重庆市杨家坪中学2024届高三数学上学期第三次月考试题（Word版附解析）

杨家坪中学高2024级高三（上）第三次月考数学试题一、单选题1.已知全集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用并集、补集的定义直接求解作答.【详解】由集合，集合，得，而全集，所以.故选：D2.命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据恒成立问题分析可得命题“”是真命题等价于“”，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若命题“”是真命题，则，可知当时，取到最大值，解得，所以命题“”是真命题等价于“”.因为Ü，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；因为Ü，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；故选：A.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入，即可求解.【详解】有题意知：又由.故选：C.4.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（）A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4.4小时【答案】B【解析】【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可.【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.由，得，则.因为，则，所以开车前至少要休息4.2小时.故选：B.5.对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果 为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为（）A.101B.99C.95D.91【答案】C【解析】【分析】根据新定义，结合所给前7项，得到如图所示规律，即可得解.【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，规律如图所示，故选：C6.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A.48B.54C.60D.72【答案】C【解析】【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法；故选：C.7.已知向量的夹角为60°，，若对任意的、，且，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积的定义求得，于是由数量积的应用可得，对任意的、，且，则将转化为，即，则构造函数得函数在上单调递减，求导判断单调性，即可得的取值范围.【详解】解：已知向量的夹角为60°，，则所以所以对任意的、，且，，则所以，即，设，即在上单调递减又时，，解得，所以，，在上单调递增；，，在上单调递减，所以.故选：A.8.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的零点即可求得的值，再结合函数的图象及要求的零点个 数求出m范围得解.【详解】令，，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，时，，且时，恒成立，当时，在上单调递减，在上单调递增，时，，在R上的图象如图，当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0，函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点，当，即时，和各一个零点，共两个零点，当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点，当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，当，即时，和各有一个零点，共两个零点，当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有， 所以实数的取值范围是.故选：B二、多选题（每题5分，共20分）9.函数)在一个周期内的图像如图所示，则（）A.该函数的解析式为B.是该函数图像的一个对称中心C.该函数的减区间是D.把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移，可得到该函数图像【答案】ABD【解析】【分析】观察图像可得，再带点可得，则可确定A；计算时，是否为零来确定B；令，求出单调减区间来确定C；通过周期变换和平移变换得函数来确定D.【详解】对于A：由图观察可得，得，又，， 即，代入点得，得，即，又，得，，A正确；对于B，当时，，是该函数图像的一个对称中心，B正确；对于C，令，解得，即的减区间是，C错误；对于D，函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得，再纵坐标不变，再向左平移，可得，D正确.故选:ABD.10.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（）A.B.C.若，则的面积是D.若，则外接圆半径是【答案】AD【解析】【分析】由已知比例关系易得，应用正弦边角关系判断A ；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得，再由面积公式求面积判断C；利用正弦定理求外接圆半径判断D.【详解】令，则，，可得，所以，由正弦边角关系易知：，A对；若，则，故，，则，所以，C错；由，结合C可得，B错；由，则，而，故外接圆半径是，D对.故选：AD.11.已知某次数学测试班级最高分为150分．最低分为50分，现将所有同学本次测试的原始成绩经过公式进行折算，其中为原始成绩，为折算成绩，折算后班级最高分仍为150分，最低分为80分，则下列说法正确的是（）A.若某同学本次测试的原始成绩为100分，则其折算成绩为115分B.班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值C.班级折算成绩的方差可能等于原始成绩的方差D.班级每位同学的折算成绩均不低于原始成绩【答案】ABD【解析】【分析】由求得得解析式，对选项A直接计算即可；由可得，折算成绩均不低于原始成绩，可判断选项B、D正确；对选项C：由判断.详解】由题知，解得，∴，当时，，故A正确； ，由知，即，故当原始成绩低于150分时，折算成绩均高于原始成绩，即除150分不变外，其余成绩折算后均提高，故B，D均正确；，故折算成绩的方差必小于原始成绩的方差，故C错误．故选：ABD12.已知定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，，…，，给出以下结论，其中正确的是（）A.B.函数为偶函数C.函数在区间上单调递减D.【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件可得函数的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在的单调性，然后利用对称性即可判断C；判断的对称性，结合的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.【详解】因为，所以，的图象关于对称，因为函数为奇函数，所以图象关于点对称，且又，所以，即，所以的周期为4，所以，故A错误；由上可知，，，故B正确；因为，当时，都有， 即，所以在区间单调递增，因为的图象关于点对称，所以在区间单调递增，又的图象关于对称，所以在区间单调递减，C正确；因为，所以的图象关于点对称，所以与的交点关于点对称，不妨设则，所以，所以，D正确.故选：BCD三、填空题（每题5分，共20分）13.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为__________．【答案】##【解析】【分析】根据复数的除法运算以及虚部的概念求解.【详解】由题可得，，所以虚部为,故答案为:.14.已知向量，，若，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示得，再由基本不等式计算即可.【详解】∵，∴，即．又，， 则，当且仅当时取等号，∴的最小值为8．故答案为：8．15.在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．【答案】##【解析】【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得.【详解】至少射击4次合格通过的概率为，所以，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，当时得最大值，故．故答案为：【点睛】关键点点睛：用表示至少射击4次合格通过的概率，并利用导数研究在上的最值即可.16.已知函数,__________，若且，则的最大值是__________． 【答案】①.0②.##【解析】【分析】根据函数解析式可得，进而可得，作出函数的图象，令，则，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最大值，即得.【详解】因为，所以，；作出函数的图象，设，则，由，可得，由，可得，令，其中，，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，因此，的最大值为.故答案为：0；.【点睛】思路点睛：利用导数求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知（1）时，求函数的值域；（2）求解不等式.【答案】17.18.【解析】【分析】（1）先后通过降幂公式，辅助角公式，将函数化为的结构再求值域即可;（2）先将当成整体先求解，再求的范围即可.【小问1详解】，因为，所以，所以，所以,即函数的值域.【小问2详解】因为，所以，即， 所以解得即不等式解集为.18.第9届女足世界杯正在澳大利亚和新西兰如火如荼的进行，中国女足再次征战世界杯赛场.为了解我国女子足球水平发展状况，现统计10个省市注册女足职业运动员的数量情况（如下表）;省市辽宁山东湖北广东吉林河南江苏上海河北四川人数320175314212140327344159350189（1）为支持女足的发展，中国足球协会积极推广校园足球基地建设.现注册女足职业运动员有200人以上的地区称为开展女足运动发达地区，不足200人的称为开展女足运动不发达地区，如果中国足球协会准备在上述10个省市随机选择4个地区推进女足校园足球基地建设，记X为选中的女足校园基地为不发达地区的个数，求X的分布列和数学期望；（2）某校为组建女足运动队，对学校女足爱好者进行初步集训并测试，在集训中进行了多轮测试，每轮的测试项目有：1分钟颠球、30米往返跑、12分钟跑.规定：在每一轮测试中，这3项中至少有2项达到“合格”，则概论测试记为“优秀”.已知在一轮测试的3项中，甲队员每个项目达到“合格”的概率均为，每项测试互不影响且每轮测试互不影响.如果甲队员在集训测试中获得“优秀”轮次的平均值不低于3轮，那么至少要进行多少轮测试？【答案】（1）分布列解析，期望为；（2）5.【解析】【分析】（1）确定的可能值为，分别求出概率后可得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）求出甲在一轮测试中“优秀”的概率，则其集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，然后求出不等式的最小正整数解即得．【小问1详解】的可能值为, ，，，，，所以的分布列为：01234；【小问2详解】记甲一轮测试“优秀”事件，则，由题意甲队员在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，所以，，因为，所以的最小值为5，所以至少进行5轮测试．19.彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？【答案】19.m 20.修建观赏步道时应使得，【解析】【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理运算求解；（2）先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案.【小问1详解】因为，解得：，又因为C是钝角，所以，由余弦定理得：，故需要修建m的隔离防护栏.【小问2详解】因为，当且仅当时取到等号，此时m，设，，在中，，解得：， 故，因为，所以，故当，即时，取的最大值为1，可得，当且仅当时取到等号，此时m，所以修建观赏步道时应使得，.20.已知函数．（1）讨论单调性；（2）求在上的最小值．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；（2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合的不同取值范围，分类讨论求解.【小问1详解】函数的定义域为， 则．当时，在上恒成立，故此时在上单调递减；当时，由，得,由，得，故此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】由（1）知，当时，在上单调递减，所以在上单调递减，所以；当时，(i)若，即时，在上单调递增，此时，；(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，；(iii)若，即时，在上单调递减，此时，． 综上所述，．21.已知正项数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，若恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据函数解析式可得，然后由和的关系可得递推公式，即可判断数列为等差数列，进而可得通项公式；（2）使用错位相减法求得，然后参变分离，将恒成立问题转化为求数列最值问题，借助对勾函数性质即可求解.【小问1详解】由题意知，当时，，所以，当时，，，因为，所以，即． 因为数列为正项数列，所以，即，所以数列为公差为2的等差数列，所以．【小问2详解】因为，所以．．．①．．．②①－②得，，所以，所以可化简为．因为恒成立，所以．因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以当，即时，；当，即时，，又,所以，故，所以实数λ的取值范围为.22.已知函数. （1）求过的切线的条数；（2）已知对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点代入整理得，构建，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断方程的根的个数；（2）令，将原不等式恒成立转化为，根据可得，解得，进而对检验即可.【小问1详解】因为，设切点为，所以切线斜率为，切线方程为，将点代入切线方程得，整理得，令，则，令，解得或；令，解得；可知在上单调递增，则上单调递减，可得，且当趋近于，趋近于0，当趋近于，趋近于， 因为，结合图象可知与有3个不同的交点，即方程有3个不同的实数根，所以过的切线有3条.【小问2详解】令，则原不等式即为对任意恒成立，则，且，因为，则，解得，若时，则，且，可得，所以在上为增函数，所以，此时不等式恒成立，即恒成立，综合上述：实数取值范围为.【点睛】关键点睛：1.运用导数的几何意义可得，构建，结合导数判断方程根的个数；