河南省南阳市六校2023-2024学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

2023—2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（）A．且B．且C．且D．且3．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（）A．B．C．D．5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．6．设，则（）A．B．C．D．7．已知函数，则（）A．是偶函数，且在区间和上单调递减 B．是偶函数，且在区间上单调递减C．是奇函数，且在区间上单调递减D．是奇函数，且在区间和上单调递减8．已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，则（）A．B．C．D．10．下列各组中两个函数是同一函数的是（）A．和B．和C．和D．和11．若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为1，则的解析式可以是（）A．B．C．D．12．已知，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合，则中元素的个数为______．14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______．15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 16．已知函数则满足的的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（12分）已知集合．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．19．（12分）已知函数且的图象经过点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）比较与的大小；（Ⅲ）求函数的值域．20．（12分）（Ⅰ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足．（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判断的单调性并用定义证明；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．2023-2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C命题意图本题考查集合的表示与运算．解析由题意可得，所以．2．答案B命题意图本题考查充分条件与必要条件的应用．解析选项A，C，D都既不是充分条件也不是必要条件，对于B，由且可得，反过来推不出，所以B符合条件．3．答案D命题意图本题考查不等式的解法．解析由于关于的不等式的解集是，所以则有且，则等价于，解得，即不等式的解集为．4．答案A命题意图本题考查幂函数和指数函数的性质．解析因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故．此时，当时，，即的图保过定点．5．答案C命题意图本题考查函数的定义域．解析要使函数有意义，则故或，所以的定义域为．6．答案A命题意图本题考查指数和对数的运算． 解析因为，所以．7．答案D命题意图本题考查函数的奇偶性和单调性．解析由题意得画出函数的大致图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，单调递减区间是．8．答案C命题意图本题考查偶函数的性质和不等式的解法．解析易知函数的定义域为，且为偶函数．当时，，易知此时单调递增，所以，所以，解得或．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案ABD命题意图本题考查不等式的性质．解析由，得，则，A成立；由两边同时乘以，不等号反向，得，B成立；由两边同时除以，得，C不成立；由可得，同除以，可得，D成立．10．答案BC命题意图本题考查函数的概念．解析A，D中函数的定义域不同．11．答案AD命题意图本题考查函数的图象与性质． 解析分别作出相应的图象，如图：对于A，容易看出的图象上存在两点与到直线的距离均为1，故A正确；对于B，的图象在直线上方的部分仅存在一点到直线的距离为1，在直线下方的部分满足，到直线的距离均小于1，故不存在符合条件的两点，故B错误；对于C，因为，故其图象上所有点到直线的距离均大于1，故C错误；对于D，利用几何知识可以算得点到直线的距离为，由指数函数的图象可知，在点的两边各存在一点到直线的距离为1，故D正确．12．答案ABD命题意图本题考查指数的运算性质．解析对于A，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故A正确；对于B，因为，又，所以，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，设，则，所以，故D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案4命题意图本题考查集合的概念和运算．解析因为，所以满足的自然数对有，即中的元素有4个．14．答案命题意图本题考查奇函数的概念． 解析设函数，则的最大值为，最小值为，容易判断是奇函数，所以，所以．15．答案命题意图本题考查函数的单调性．解析函数，由时，单调递减，得，解得．16．答案命题意图本题考查分段函数和不等式的解法．解析由题意知，当时，恒成立；当时，恒成立；当时，由，解得，所以．综上，的取值范围是．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查指数和对数的运算性质．解析（Ⅰ）原式．（Ⅱ）原式．18．命题意图本题考查集合的运算、充分条件与必要条件的判断．解析由得，故，由得，因为，故．（Ⅰ）若，则，所以．（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，则，则有解得，此时满足， 所以的取值范围是．19．命题意图本题考查指数函数的性质，函数与不等式的综合．解析（Ⅰ）因为的图象经过点，所以，又且，所以．（Ⅱ）因为，所以在上单调递增．又因为，所以，所以．（Ⅲ）当时，，所以，即，所以的值域为．20．命题意图本题考查一元二次不等式与二次函数．解析（Ⅰ）当时，显然，满足题意；若，显然满足题意；若，则需，解得．综上，实数的取值范围是．（Ⅱ）由题可知，当时，恒成立．因为，所以等价于．因为在区间上的最小值为，所以只需即可，所以实数的取值范围是． 21．命题意图本题考查函数模型的应用和二次函数的性质．解析（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，所以总收益为（万元）．（Ⅱ）设在甲城市投资万元，则在乙城市投资万元，总收益为，依题意得解得．故．令，则，所以，因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴，所以当，即时，取得最大值65，所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．22．命题意图本题考查函数的综合问题．解析（Ⅰ）因为在定义域上是奇函数，所以，所以．又由，可得，经检验知，当时，原函数是奇函数．（Ⅱ）由（I）知在上是增函数．证明：任取，设，则，因为，所以，又，所以，即，所以函数在上是增函数． （Ⅲ）因为是奇函数，所以不等式等价于，因为在上是增函数，所以，即对任意，都有成立．设，令，则有，所以，