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安徽省合肥市第四中学2023-2024学年高三数学上学期学情调研与诊断(三)试题(Word版附解析)
安徽省合肥市第四中学2023-2024学年高三数学上学期学情调研与诊断(三)试题(Word版附解析)
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合肥四中高三学情调研与诊断(三)数学试卷一、选择题(共8小题)1.已知全集,集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合,再由交集,补集,并集的定义判断A,C,D;由集合间的关系判断B.【详解】由,则,解得:,所以,由可得,即,则,解得:,故,故B错误;故A或,故A错误;或,,故C正确;,故D错误.故选:C.2.若“,使成立”是假命题,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先将条件转化为,使成立,再参变分离构造函数,转化为最值问题,求导确定最值即可求解. 【详解】若“,使成立”是假命题,则“,使成立”是真命题,即,;令,则,则在上单增,,则.故选:C.3.已知函数的部分图像大致为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出的定义域可排除A;证明是奇函数可排除B;当且趋近于时,可排C,进而可得正确选项.【详解】的定义域为,故排除选项A;定义域为,关于原点对称,,所以是奇函数,图象关于原点对称,故排除选项B; 当且趋近于时,,故排除选项C,故选:D4.某教学软件在刚发布时有100名教师用户,发布5天后有1000名教师用户,如果教师用户人数与天数t之间满足关系式:,其中为常数,是刚发布的时间,则教师用户超过30000名至少经过的天数为()(参考数据:)A.11B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】根据题意,列出方程组求得,由不等式,结合对数的预算性质,即可求解.【详解】由题意得,可得,所以,则,故,所以教师用户超过20000名至少经过天.故选:C5.,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数,通过求导判断单调性,比较出b和c的大小;再找中间值和,通过构造函数,证明,判断,构造函数,通过单调性判断,于是证明,即可求得a、b、c的大小关系. 【详解】令则,显然即单调递减,所以,即,.令则,即在上单调递增所以,即,所以令则当时,,即在上单调递增又,所以当时,所以,即即,又,所以,即.综上:.故选:C.6.已知函数,给出下面三个结论:①函数f(x)没有最大值,而有最小值;②函数f(x)在区间上不存在零点,也不存在极值点;③设,则,其中,所有正确结论的序号是()A.①③B.①②C.②③D.①②③【答案】B【解析】 【分析】把函数看作点与点连线的斜率,结合函数的图象和导数的几何意义判断①;由函数,求导,利用导数法判断②③.【详解】因为函数可看作点与点连线的斜率,如图所示:函数在(0,0)处的切线的斜率为,则,所以,故f(x)无最大值,当时,过原点,作的切线,y轴右侧的第一个切点为,则,所以f(x)有最小值,故①正确;因为函数,所以,令,则,当时,,则在上递减,所以,即,所以在上递减,又故②正确③错误,故选:B7.已知△ABC满足,,则△ABC面积的最大值为() A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设,利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为,根据的范围即可讨论最大面积.【详解】设,所以,又由余弦定理得,所以,由三角形的三边关系可得解得,所以当时,面积有最大值为,故选:B.8.设函数在区间上存在零点,则的最小值为()A.B.C.7D.【答案】B【解析】【分析】设t为在上的零点,可得,转化为点在直线上,根据的几何意义,可得,令,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得答案.【详解】设t为在上的零点,则,所以,即点直线, 又表示点到原点距离的平方,则,即,令,可得,因为,所以,可得在上为单调递增函数,所以当t=0,,所以,即最小值为.故选:B【点睛】解题的关键是根据的几何意义,将方程问题转化为求距离问题,再构造新函数,利用导数求解,分析、计算难度大,属难题.二.多选题(共4小题)9.函数的部分图象如图所示,则()A.B.图象的一条对称轴方程是C.图象的对称中心是, D.函数是偶函数【答案】BD【解析】【分析】首先根据题意得到,再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案.【详解】由函数的图象知:,所以;即,解得,所以,因为,所以,,即,,因为,所以,.对选项A,因为,故A错误.对选项B,,故B正确.对选项C,令,k∈Z,解得,,所以的对称中心是,,故C错误.对选项D,设,则的定义域为R,,所以为偶函数,故D正确.故选:BD10.已知是定义在R上的不恒为零的函数,对于任意都满足 ,则下列说法正确的是()A.B.C.是奇函数D.若,则【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法,可判断A项;令,可判断B项;令并结合奇函数的定义可判断C项;令可判断D项.【详解】因为,所以令,得,故A正确;令,得,所以,令,得,所以,故B错误;令,得,又,所以,所以函数是奇函数,故C正确;令,得,又,,所以,故D正确;故选:ACD.11.任取多组正数,通过大量计算得出结论:,当且仅当时,等号成立.若,根据上述结论判断的值可能是()A.B.C.5D.3【答案】BD【解析】【分析】利用已知结论求出的最大值进行判断,为此需凑出三个正数的和为定值.【详解】根据题意可得, 当且仅当,即时,等号成立.故的最大值为4.从而AC不可能,BD可以取.故选:BD.12.已知函数,若不等式对任意恒成立,则实数的取值可能是()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】令,得到,推得为偶函数,得到的图象关于对称,再利用导数求得当时,单调递增,当时,单调递减,把不等式转化为恒成立,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】由函数,令,则,可得,可得,所以为偶函数,即函数的图象关于对称,又由,令,可得,所以为单调递增函数,且,当时,,单调递增,即时,单调递增;当时,,单调递减,即时,单调递减,由不等式,可得,即所以不等式恒成立,即恒成立,所以解集为,所以且,解得,结合选项,可得BC适合.故选:BC. 【点睛】关键点睛:本题的关键是利用换元法设,从而得到,证明其为偶函数,则得到的图象关于对称,再结合其单调性即可得到不等式组,解出即可.三、填空题(共4小题).13.已知为锐角,,则__________.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案.【详解】由于为锐角,所以,,所以.故答案为:14.函数的定义域为,且,,,则__________.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件,探讨函数的周期,再结合求出即可求解作答.【详解】函数的定义域为,由,得,因此函数是以3为周期的周期函数,且,即,由,得,又,,从而 ,所以.故答案为:215.已知函数,若且,则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由且,可求得,则,然后构造函数,利用导数判断出函数在上单调递减,从而可求出的范围,进而可得的取值范围【详解】解:,因为且,所以,所以,所以,所以,所以,令,则,所以在上单调递减,所以,所以,所以的取值范围为,故答案为:16.已知函数,,若,,使成立,则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性,分别求得函数和的值域构成的集合,结合题意,得到 ,列出不等式组,即可求解.【详解】由题意,函数在为单调递减函数,可得,即函数的值域构成集合,又由函数在区间上单调递增,可得,即函数的值域构成集合,又由,,使成立,即,则满足,解得,即实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数,(1)若,,总有成立,故;(2)若,,有成立,故;(3)若,,有成立,故;(4)若,,有,则的值域是值域的子集.四、解答题(共6小题)17.计算求值:(1);(2)已知,均为锐角,,,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)发掘角关系再利用诱导公式,降幂公式化简求值即可. (2)先将用来表示,代入,利用两角和差公式求解即可.【小问1详解】【小问2详解】∵、都为锐角,∴,又,∴,,∴.18.为响应国家“降碳减排”号召,新能源汽车得到蓬勃发展,而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇,决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元,每生产台需要另投入成本(万元),当年产量不足45台时,万元,当年产量不少于45台时,万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元,经过市场分析,该企业生产新能源电池设备能全部售完.(1)求年利润(万元)关于年产量(台)的函数关系式;(2)年产量为多少台时,该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元?【答案】(1)(2)当年产量为49台时,该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大,最大为701万【解析】 【分析】(1)根据题目给出的函数解析式,利用收益减去成本,可得答案;(2)根据二次函数的性质以及基本不等式,可求得最值,可得答案.【小问1详解】当,时,;当,时,;综上所述:【小问2详解】当,时,,则当时,的最大值为650;当,时,(当且仅当,即时等号成立);∴当年产量为49台时,该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大,最大为701万.19.在中,角的对边分别为,向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)设的中点为,且,求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【详解】试题分析:(1)由向量共线可得到坐标间的关系,即三角形边角的关系式 ,结合余弦定理可求得的大小;(2)由正弦定理将边转化为三角形的内角表示,借助于三角函数单调性可求得最大值.解:(1)因为,所以.由正弦定理可得,即.由余弦定理可知.因为,所以.(2)设,则在中,由,可知.由正弦定理及,有,所以,所以,从而,由,可知,所以当,即时,取得最大值.点睛:本题是向量与解三角形的结合,解答题中的向量运算以坐标运算为主,在解三角形问题中常利用正弦定理实现边化角,利用三角函数性质求最值,利用余弦定理由边可求得角的大小.20.已知函数.(1)求的最小正周期和单调递减区间;(2)已知中,内角的对边分别为,若边的中线长为,求面积的最大值.【答案】(1)的最小正周期,的单调递减区间为;(2)【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换公式,化简得,再由三角函数的周期公式、正弦函数的肯定答案;(2)由函数解出,利用、余弦定理,结合基本不等式解出,由此利用三角形的面积公式可得答案.【小问1详解】 ,,故最小正周期,由,得,的单调递减区间为;【小问2详解】由(1)得,,即,,又,,,,当仅时取等号,面积,面积的最大值为.21.已知函数,.(1)若存在极值,求m的取值范围.(2)若关于x的不等式在区间上恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据题意,先求导,再对m进行分类讨论单调性,最后极值的概念求m的范围.(2))先讨论当时a的取值范围,再分离参数,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a的取值范围.【小问1详解】,定义域为,.当时,恒成立,所以在单调递增,不存在极值.当,令,解得,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以在存在一个极小值点,无极大值点.综上所述,m的取值范围为.【小问2详解】由题知原不等式,可化为,当时,恒成立,当时,,由(1)知当时,函数在处有最小值1,,即,因为,所以, 所以,即,因为,所以,综上所述,实数a的取值范围为.【点睛】该题考查导数的综合应用,属于难题,关于恒成立问题的方法如下:(1)若,恒成立,则只需.(2)若,恒成立,则只需.(3)若,恒成立,则只需.(4)若,恒成立,则只需.(5)若,恒成立,则只需.(6)若,恒成立,则只需.(7)若,恒成立,则只需.(8)若,恒成立,则只需.22.已知函数.(1)若,讨论的单调性.(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根.(i)求的取值范围;(ii)求证:.【答案】(1)在,上单调递增,在上单调递减(2)(i);(ii)证明见解析【解析】【分析】(1)求导后,根据的正负可确定的单调性; (2)(i)将问题转化为与有两个不同交点的问题,利用导数可求得的单调性和最值,从而得到的图象,采用数形结合的方式可确定的范围;(ii)设,根据:,,采用取对数、两式作差整理的方式可得,通过分析法可知只需证即可,令,构造函数,利用导数可求得单调性,从而得到,由此可证得结论.【小问1详解】当时,,则;令,解得:或,当时,;当时,;在,上单调递增,在上单调递减.【小问2详解】(i)由得:,恰有个正实数根,恰有个正实数根,令,则与有两个不同交点,,当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增,又,当从的右侧无限趋近于时,趋近于;当无限趋近于时,的增速远大于的增速,则趋近于; 则图象如下图所示,当时,与有两个不同交点,实数的取值范围为;(ii)由(i)知:,,,,,不妨设,则,要证,只需证,,,,则只需证,令,则只需证当时,恒成立,令, ,在上单调递增,,当时,恒成立,原不等式得证.
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高中 - 数学
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