2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）（Word版附解析）

第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）思维导图知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：．(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点 直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a题型归纳题型1平面的基本性质及应用【例1-1】（2020春•海安市校级月考）如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．（1）求证：、、、四点共面；（2）设与交于点，求证：、、三点共线．【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明、、、四点共面． （2）由，，，从而平面，平面，推导出直线．由此能证明、、三点共线．【解答】证明：（1）中，、为、中点，．中，，，（平行线公理），、、、四点共面．（2），，，平面，平面，又平面平面，直线．、、三点共线．【跟踪训练1-1】（2020•汕头二模）如图，在正四棱柱中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则　　A．、、、四点共面，且B．、、、四点共面，且C．、、、四点不共面，且D．、、、四点不共面，且【分析】根据，确定平面即可判断四点共面，利用勾股定理计算、得出和是否相等．【解答】解：连接，，是正方形的中心，直线，又平面，平面，又直线，平面，又平面，平面， 、、、四点共面．取的中点，连接，，则，，，取的中点，连接，，则，，．．故选：．【跟踪训练1-2】（2019秋•乐山期末）如图所示，正方体中，与截面交于点，，交于点，求证：，，三点共线．【分析】欲证，，三点共线，只须证它们都在平面与平面的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明，，三点是平面与平面的公共点即可．【解答】证明：如图，因为平面，且平面，是平面与平面的公共点，又因为，所以平面，，平面，也是平面与平面的公共点，是平面与平面交线，是与平面的交点，平面，平面， 也是平面与平面的公共点，直线，即，，三点共线．【名师指导】1．证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．题型2空间两直线位置关系的判定【例2-1】（2020•广元模拟）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，分别为棱，的中点，则　　A．，且直线，是共面直线B．，且直线，是异面直线C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是共面直线【分析】可连接，根据条件即可说明四边形是平行四边形，从而得出，且直线，是共面直线．【解答】解：如图，连接，，分别为棱，的中点，，，，，，，且，四边形是平行四边形，，且，，是共面直线．故选：．【跟踪训练2-1】（2020•泸州模拟）正方体，下列命题中正确的是　　A．与相交直线且垂直B．与是异面直线且垂直C．与是相交直线且垂直D．与是异面直线且垂直【分析】分别求出与、与、与所成角判断、、错误；证明与垂直判断正确．【解答】解：如图， 连接，可得△为正三角形，可得与是相交直线且成角，故错误；，与是异面直线且成角，故错误；与是相交直线，所成角为，其正切值为，故错误；连接，可知，则，可知与是异面直线且垂直，故正确．故选：．【跟踪训练2-2】（2019秋•吉林期末）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有　　条．【分析】由异面直线的定义可以直接得到结果．【解答】解：正方体的共有12条棱中，成异面直线的有：，，，，，，共6条．故答案为：6． 【跟踪训练2-3】（2019秋•武邑县校级期末）在图中，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有　　．（填上所有正确答案的序号）【分析】图（1）中，直线，图（2）中面，图（3）中，图（4）中，面．【解答】解析：如题干图（1）中，直线；图（2）中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；图（3）中，连接，，因此，与共面；图（4）中，、、共面，但面，与异面．所以图（2）、（4）中与异面．故答案为：（2）、（4）【名师指导】异面直线的判定方法题型3求异面直线所成的角【例3-1】（2020春•赤峰期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为　　A．B．C．D．【分析】连结，，由，得到是异面直线与 所成角（或所成角的补角），再求出异面直线与所成角的正切值．【解答】解：在正方体，中，为棱的中点，连结，，，是异面直线与所成角（或所成角的补角），设正方体的棱长为2，则，，．则异面直线与所成角的正切值为．故选：．【例3-2】（2020春•让胡路区校级期末）在空间四边形中，已知，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为　　A．B．C．D．【分析】取中点，连结、、，则，，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线与所成角．【解答】解：取中点，连结、、，，，，分别是，的中点，，，，是异面直线与所成角（或所成角的补角）， ，，，，异面直线与所成角为：．故选：．【跟踪训练3-1】（2020春•保山期末）如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　A．B．C．D．【分析】取中点，连接，，可得，则异面直线与所成角为，设三棱柱各棱长为2，求解三角形得答案．【解答】解：取中点，连接，，，分别为棱，的中点，，．且，则四边形为平行四边形，则．异面直线与所成角为，连接． 设三棱柱各棱长为2，则，．在三角形中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值为．故选：．【跟踪训练3-2】（2020春•玉林期末）在四棱锥中，平面，，四边形是边长为2的正方形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　A．B．C．D．【分析】取的中点，连接，．推导出，得到为异面直线与的所成角（或补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值．【解答】解：如图，取的中点，连接，．是的中点，所以，则为异面直线与的所成角（或补角）．由题意可得，，．在中，由余弦定理可得．异面直线与所成角的余弦值是．故选：． 【跟踪训练3-3】（2020春•尖山区校级期末）已知三棱锥，底面，，底面是等腰直角三角形，，是的中点．求（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小．【分析】（1）推导出是平面的高，由此能求出三棱锥的体积．（2）取的中点，连接，．推导出，连接，则与成角即为与成角．由此能求出异面直线与成角．【解答】解：（1）平面，是平面的高．，又为等腰直角三角形，，，又，．（2）取的中点，连接，．、是中点，是中位线，，连接，与成角即为与成角．在中，，，，，异面直线与成角． 【名师指导】用平移法求异面直线所成的角的三步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．