河南省信阳市2023-2024学年高三数学上学期第一次统考试题（PDF版附答案）

{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#} {#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#} ２０２３－２０２４学年普通高中高三第一次教学质量检测数学参考答案一、选择题１．Ｂ２．Ｂ３．Ａ４．Ｃ５．Ｃ６．Ｃ７．Ａ８．Ａ二、选择题９．ＢＣＤ１０．ＡＢＤ１１．ＡＣＤ１２．ＢＣＤ三、填空题２５１３．［２，＋∞）１４．１５．－１或０１６．９９四、解答题ｎ－１１７．解：（１）设｛ａ｝的公比为ｑ，由题设得ａ＝ｑ．……………………………１分ｎｎ４２由已知得ｑ＝４ｑ，解得ｑ＝０（舍去）或ｑ＝－２或ｑ＝２．………………………４分ｎ－１ｎ－１故ａ＝（－２）或ａ＝２．……………………………………………………５分ｎｎｎ１－（－２）ｎ－１（２）若ａ＝（－２），则Ｓ＝．ｎｎ３ｍ由Ｓ＝６３得（－２）＝－１８８，此方程没有正整数解．…………………………７分ｍｎ１－２ｎ－１ｎｍ若ａ＝２，则Ｓ＝＝２－１．由Ｓ＝６３得２＝６４，解得ｍ＝６．ｎｎｍ１－２综上，ｍ＝６．……………………………………………………………………１０分１－ｘ＞０，１８．解：（１）由{解得－１＜ｘ＜１．所以函数ｆ（ｘ）的定义域为（－１，１）．……２分１＋ｘ＞０，１１３因为ｆ（）＝１－ｌｏｇ４，所以ｌｏｇ＋ａｌｏｇ＝１－ｌｏｇ４．３３３３２２２３１æ１ö３３所以ａｌｏｇ３＝１－ｌｏｇ３４－ｌｏｇ３＝１－ｌｏｇ３ç４×÷＝ｌｏｇ３．又ｌｏｇ３≠０，２２è２ø２２故化简得所求ａ＝１．……………………………………………………………６分２（２）由（１）可知ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（１－ｘ）＋ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｌｏｇ（１－ｘ），其中ｘ∈（－１，１）．３３３２所以由题设得关于ｘ的方程ｘ＋ｘ－１－ｔ＝０在（－１，１）内有两个不同的实数解．（∗）…………………………………………………………………………………８分１２设函数ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘ－１－ｔ，因为该函数图像的对称轴方程为ｘ＝－２ìïｇ（－１）＝－１－ｔ＞０，ïïæ１ö５５所以结合（∗）知只需íｇç－÷＝－－ｔ＜０，解得－＜ｔ＜－１．…………………１１分ïè２ø４４ïîｇ（１）＝１－ｔ＞０，高三数学答案第１页（共４页）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#} æ５ö故所求实数ｔ的取值范围是ç－，－１÷．………………………………………１２分è４øｘ－ｘ１９．解：（１）若ａ＝３，则ｆ（ｘ）＝３＋３·３．ｘ－ｘｘ２ｘｘｘ所以ｆ（ｘ）≥４，即３＋３·３≥４，即（３）－４·３＋３≥０．所以（３－１）（３－３）≥０．……………………………………………………………………………………２分ｘｘ所以３≤１或３≥３，解得ｘ≤０或ｘ≥１，即不等式ｆ（ｘ）≥４的解集为（－∞，０］∪［１，＋∞）．……………………………５分１０ａ１０（２）若ｆ（１）＝，即３＋＝，解得ａ＝１．３３３ｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘ２ｘ－ｘ所以ｇ（ｘ）＝９＋９＋ｍ（３＋３）＋２ｍ－１＝（３＋３）＋ｍ（３＋３）＋２ｍ－３．ｘ－ｘ２令ｔ＝３＋３，ｔ∈［２，＋∞），所以ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｔ＋ｍｔ＋２ｍ－３．……………………７分ｍ２当－≤２，即ｍ≥－４时，ｙ＝ｔ＋ｍｔ＋２ｍ－３在［２，＋∞）上单调递增，２２所以ｙ＝２＋２ｍ＋２ｍ－３＝４ｍ＋１，即ｇ（ｘ）＝４ｍ＋１．…………………………９分ｍｉｎｍｉｎｍ２æｍöæｍö当－＞２，即ｍ＜－４时，ｙ＝ｔ＋ｍｔ＋２ｍ－３在ç２，－÷上单调递减，在ç－，＋∞÷上单２è２øè２ø调递增，２２２æｍöæｍöｍｍ所以ｙｍｉｎ＝ç－÷＋ｍ·ç－÷＋２ｍ－３＝－＋２ｍ－３，即ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝－＋２ｍ－３．……è２øè２ø４４…………………………………………………………………………………１１分２ìïｍï－＋２ｍ－３，ｍ＜－４，综上，ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝í４…………………………………………１２分．ïïî４ｍ＋１，ｍ≥－４．æ１３ö１３２０．解：（１）由题意，当０＜ｘ＜４时，Ｐ（ｘ）＝６ｘ－２－çｘ＋２ｘ÷＝－ｘ＋４ｘ－２；è３ø３æ１００ö１００当ｘ≥４时，Ｐ（ｘ）＝６ｘ－２－ç７ｘ＋－２７÷＝２５－ｘ－，èｘøｘìï１３－ｘ＋４ｘ－２，０＜ｘ＜４，ïï３所以年利润Ｐ（ｘ）关于ｘ的函数关系式为Ｐ（ｘ）＝í．…５分ï１００２５－ｘ－，ｘ≥４．ïîｘìï１３－ｘ＋４ｘ－２，０＜ｘ＜４，ïï３（２）由（１）知Ｐ（ｘ）＝íï１００２５－ｘ－，ｘ≥４．ïîｘ１３２当０＜ｘ＜４时，Ｐ（ｘ）＝－ｘ＋４ｘ－２，可得Ｐ′（ｘ）＝－ｘ＋４，３令Ｐ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝２，高三数学答案第２页（共４页）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#} 当ｘ∈（０，２）时，Ｐ′（ｘ）＞０；当ｘ∈（２，４）时，Ｐ′（ｘ）＜０，………………………７分所以Ｐ（ｘ）在（０，２）上单调递增，在（２，４）上单调递减．所以［Ｐ（ｘ）］＝Ｐ（２）＝ｍａｘ１０．……………………………………………………………………………………８分３æ１００ö１００当ｘ≥４时，Ｐ（ｘ）＝２５－çｘ＋÷≤２５－２ｘ·＝５，èｘøｘ１００当且仅当ｘ＝，即ｘ＝１０时取等号．………………………………………１０分ｘ所以当年产量为１０万件时，所获利润最大，最大利润为５万元．…………１２分ａａｎ＋１ｎ２１．解：（１）∵ｎａ－（ｎ＋１）ａ＝２ｎ（ｎ＋１），两边同时除以ｎ（ｎ＋１），∴－＝２．ｎ＋１ｎｎ＋１ｎ……………………………………………………………………………………３分ａｎａ１∴数列{}是首项为＝２，公差为２的等差数列，ｎ１ａｎ２则＝２＋（ｎ－１）２＝２ｎ，∴ａ＝２ｎ．……………………………………………６分ｎｎ２ｎ＋１２ｎ＋１２ｎ＋１１é１１ù（２）由ｂ＝，ａ＝２ｎ２可得ｂ＝＝＝ê－ú，ｎａａｎｎ２ｎ２２（ｎ＋１）２４ｎ２（ｎ＋１）２４êｎ２（ｎ＋１）２úｎｎ＋１ëû……………………………………………………………………………………７分２１éæ２１öæ１１öæ１１öù１é１ù１ｎ＋２ｎ则Ｔｎ＝êç１－２÷＋ç２－２÷＋…＋ç２－２÷ú＝ê１－２ú＝×．４ê２２３ｎ（ｎ＋１）ú４ê（ｎ＋１）ú４（ｎ＋１）２ëèøèøèøûëû……………………………………………………………………………………９分２λｎ１ｎ＋２ｎｎ１ｎ＋２∗Ｔ＜，即×＜λ，即×＜λ（ｎ∈Ｎ）恒成立．……………１０分ｎ２ｎ＋１４（ｎ＋１）ｎ＋１４ｎ＋１１é１ù１æ１ö３λ＞ê１＋ú＝ç１＋÷＝．４êëｎ＋１úû４è２ø８ｍａｘ３３∴λ＞．故实数λ的取值范围为（，＋∞）．…………………………………１２分８８２２．解：（１）函数ｆ（ｘ）的定义域为（－２，＋∞），２ａｘ＋（ａ－４）则ｆ′（ｘ）＝＋ｘ－２＝．………………………………………………１分ｘ＋２ｘ＋２①当ａ－４≥０，即ａ≥４时，ｆ′（ｘ）≥０，函数ｆ（ｘ）在（－２，＋∞）上单调递增；②当－４＜ａ－４＜０即０＜ａ＜４时，令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝－４－ａ＞－２，ｘ＝４－ａ，１２则当ｘ∈（－２，－４－ａ）或ｘ∈（４－ａ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０；当ｘ∈（－４－ａ，４－ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在（－２，－４－ａ），（４－ａ，＋∞）上单调递增，在（－４－ａ，４－ａ）上单调递高三数学答案第３页（共４页）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#} 减．③当ａ＜０时，ｘ＝－４－ａ≤－２（舍去），ｘ＝４－ａ．１２则当ｘ∈（４－ａ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０；当ｘ∈（－２，４－ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０，所以ｆ（ｘ）在（－２，４－ａ）上单调递减，在（４－ａ，＋∞）上单调递增；………４分综上所述，当ａ≥４时，ｆ（ｘ）在（－２，＋∞）上单调递增；当０＜ａ＜４时，ｆ（ｘ）在（－２，－４－ａ），（４－ａ，＋∞）上单调递增，在（－４－ａ，４－ａ）上单调递减；当ａ＜０时，ｆ（ｘ）在（－２，４－ａ）上单调递减，在（４－ａ，＋∞）上单调递增．…６分（２）证明：因为ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ，ｘ，由（１）知０＜ａ＜４，ｘ＝－４－ａ，ｘ＝４－ａ，１２１２所以ｘ＋ｘ＝０，ｘｘ＝ａ－４，且ｘ∈（０，２），ａ＝ｘｘ＋４．…………………………７分１２１２２１２２因为ｘ＋ｘ＝０，所以ｘ＝－ｘ，所以ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ａ＝ｘｘ＋４＝４－ｘ．１２２１１２１２２要证ｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＞２ｘ⇔２ｆ（ｘ）－２ｘ＞０⇔ｆ（ｘ）＋ｘ＞０．……………………９分１２１２１２２２２ｘｘ２２２⇔ａｌｎ（ｘ＋２）＋－ｘ＞０⇔（４－ｘ）ｌｎ（ｘ＋２）＋－ｘ＞０，２２２２２２２ｘ２ｘ⇔（２＋ｘ）ｌｎ（ｘ＋２）－＞０，令ｇ（ｘ）＝（２＋ｘ）ｌｎ（ｘ＋２）－（０＜ｘ＜２），………１０分２２２２１１则ｇ′（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋２）＋＞ｌｎ２＋＞０，所以ｇ（ｘ）在（０，２）上单调递增，２２又ｇ（０）＝２ｌｎ２＞０，故ｇ（ｘ）＞ｇ（０），即ｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＞２ｘ．………………………………………１２分１２１高三数学答案第４页（共４页）{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#}