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重庆市杨家坪中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)
重庆市杨家坪中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)
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重庆市杨家坪中学高2024级高二上期末考试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,,且,则实数的值为().A.4B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得,根据数量积的坐标表示得到方程,解得即可.【详解】解:因为,,且,所以,解得.故选:A2.已知表示的曲线是圆,则的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方程配方后得,根据圆的半径大于0求解.【详解】由方程可得,所以当时表示圆,解得.故选:C.3.数列满足,且则的值为( ) A.B.C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系式,求得数列的周期性,结合周期性得到,即可求解.【详解】由题意,数列满足,且,可得,可得数列是以三项为周期的周期数列,所以.故选:C.4.已知直线,直线,设,则是的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件可知,计算出的值即可得出结论.【详解】解:两直线平行充分必要条件是,且,解得,经验证,当时,两直线平行.故选:C.5.若成等差数列;成等比数列,则等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程,求出,,求出. 【详解】由题意得:,设的公比为,则,,解得:,.故选:B6.已知椭圆上存在两点关于直线对称,且线段中点的纵坐标为,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得,并得到中点坐标;利用点差法可构造等式求得,根据椭圆离心率可求得结果.【详解】关于直线对称,,又中点纵坐标为,中点横坐标为;设,,则,两式作差得:,即,;又,,,解得:, 椭圆的离心率.故选:A.7.已知是抛物线上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,若是圆:上任意一点,则的最小值是()A.B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】画出抛物线的焦点和准线,利用抛物线的几何性质将转化为C,P,F之间的距离之和,根据三点共线求得最小值.【详解】抛物线的焦点是,准线方程是,PH与准线的交点是,圆C的半径为,圆心为,依题意作下图:由图可知:,,当C,P,F三点共线时最小,的最小值是6;故选:D.8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:,从第三项起,每个数都等于它前面两个数的和,即,后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为,记,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得,,两式相加可得,再结合已知条件可得答案.【详解】因为,所以①,②,由①+②,得,又,即,所以.故选:C.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.设数列的前项和为,下列说法正确的是()A.若,则B.若,则的最小值为C.若,则数列的前17项和为D.若数列为等差数列,且,则当时,的最大值为2023【答案】BC【解析】【分析】令时,由求出可判断A;由知,,当时,取得 的最小值可判断B;若,求出数列的前项和可判断C;由数列的下标和性质可得,则可判断D.【详解】对于A,由,当时,,由,当时,,所以,A不正确;对于B,若,当时,,则,所以当时,取得的最小值为,所以,B正确;对于C,若,设数列的前项和为,所以,故C正确;对于D,数列为等差数列,且,则,所以,当时,的最大值为,所以D不正确.故选:BC.10.已知方程,则下列说法中正确的有()A.方程可表示圆B.当时,方程表示焦点在轴上的椭圆C.当时,方程表示焦点在轴上的双曲线D.当方程表示椭圆或双曲线时,焦距均为10 【答案】BCD【解析】【分析】分别将的值代入各个命题,根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断.详解】对于A,当方程可表示圆时,,无解,故A错误.对于B,当时,,,表示焦点在轴上的椭圆,故B正确.对于C,当时.,,,表示焦点在轴上的双曲线,故C正确.对于D,当方程表示双曲线时,;当方程表示椭圆时,,所以焦距均为10,故D正确.故选:BCD11.如图,在正方体中,点P在线段上运动,则下列结论正确的是()A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A中,利用线面垂直的判定定理,结合正方体的性质进行判断即可;在选项B中,根据线面平行的判定定理、平行线的性质,结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可;在选项C中,根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可;在选项D中,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中,∵,,,且平面,∴平面,平面,∴,同理,,∵,且平面,∴直线平面,故A正确;在选项B中,∵,平面,平面,∴平面,∵点在线段上运动,∴到平面的距离为定值,又的面积是定值,∴三棱锥的体积为定值,故B正确;在选项C中,∵,∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形,当为的中点时,; 当与点或重合时,直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是,故C错误;在选项D中,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为1,则,,,,所以,.由A选项正确:可知是平面的一个法向量,∴直线与平面所成角的正弦值为:,∴当时,直线与平面所成角的正弦值的最大值为,故D正确.故选:ABD12.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成,如图所示,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点,椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A,与半椭圆交于点,则下列结论正确的是() A.椭圆的离心率是B.线段长度的取值范围是C.面积的最大值是D.的周长存在最大值【答案】AC【解析】【分析】求得椭圆的离心率判断选项A;求得线段长度的取值范围判断选项B;求得面积的最大值判断选项C;根据表达式结合参数范围判断的周长是否存在最大值.【详解】由题意得半圆的方程为,设半椭圆的方程为,又,则,则半椭圆的方程为则椭圆的离心率,故选项A判断正确;直线与半圆交于点A,与半椭圆交于点,则线段长度的取值范围是.故选项B判断错误;不妨设则由,可得;由,可得;则(当且仅当时等号成立) 故选项C判断正确;的周长为则在上单调递减,则的周长不存在最大值.故选项D判断错误.故选:AC三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.若数列是等比数列,其前项和,为正整数,则实数的值为____.【答案】1【解析】【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解.【详解】当时,,当时,,所以,又是等比数列,所以是以为首项,为公比的等比数列,此数列的前项和,则的值为.故答案为:1.14.已知数列满足则___.【答案】1024【解析】【分析】由可得,从而可得数列是以2为公比,1为首项的等比数列,可求出通项公式,进而可求出【详解】因为所以,所以数列是以2为公比,1为首项的等比数列, 所以,所以,所以,故答案为:102415.已知动圆P圆心P在y轴的右侧,圆P与y轴相切,且与圆C:外切.则动圆圆心P的轨迹方程为____________.【答案】【解析】【分析】由题意,设点,圆P与y轴相切则圆P的半径为,在根据两圆的位置关系求出解析式即可.【详解】由题知,设点,因为圆P与y轴相切,所以圆P的半径为,由圆C:,所以圆心为,半径,由圆P与圆外切,所以,即,化简得:故答案为:.16.设抛物线的焦点为,准线为,过焦点的直线交抛物线于,两点,分别过,作的垂线,垂足为,,若,则____________;_____________.【答案】①.4②.【解析】【分析】由抛物线的焦点为,求得p=4;过点作,交直线于点,利用直线的斜率为,结合抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为,所以,所以p=4;如图所示,过点作,交直线于点,由抛物线的定义知,,且,所以,,所以,所以直线的斜率为;设直线的方程为,点,,由,消去整理得,所以,所以,所以,所以的面积为.故答案为:;.四、解答题:本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知圆的方程为.(1)求过点且与圆相切的直线的方程;(2)直线过点,且与圆交于两点,当是等腰直角三角形时,求直线的方程.【答案】(1)或(2)或【解析】【分析】(1)斜率不存在时显然相切,斜率存在时,设出直线 点斜式方程,由圆心到直线距离等于半径求出,进而得解;(2)设出直线的点斜式方程,由几何关系得圆心到直线距离为,进而得解.【小问1详解】当直线斜率不存在时,显然与相切;当直线斜率存在时,可设,由几何关系可得,解得,故,即,故过点且与圆相切的直线的方程为或;【小问2详解】设,可设中点为,因为是等腰直角三角形,所以,即圆心到直线距离,解得或7,故直线或,即或.18.如图,三棱柱中,M,N分别是上的点,且.设,,.(1)试用,,表示向量;(2)若,求MN的长.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)利用空间向量的线性运算即可求解.(2)根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【小问1详解】解:,∴;【小问2详解】解:,,,,,即MN的长为.19.已知等差数列中,,,在各项均为正数的等比数列中,,.(1)求数列与的通项公式(2)求数列的前n项和.【答案】(1),(2)【解析】 【分析】(1)由等差数列的,即可求出的通项公式,进而求出的通项公式(2)表示出的通项公式,用错位相减法即可求解数列的前n项和【小问1详解】解:设的公差为,则,所以解得,所以;由题设等比数列的公比为,由题得,,∴,∴.所以.所以.【小问2详解】由题得.所以则两式相减得所以.20.如图,在直四棱柱中,底面是边长为2的菱形,且,,分别为,的中点.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】 【分析】(1)连接交于点,连接,为的中点,易得四边形为平行四边形,从而,再利用线面垂直的判定定理证得平面即可.(2)以O为原点,以OB,OC,OF建立空间直角坐标系,分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量,然后由求解.【详解】(1)如图所示:连接交于点,连接,为的中点,所以,,又为的中点﹐,所以,,所以,,所以四边形为平行四边形,.直四棱柱中,平面,平面,所以.又因为底面是菱形,所以,又,平面,平面,所以平面.所以平面.(2)建立如图空间直角坐标系, 由,知,又,则,,,,设为平面的一个法向量.由,得,令,可得.设为平面的一个法向量.由,即,令,可得..如图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值是.【点睛】方法点睛:1、利用向量求异面直线所成的角的方法:设异面直线AC,BD的夹角为β,则cosβ=.2、利用向量求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方 向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.3、利用向量求面面角的方法:就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.21.设椭圆右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若,求k的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由题意结合几何关系可求得,.则椭圆的方程为;(2)设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意可得.易知直线的方程为,由方程组可得.由方程组可得.结合,可得,解出,或.经检验的值为.【小问1详解】设椭圆的焦距为2c,由已知得,又由,可得.又,所以,,所以,椭圆的方程为. 【小问2详解】设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,,点的坐标为.因为,所以有,,,所以,即.易知直线的方程为,由方程组消去y,可得.由方程组消去,可得.由,可得,两边平方,整理得,解得,或.当时,由可得,,不合题意,舍去;当时,由可得,,.所以,. 22.已知等轴双曲线:的虚轴长为.(1)求双曲线的标准方程;(2)过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支交于A,B两点,请问轴上是否存在一定点P,使得?若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)满足题意的定点Р存在,坐标为.【解析】【分析】(1)由题意得,,即可得到双曲线方程;(2)根据已知可设直线AB的方程为.设存在,根据,可得,代入相关点的坐标,可得,由的任意性,即可得出存在.【小问1详解】由双曲线C的虚轴长为,有,可得,又由双曲线C是等轴双曲线,可得,故双曲线C的标准方程为.【小问2详解】由(1)可知,,,则双曲线C的右焦点F的坐标为,假设存在这样的点P,设点P的坐标为,设直线AB的方程为,点A,B的坐标分别为,联立直线与双曲线的方程可得,,当时,因为双曲线的渐近线方程为,可知直线与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线仅有一个交点,不合题意,所以. 则恒成立,有,,,.若,可知直线AP和直线BP的斜率互为相反数,即.又,,所以整理可得,,即,即.要使时,该式恒成立,即与的取值无关,则应有,所以.
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高中 - 数学
发布时间:2023-10-21 20:00:02
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