四川省南充市阆中东风中学2023-2024学年高一数学上学期第一次段考试题（Word版附解析）

四川省阆中东风中学校2023-2024学年度上期高一年级第一次段考数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即得.【详解】集合，，则.故选：B2.已知命题：，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定为特称命题，写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：的否定为：：.故选A.3.函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由图象即可得到函数的单调增区间.【详解】根据图像易得单调增区间为，故选：C.4.已知，那么的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用作差法比较大小.【详解】解：，，．，．．故选：B．5.，，若，则的取值集合为　　A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合． 【详解】，，，，或，或或．的取值集合为．故选D．【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．6.已知,且满足,那么的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出结果.【详解】解：∵,且满足,那么.当且仅当时取等号.∴最小值为.故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用“乘1法”是基本不等式求最值中的重要方法,基本不等式的应用要 注意“一正二定三相等”.7.函数在上单调递减，则的范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次函数图象可知对称轴在区间的左侧时满足题意，解不等式可得.【详解】根据题意可知关于对称，且开口向下；若函数上单调递减，则，解得.故选：C8.已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件判断函数单调性，利用单调性列出限制条件可得答案.【详解】因为，所以函数为增函数，所以，解得.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）A.所有的正方形都是矩形B.有些梯形是平行四边形 C.，D.至少有一个整数，使得【答案】CD【解析】【分析】判断各选项中命题的类型，并判断出各命题的真假，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，命题“所有的正方形都是矩形”是全称量词命题，该命题为真命题，A不满足要求；对于B选项，命题“有些梯形是平行四边形”为存在量词命题，该命题为假命题，B不满足要求；对于C选项，命题“，”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，C满足要求；对于D选项，命题“至少有一个整数，使得”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，D满足要求.故选：CD.10.下列各组函数是同一函数的是（）A.和B.和C.和D.和【答案】AD【解析】【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.【详解】对于A,的定义域为,的定义域为,且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确;对于B,的定义域为,的定义域为,所以不是同一函数,故B错误;对于C，与对应关系不相同,故C错误; 且定义域为,定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确.故选:AD.11.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】对各选项逐一通过作差，不等式的性质或者举特例即可确定对应选项的正确性而得解.【详解】对于A，因，则，即，A正确；对于B，时，取，则，即不成立，B不正确；对于C：因，则，于是有，C正确；对于D，，当时，，即不成立，D不正确.所以说法正确的是只有选项AC.故选：AC12.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，能满足题意的是（）A.9.5mB.10.2mC.10.5mD.11m【答案】CD【解析】【分析】先设直角三角形的框架的两条直角边为，则，此时三角形框架的周长为，再根据基本不等式，求出周长的最小值即可得解．【详解】设直角三角形的框架的两条直角边为， 则，即，此时三角形框架的周长为，当且仅当时，取等号，因为，所以，所以在选项中4种长度的铁丝中，能满足题意的是CD.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.“”是“”的______条件．（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中的一个）【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念直接得出结果.【详解】由得或,所以“”是“”的不充分条件；若则为真命题，所以“”是“”的必要条件.综上可得，“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.14.已知函数，则______．【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式即得.【详解】因为，所以. 故答案为：.15.函数定义域是，则的定义域是______．【答案】【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.【详解】因为的定义域为，所以函数中，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.16.已知是定义在上的减函数，且，则的取值集合为___________.【答案】【解析】【分析】由函数单调性和定义域的要求可得自变量所满足的不等关系，解不等式求得结果.【详解】的定义域为，，解得：，又为定义域上的减函数且，，解得：，综上所述：取值集合为.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的单调性求解函数不等式的问题，易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列不等式的解集．（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，直接求解即可.【小问1详解】由，得，解得：或，故不等式的解集为：；小问2详解】由， 得，解得：或，故不等式的解集为.18.已知函数（且）．（1）求的值；（2）求证：是定值；【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数解析式将和代入计算可得；（2）将化简计算即可得出，即可证明是定值.【小问1详解】由可知， 代入计算可得；【小问2详解】证明：，（且）19.已知全集，，非空集合．（1）当时，求；（2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得到集合AB，再利用集合的补集和交集运算求解；（2）易知，结合，由求解.【小问1详解】解：∵时，，，全集，∴或．∴A=．【小问2详解】∵命题：，命题：，是的必要条件，∴．∵，∴，∵，， ∴，解得或，故实数取值范围．20.设函数，（1）画出函数的图像；（2）求出的解集，并写出函数的值域．【答案】（1）图象见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数的图象；（2）根据函数的图象结合解析式可得不等式的解集及函数的值域.【小问1详解】因为，图象如图所示： ；【小问2详解】令得：或，结合图象知的解集为，又由图象可知，函数处取得最大值，因为当时，，所以，故的值域为.21.已知关于x的不等式．（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，，求此不等式的解集．【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析．【解析】【分析】（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值.（2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集.【详解】（1）由题意知，且1和5是方程的两根， ∴，且，解得，，∴．（2）若，，原不等式为，∴，∴．∴时，，原不等式解集，时，，原不等式解集为，时，，原不等式解集为，综上所述：当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为．当时，原不等式解集为．【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.22.近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元．（1）要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？（2）若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值．【答案】（1）80；（2）14. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，列出关于不等式，求解不等式得解.（2）列出关于不等式，分离参数并借助基本不等式求出最小值即可.【小问1详解】依题意，，整理得：，即，而，解得，所以调整后技术人员的人数x最多为80.【小问2详解】依题意，，整理得：，，而当时，，当且仅当时取等号，因此，所以正整数t的最大值为14.