辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三数学上学期期中（Ⅰ）考试试题（Word版附解析）

绝密★启用前滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中1考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设命题，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据存在性命题的否定为全称命题即可得解.【详解】因为命题，所以为，故选：A2.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由图像可知阴影部分面积对应的集合为，再由集合的运算，即可得到结果.【详解】因为，，则，由图像可知阴影部分面积对应的集合为.故选：C3.若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法及共轭复数判断即可得解.【详解】，，，故对应点在第三象限，故选：C4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（）A.3B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.【详解】由函数为幂函数知，，解得或.∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，当时，，符合题意，∴，，∴.故选：C.5.函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（）A.9B.8C.D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，,,当且仅当，即等号成立故选：B.6.已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量基本定理得到，利用向量数量积公式得到，，从而利用夹角余弦公式求出答案.【详解】由题意知：,,,,, .故选：D7.已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图象，将有四个零点转化为的图象与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.【详解】时，，，在上单调递减，在上单调递增，，时，，在上单调递减，在上单调递增，，画出的图象如下图，有四个零点即的图象与有四个不同交点， 由图可得，是方程的两根，即的两根，是方程的两根，即的两根，，，则，设，，则，在上单调递增，当时，，即.故选：A.8.设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；且，则关于x的不等式的最小正整数解为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题干条件得到，，，进而解不等式得到或，由得到最小正整数为3，由得到最小正整数为2，综上求出答案.【详解】由①得：，则，（1）由②得：，则，（2）且，即， 联立（1）（2）得：，因为，所以，解得：，，所以，所以，将代入得：，因为，所以，所以，，，则或，当，解得：，，，，当时，，故最小正整数为3，当，解得：，，，，当时，，故最小正整数为2，比较得到答案为2故选：B.【点睛】方法点睛：三角函数相关的参数取值或取值范围问题，要能够结合题目信息，从奇偶性，周期性，对称性入手，得到等量关系或不等式，进而求出参数的值或取值范围. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.若a，b为正实数，，则B.若a，b，m为正实数，，则C.若，则“”是“”的充分不必要条件D.不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】利用作差法即可求解AB,结合充分不必要条件，即可根据不等式的性质求解CD.【详解】对于A，因为，为正实数，，所以，所以，故A正确；对于B，因为，，为正实数，，所以，所以，故B错误；对于C，由，可得或，故由可得，但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，由可得，由于成立的充分不必要条件是，所以或，解得，故D正确．故选：ACD10.已知向量满足，且，则（）A.B.C.D. 【答案】AC【解析】【分析】根据向量数量积的运算化简求模、数量积判断AD，利用夹角公式可得，从而判断BC.【详解】由，得，整理得①．由，得，整理得②．由①②及得，所以，所以，所以，所以反向共线，所以，故选：AC．11.已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（）A.为奇函数B.若的一个零点为，且，则C.在区间的零点个数为个D.若大于的零点从小到大依次为，则【答案】ABD【解析】【分析】利用奇函数的定义可判断A，利用奇函数的性质可判断B，数形结合作出函数的图象，通过交点个数可判断C，根据的图象确定大于的零点的取值范围即可判断D.【详解】因为，所以为奇函数，A正确；假设，则， 此时，所以当时，，当时，，当时，，则，由于的零点为，所以，所以，B正确；当时，令，大于零零点为的交点，由图可知，函数在有2个零点，由于为奇函数，所以在有1个零点，且，所以在区间的零点个数为个，C错误；由图可知，大于1的零点，，所以，而，所以，D正确.故选:ABD.12.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（）A.的图象关于对称 B.C.在上的最大值是10D.不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】依题意令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；令，则，令代x，则，即，即，故B错误；设且，则，由，令，，则，即，由时，，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；由，即，即，即，又因为，即 ，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】设，求出，代入已知式可得．【详解】设，则，因为，所以，即故答案为：．14.已知，，，若，则______．【答案】##【解析】【分析】根据得，再由平方关系可得、的值，代入两角差的正弦展开式计算可得答案.详解】由，得，又，所以，又，所以，，所以 ．故答案为：．15.函数，若函数恰有两个零点，则a取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分离常数法，构造函数法，结合导数求得的取值范围，进而求得正确答案.详解】由得，设，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，当时，；当时，，又当，，由此画出的大致图象如图所示，由于函数恰有两个零点，所以的取值范围是.故答案为：. 16.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，则的次近似值为______：设，数列的前项积为．若任意的，恒成立，则整数的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用导数求出直线的方程，可得出，结合可求出的值，推导出，可求得，由已知条件可得出，由此可求得整数的最小值.【详解】，则，，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知点在直线上，所以，，，则，，，，因为函数的零点近似值为，且函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知， 由题意可知，，故整数的最小值为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列的递推公式，利用数列的递推公式求解.四、解答题：本大题共6小题，共10分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设是公差不为0的等差数列的前项和，已知与的等比中项为，且与的等差中项为．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的求和公式以及等差数列、等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求；（2）求得，由裂项相消法求和即可求解．【小问1详解】设数列的公差为．由题意，得，即，解得， 所以数列的通项公式为.【小问2详解】，所以.18.在中，角、、的对边分别为、、．已知．（1）求角的大小；（2）给出以下三个条件：①，；②；③．若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）的角平分线交于点，求的长．【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由已知条件可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正确的条件.（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长.【小问1详解】解：因为，若，则，不满足，所以，，，.【小问2详解】解：由及①，由余弦定理可得，即，，解得； 由及②，由余弦定理可得，由可得，可得；由及③，由三角形的面积公式可得，可得.经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故，.（i）将，代入②可得可得.在中，由正弦定理，故.（ii）因为，即，所以，.19.已知数列中，，设为前项和，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到，得出当时，可得，结合叠乘法，求得，验证，即可求解.（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.【小问1详解】解：由数列中，，且当时，，解得，当时，可得，所以，即， 则当时，可得，所以，当或时，，适合上式，所以数列的通项公式为.【小问2详解】解：由（1）知，可得，所以，可得，两式相减，得，所以.20.已知函数（且）的两个相邻的对称中心的距离为．（1）求在R上的单调递增区间；（2）将图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简函数得，再根据单调性求解即可； （2）先由平移伸缩得出，再结合二倍角余弦公式计算即得.【小问1详解】，由题意知，的最小正周期为，所以，解得，∴，令，，解得，所以在R上的单调递增区间为【小问2详解】，，得，∵，∴，∴，∴21.已知函数，．（1）判断函数的单调性；（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）求出函数导数，对a分类讨论，解不等式即可得到函数的单调性；（2）关于的不等式恒成立等价于在恒成立，构建函数，研究其单调性与最值即可.【小问1详解】的定义域为，求导得：，若时，则，此时在单调递增；若时，则当时，在单调递减，当时，，f(x)在单调递增.【小问2详解】当时，，由题意在上恒成立，令，则，令，则，所以在上递增，又，所以在上有唯一零点，由得，当时，即，单调递减；时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值.即令，则方程等价于，又易知单调递增，所以，即 所以，的最小值所以，即实数的取值范围是【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22.已知函数．（1）若直线与的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；（2）若函数在上存在两个极值点，且，证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用换元法，得到只需证即可.【小问1详解】由题意，切点坐标为，所以切线斜率为，所以，切线为，整理得，所以．【小问2详解】由（1）知． 由函数在上存在两个极值点，且，知，则且，联立得，即，设，则，要证，，只需证，只需证，只需证．构造函数，则．故，在上递增，，即，