公差为2的等差数列，通项公式为.（2）由可知.∴.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．20.设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】(1)f(x)＝x＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解　f′(x)＝a－，解得或因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线 方程为y－＝[1－](x－x0)．令x＝1，得y＝，切线与直线x＝1的交点为(1,)；令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，点，为C的左，右顶点．P为直线上的动点，与C的另一个交点为M，与C的另一个交点为N．（1）求C方程；（2）证明：直线MN过定点．【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得，即可得到C的方程；（2）根据题意，分别得到的坐标，然后分直线的斜率存在以及不存在分别讨论，即可得到结果.【小问1详解】由题意可设双曲线方程为，左焦点为，则，离心率为，则，则，，则C的方程为.【小问2详解】 因为点，为C的左，右顶点，P为直线上的动点，所以，设，，则直线的方程为，联立直线与双曲线的方程可得，消去可得，方程两根为，由韦达定理可得，所以，，即；设直线方程为，联立直线与双曲线的方程可得，消去可得，方程两根为，由韦达定理可得，则，，即；由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 当直线的斜率不存在时，，可得，此时，，则直线经过点，当时，，，所以三点共线，即直线经过点.综上，直线经过定点.22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，根据和分类讨论．【详解】解：（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知的分布列为200300500 0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则2n；若最高气温位于区间，则1200-2n；若最高气温低于20，则=800-2n因此当00时，若最高气温不低于20，则2n，若最高气温低于20，则=800-2n，因此160+1.2n所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．