贵州省 2024届高三数学上学期适应性月考（二）（PDF版附解析）

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贵阳第一中学2024届高考适应性月考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案ACDBCAAB【解析】21．因为Axxx{|540}{|xx4或x1}，Bxx{|30}{|xx3}，所以ABxx{|1}，故选A．12511112．因为x0，所以x0，所以yxx32≥x2212x2121xx2211131，当且仅当x，即x时等号成立，所以函数的最小值为1，故选C．212x2522153．(2ax)(1x)的展开式中x的系数为25，即2CaC25，解得a1．设(2x)(1x)55234565aaxaxaxaxaxax，令x1，得32aaaaaa0123456012345a，令x1，得0aaaaaaa，两式相加得，aaaa36012345602464248，故选D．31x131x4．因为fxfx()()6，y3，所以函数yfx()与y的图象都关于点xxxm(03)，对称，所以()xiiym3，故选B．i15．令gx()fx()(31)x，所以gxfx()()30，故g()x在R上单调递减，又gf(2)(2)50，所以当x2时，gx()0，即f()31xx，所以f()31xx的解集为(2，)，故选C．6．设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A()xy，，Bxy()，，则xx2，yy4，1122121222xy111126()xxxx1212()()yyyy1212()，两式相减，得0，所以22126xy221126数学参考答案·第1页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} 2(xx)4(yy)yy111212120，所以k，经检验，k满足题意，故选A．126xx44122Snnn(6)7．易得数列{}a为等差数列，且an27，Snn6，则b，令nnnnan27n22xx62(xx721)77fx()，x0，则fx()20，故f()x在0，，，上单调27x(2x7)22递增，没有最大值，因为bbb198，，，结合数列的函数特征易得，当n4时，b134n取得最小值，故选A．19722197311211218．bacos12sin2sin2sin2sin，令51001010010010501010010f()xxxsin，则fx()1cosx≥，所以函数0f()x在R上单调递增，所以当x0时，112c51fxf()(0)0，即有xxsin(x0)成立，所以sin，所以ba.因为10010b101sin2225511cosxxsin1cosxtan，令g()tanxxx，则gx()1≥0，所以函数110522cosxxcoscos5g()x在定义域内单调递增，所以当x0时，gxg()(0)0，即有tanxxx(0)成立，115111c所以tan，即tan5tan1，所以1，又b0，所以cb，综上：cba，551055b故选B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ABDABCABDABD【解析】2πππππ9．21，，m2kkππ，，又||，故，即π12626π2π5π5ππfx()sin2x1，故Tπ，值域为[02]，，fsin211，故62121262ππ3π13πC错误，当x，时π，2x，，故D正确，故选ABD．362610．易得a0.05，产品长度在30mm以下的比例为(0.010.010.040.060.05)50.8585%，在25mm以下的比例为85%25%60%，因此，70%分位数一定位于数学参考答案·第2页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} 0.70.6[2530)，内，由25527，可以估计产品长度的样本数据的70%分位数是0.850.627mm.由最高小矩形可知，众数估计值为22.5，平均数估计值为7.50.0512.50.0517.50.222.50.327.50.2532.50.137.50.0523.25，故选ABC．11．记Ai为事件“零件为第ii(123，，)机器加工”，记B为事件“任取一个零件为次品”，则PA()0.2()0，，PA.35()0PA.45，对于A，即PABPAPBA()()(|)0.10.21231110.02；对于B，PB()PAPBA()(|)()(|)()(|)0.10.20.08112233PAPBAPAPBAPAPBA()(|)0.080.351220.350.080.450.084；对于C，PAB(|)2；对于D，PB()0.0843PAPBA()(|)0.080.45333PAB(|)，故选ABD．3PB()0.08471lnx12．对于A，∵x2时，x2，∴2是f()x的一个下界，A正确；对于B，fx()，xx1lnx定义域为(0，，)fx()，令fx()0，∴xe，当x(0e)，时，fx()0，2xlne1当x(e，时)，fx()0，当xe时，f(e)，当x0，有fx()，当eexx，fx()0，∴B正确；对于C，fx()e(1)x，令fx()0，∴x1，当x(1，，)fx()0，f()x，当x(1，，)fx()0，f()x，∴当x1时，1f(1)，当x，fx()，∴C错误；对于D，∵1c≤≤os1x，e1cos1x11cosx∴≤≤，又≤1，≥1，∴11≤≤，∴D正确，222222111xxx1x1x1x故选ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号131415161352答案[20，，)(02](2，]104【解析】22222sin2sincos2cos13．sin2coscos2sin2sincos2cos22sincos2tan2tan296213．2tan19110数学参考答案·第3页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} p14．由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为3，因此有23，解得p2，故抛物22线方程为x4y，从而A(222)，.当△PAF的周长最小即||||PAPF的值最小，设F关于准线的对称点为F1，则F1(0，3)，连接AF1，则AF1与准线的交点即为使得4252||||PAPF的值最小的点P，此时可求得P，1，所以k．5AP42215．由题意得方程fxa()0有三个不同的实数根，即方程f()xa有三个不同的实数根，2所以函数yfx()和函数ya的图象有三个不同的交点．结合图象可得，要使两函数的2图象有三个不同的交点，则需满足02a≤，解得20≤或a02a≤，所以实数a的取值范围是[20，，．)(02]3x1lnx3x1lnx16．根据题意可知，x0，可得ax≤e1(0)恒成立，令fx()e1，xxxxx则afx≤()，现证明e1≥x恒成立，设g()exx1，gx()e1，当gx()0min时，解得x0，当x0时，gx()0，g()x单调递减，当x0时，gx()0，g()x单调递增，故当x0时，函数g()x取得最小值，g(0)0，所以gx()≥，g(0)0即3xxx3x1lnxxxeln1e1x≥0e1≥x恒成立，fx()e11xxlnxx3elnxx1ln3x1lnx111≥2，所以fx()2，即a≤，所以实数2minxxa的取值范围是(2，．]四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）解：∵aSSSSn(2≥)，nnn11nn∴()SSSS()SSn(≥2).nnnn11nn1又SS00，，∴SS1，nn11nn又S11，∴数列{}Sn是首项为1，公差为1的等差数列，2∴Snn1(1)1，故Sn.nn22当n≥2时，aSSnnnnn1(1)21n，当n1时，a11符合上式，∴an21．………………………………………………………………（5分）n数学参考答案·第4页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} 1111（2）证明：∵bnn2(2≥)，Snnn1n∴Tbbbnn1211122212n111111717，221223nnn1447即Tn．………………………………………………………………（10分）418．（本小题满分12分）15234解：（1）x3，5n5()xxyyii()xyxyii5ii11相关系数rnn55222222()()xxiiyyxii55xyyii11ii111483.85377328.8328.80.98，(5559(094)4557)72113090336.3因为y与x的相关系数r0.98，接近1，所以y与x的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．…………（6分）n5()xiixyy()xyxyii5（2）bˆii11n5222()xiixx5xii111483.85377328.832.88，555910aybˆˆx7732.88321.64，所以y与x的线性回归方程为yxˆ32.8821.64，又2023年对应的年份代码x6，yˆ32.88621.64175.64，所以预测2023年底贵州省刺梨产业的综合总产值为175.64亿元．………………（12分）19．（本小题满分12分）x（1）证明：函数f()xa的反函数为g()logxx，af()xaaxln，f()xaax1ln，1数学参考答案·第5页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} 11gx()，gx()，2xlnaxlna2所以得axx1ln2a1，两边同时取以a为底的对数得2log(axx1ln2a)log1，aa2logaxx1loglog(ln2a)0，aaa22ln(ln)a即xgx()0．…………………………………………………………（6分）12lnax（2）解：函数f()xa与函数g()logxx互为反函数，其函数图象关于yx对称，a所以函数yfx()与函数ygx()的图象有两个交点等价于函数yfx()与yx的图象有两个交点，x即方程lnaxln有两个解，即a>1时，xlnaxln，lnx即方程lna有两个解，xlnx1lnx令hx()，hx()，2xx1lnx当x(0e)，时，hx()0，2x函数hx()在x(0e)，上单调递增，且h(1)0，1lnx当x(e，时)，hx()0，2x函数hx()在x(e，)上单调递减，且当x时，hx()0，1所以当xe时，函数hx()取到最大值h(e)，e1所以0lna，e1即1eae．……………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，由卷图甲可知，四边形EBCF是矩形，且CB2EB，1∴O是线段BF与CE的中点，∴OHBC//且OHBC，2数学参考答案·第6页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} 1在卷图甲中，AGBC//且AGBC，EFBC//且EFBC=．21所以在卷图乙中，AGBC//且AGBC，2∴AGOH//且AGOH，∴四边形AOHG是平行四边形，则AOHG//，由于AO平面GCF，HG平面GCF，∴AO//平面GCF．………………………（6分）（2）解：由卷图甲，EFAEEF，，BE折起后在卷图乙中仍有EFAEEF，，BE∴AEB即为二面角AEFB的平面角，∴AEB120，以E为坐标原点，EBEF，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系Exyz如图1，且设CB224EBEA，则BFA(200)，，，(040)，，，(10，，3)，1∴，FGFEEAAGFEEAEF(123)，，2BA(303)，，，FCEB(200)，，，图1设平面GCF的一个法向量nxyz()，，，nFC0，20x，由得取y=3，则z2，nFG0，xyz230，于是平面GCF的一个法向量n(0，，，32)nBA237∴，cosnBA，||||nBA12777∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为．……………………………………（12分）721．（本小题满分12分）π解：（1）c1，FDF12，△FDF12为等边三角形，32222xy所以，ab43，，则椭圆E：1，43c1则ac21，，则椭圆的离心率为．……………………………………………（5分）a2数学参考答案·第7页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} （2）如图2，设A()()xyBxy11，，，22，M(4，n)，xxyy11则椭圆E在点A，B的切线方程分别为1，43xxyy221，434xny4xny1122又M在两条切线上，则1，1，43434xnyny则直线AB的方程为1，即x1，图2433nyx1，3222由整理得，(nxxn12)241240，22xy143224124n则xx，xx，122212nn121292则||1[ABx2(12x)4]x1x2n22292448164nn(9)1，2222nn12n12n122n4132又点M到直线AB的距离dn9，2n19则△MAB的面积为22114(nn9)222(9)||ABdn9n9，2222nn1212令222sn9，则ns9，s≥3，232(ns9)22则n9，s≥，322ns12332x令px()，x≥3，2x3224426(3)4xxx218xx则px()22220恒成立，(3xx)(3)32x2279则px()在[3，)上单调递增，则px()≥，p(3)2x3932当且仅当n0，即点M坐标为(40)，时等号成立，9则△MAB的面积的最小值为．………………………………………………………（12分）2数学参考答案·第8页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#} 22．（本小题满分12分）12（1）解：Fx()fxgx()()xxaxaln()的定义域为(a，+∞)，2ax(1xa)又Fx()x1，xaxa当10a时，Fx()在(0，a+1)上单调递增，Fx()在(a，0)和(a+1，+∞)上单调递减；当a1时，Fx()在(1，)上单调递减；当a1时，Fx()在(10a，上单调递增，)Fx()在(1aa，和)(0，)上单调递减．………………………………………………………………………………………（5分）12（2）证明：由Hx()fxgxa()()xxaxln，x0，22axxa则Hx()x1，，x0xx2由题意知x1，x2是方程xxa0的两根，11因此xx1，xxa，且a0，01xx，12121242()xa1122所以Fx()()Fxaxln(x)(xx)121212()xa22()xa11aln()xxxx(2)，1212()xa22把xx1，xxa代入，得1212()xa11(xxx)1112axln(x)xxln(xx)121212()xa2(xxx)2221211x21111111xxlnxxln1ln1，1212122x12xx2x2x12x11x11111要证Fx()()Fx，只需证明ln1ln10，12xxxx2222111111即ln1ln1，x22xxx2211111111也即ln11ln11．xxxx222211111令t1，t1，由01xx，得2tt，121221xx2121设ht()lntt，要证ht()()ht，212112t因为ht()0，ht()在(2，)上单调递减，tt22所以ht()()ht，即证．……………………………………………………（12分）21数学参考答案·第9页（共9页）{#{QQABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#}