浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

杭州二中2023学年第一学期高二年级期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线：与直线：互相垂直，则，解得或，所以由“”推得出“直线：与直线：互相垂直”，即充分性成立；由“直线：与直线：互相垂直”推不出“”，即必要性不成立，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A2.已知事件相互独立，，，则（）A.0.88B.0.9C.0.7D.0.72【答案】C【解析】【分析】根据事件相互独立得到，结合求出答案.【详解】因为事件相互独立，故，又，， 杭州二中2023学年第一学期高二年级期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线：与直线：互相垂直，则，解得或，所以由“”推得出“直线：与直线：互相垂直”，即充分性成立；由“直线：与直线：互相垂直”推不出“”，即必要性不成立，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A2.已知事件相互独立，，，则（）A.0.88B.0.9C.0.7D.0.72【答案】C【解析】【分析】根据事件相互独立得到，结合求出答案.【详解】因为事件相互独立，故，又，， 所以.故选：C3.过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆的焦点为或，设所求椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为.故选：D4.已知，则点O到平面的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量计算点面距离即可.【详解】由题意可知，设面的一个法向量为，则，取，即， 所以点O到平面的距离是.故选：B5.点在圆上运动，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，又表示圆上的点到直线的距离，求出圆心到直线的距离，从而求出的取值范围，即可求出的取值范围.【详解】圆的圆心为，半径，因为点在圆上运动，又，其中表示圆上的点到直线的距离，所以，又圆心到直线的距离，所以，即，所以故选：C6.如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可.【详解】依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，所以，即，所以，而，由二次函数的单调性可知，当时，，则.故选：B7.已知，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长可得中点的轨迹为，又根据直线，的方程可知，交点的轨迹方程为，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数的取值范围.【详解】圆，半径为，设中点为，且直线与圆的相交弦长为，即， 所以点的轨迹方程为，又直线过定点，直线过定点，且，则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上，则圆心，半径，所以点的轨迹方程为，由于直线的斜率存在，所以点的轨迹要除去点，若点恰为中点可知圆与圆有公共点，即，，即，解得，即，故选：A.8.已知动点分别在正四面体的内切球与外接球的球面上，且，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出正四面体的内切球与外接球的半径，求出范围，即可得出的最大值.【详解】由题意， 连接，设交点为，则点是中点设正方体边长为，由几何知识得，点到面距离即为，设内切球半径为，外接球半径为，三棱锥外接球半径，而由正三棱锥内切球半径公式，，取任意一点，使得，则点在面上，∴，点到面距离为，则∴,故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校随机抽取名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法正确的是（） A.众数或B.分位数为C.平均数为D.中位数为【答案】BC【解析】【分析】利用众数的概念直接可判断A，再根据平均数，中位数及百分位数公式可判断BCD.【详解】A选项：由频率分布直方图可知众数为，A选项错误；B选项：由频率分布直方图可得，所以分位数为，B选项正确；C选项：由频率分布直方图可知平均数为，C选项正确；D选项：由频率分布直方图可得，，所以中位数，所以，解得，D选项错误；故选：BC.10.已知点和直线,下列说法不正确的是（）A.经过点的直线都可以用方程表示B.直线在轴上的截距等于C.点关于直线的对称点坐标为D.直线关于点对称的直线方程为【答案】ABD【解析】【分析】当过点的直线斜率不存在时，方程为，可判断A选项，令可判断B选项，设点关 于直线的对称点为，根据对称的概念列方程，可判断C选项，设上一点，其对称点为，根据对称及点在直线上，可得直线方程，即可判断D选项.【详解】A选项：当过点的直线斜率不存在时，方程为，A选项错误；B选项：令，得，即，所以截距为，B选项错误；C选项：设点关于直线的对称点为，所以，解得，所以点关于直线的对称点坐标为，C选项正确；设上一点，其对称点为，则，即，又点在直线上，则，即，D选项错误；故选：ABD.11.如图,棱长为2的正方体中,E、F分别为棱的中点,G为面对角线上一个动点,则（）A.三棱锥的体积为定值B.点E到直线的距离为C.线段上存在点G,使得D.线段上不存在点G,使平面平面【答案】ACD 【解析】【分析】利用等体积法可判定A，建立合适的空间直角坐标系利用空间向量计算点线距离，线线与面面位置关系可判定B、C、D.【详解】由正方体的结构特征可知平面，故点G到平面距离不变，所以，又是定值，故A正确；如图所示，建立空间直角坐标系，则，所以，故点E到直线的距离，故B错误；设，则，，所以，即重合，故C正确；易知，设平面的一个法向量为，则，取，即而，则，故不存在使得，故D正确.故选：ACD12.已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是 （）A.若点P为椭圆上一点,则的最大值是B.若点的坐标为,P是椭圆上一动点,则线段长度的最小值为C.过F2作垂直于x轴的直线,交椭圆于A,B两点,则D.若椭圆上恰有6个不同的点,使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】A，结合三角形不等式即可；B，设出，，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值，B错误；；C，代入即可求；D，选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案；【详解】对A，，当在左顶点时等号成立，则最大值是，A正确；对B，设，，则，，，若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为； 若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为，综上：B错误；对C，当时，，解得，即，C正确；对D，如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为，显然上下顶点能够使得为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，则要满足，且，即，解得：，且，故椭圆的离心率的取值范围是，D正确；故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有________条.【答案】4【解析】【分析】分横纵截距为零和横纵截距不为零两种情况讨论即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，当横纵截距为零时，直线方程为，令，整理得，因为，所以方程有两个解，故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；当横纵截距不为零时，设直线方程为，令，解得或9，所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.故答案为：4.14.已知矩形，，沿对角线AC将折起，若，则二面角的余弦值为________．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.【详解】如图所示，过分别作，垂足分别为， 由矩形中，，可知，设二面角的平面角为，则，.故答案为：15.已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，椭圆上的点分别在第一､二象限内，若与的面积相等，且，则的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得，将点的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到关系，再根据离心率公式即可得到结果.【详解】因为与的面积相等，且，则，即，所以，将坐标代入，可得，化简可得，即，所以，且， 所以，即，则离心率为，故答案为:16.某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为，，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得，并且他填写的结果为直线与圆相交.若数组的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为________.【答案】##0.875【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系结合古典概型分类讨论计算即可.【详解】易知数组有种结果，若要直线与圆相交，需圆心到直线的距离，显然时，恒成立，若，①当，此时不符题意；②当，此时不符题意，当，此时不符题意；③当，此时不符题意，当，此时不符题意，当，取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为.故答案：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是空间中的三个单位向量,且,.若， ,.（1）求;（2）求和夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可.【小问1详解】由已知可得，所以；【小问2详解】由，所以和夹角的余弦值为.18.为调查高一、高二学生心理健康情况,某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分).经初步统计,参加测试的高一学生成绩的平均分,方差,高二学生成绩(i=1,2,…,40)的统计表如下:成绩y456789频数12915103（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；（2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分和方差.【答案】18.7，1.2；19.7.6，1.92. 【解析】【分析】（1）利用统计表计算平均数与方差即可；（2）根据分层抽样的平均数与方差公式计算即可.【小问1详解】由表可知，；【小问2详解】由已知及（1）可知，.19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】19.；20.事件A与事件B不互相独立，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证.小问1详解】重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：.【小问2详解】事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为，故至少收到一个正确信号的概率为；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，因为，所以事件A与事件B不互相独立.20.已知圆.（1）求过点且与圆相切的直线方程;（2）求经过直线与圆的交点,且面积最小的圆的方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由已知可得点在圆外，即有两条切线，当切线斜率存在时，设出切线方程，根据点到直线距离公式可得斜率与方程，当切线斜率不存在时，可判断直线与圆相切；（2）由已知可设圆的方程为，可得圆的半径，可知当时，取最小值为，此时面积最小为.【小问1详解】由得，圆心，半径，又到圆心距离为，所以点在圆外， 所以过点的切线共有两条，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线方程为，即，当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，综上所述，切线方程为或.【小问2详解】已知可设圆的方程为，即，则圆的半径，可知当时，取最小值为，此时面积最小为.21.如图，三棱台中，，，，点A在平面上的射影在的平分线上.（1）求证：；（2）若A到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；（2）利用棱台的特征补全棱锥，结合等体积法求点面距离，计算即可.【小问1详解】如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O点，得到棱锥，由题意可知分别是三条侧棱的中点，取的中点，连接，设A在底面的投影为M，连接，根据题意可知底面，且M在上，因为面，所以又，所以,而平面,所以面,因为面，所以；【小问2详解】过作底面，结合（1）可知N在上，且，在上，，结合题意可知：，则 在中，，所以，设到平面的距离为，与平面的夹角为，所以，解之得：，所以，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.22.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.（1）写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过且与平行的直线与曲线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得圆的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，求得，，，即可得到所求轨迹方程； （2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得，进而利用函数的性质即可求解.【小问1详解】圆的标准方程为，故半径因为，，故，所以，故，因此，由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．【小问2详解】设直线的方程为，则直线的方程为,联立直线与圆的方程，消元得，则则，联立直线与圆的方程，消元得， 由于点在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，不妨设，则，，，，，所以，令，则，令，则，由于函数的对称轴为，故在单调递减，故当时，取最小值，故，所以【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.