安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三数学上学期第一次联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年高三年级第一次联考数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，再根据交集的定义求解即可.【详解】解:依题意，，，故．故选：B.2.已知命题“，”，则命题的真假及分别为（）A.真，B.假，C.真，D.假，【答案】B【解析】【分析】根据特例法，结合全称命题的否定的性质进行判断即可. 【详解】令，可知，故命题为假，全称量词命题的否定为存在量词命题，故，，故选：B3.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.9B.C.16D.【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义与运算律计算.【详解】．故选：C4.某种水稻害虫数量的日增长率为，最初发现时约有只，则达到最初数量的250倍，大约需要经过（）参考数据：，，，．A.141天B.132天C.120天D.112天【答案】A【解析】【分析】设大约需要经过天，列方程并用对数运算求解即可.【详解】设大约需要经过天．依题意，，则，故，则.故选：A5.函数的图像大致为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】特殊值法排除确定函数的图像．【详解】，故排除B，C；，故排除D．故选：A．6.已知为锐角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换公式以及充要条件的定义求解.【详解】依题意，，故，即．因为，所以，即，解得．故“”是”的充要条件．故选:C.7.如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离（AB垂直于水平面），研究人员在距D研究 所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多，且，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】设出，，通过已知在中由余弦定理得出，过点C作，结合已知得出与即可得出答案.【详解】设，则，，，则在中由余弦定理可得：，解得：，则，，过点C作，研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为， ，，则，，则，，则，，故选：B.8.已知，若函数在上无零点，则的值可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换将问题转化为方程无解，从而得到或，由此利用正弦函数的性质与辅助角公式即可得解.【详解】令，则，故，则，故在无零点，所以，所以或，当时，由于，所以，因为，所以；当时，，则，即，故 ，因为，所以，故，则；综上：或，所以不可能为第二角限角.故选：D.9.中华人民共和国国旗上的五角星均为正五角星，正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，依次连接，，，，形成的多边形为正五边形，且，现有如下说法：①；②若，则；③若，则．其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】对①：结合向量运算及平面几何知识可知；对②：由，，三点共线解得；对③：由余弦定理计算，用数量积定义计算的值.【详解】 连接，在正五边形中，所以，，所以，所以，又，故，故①错误；因为，，三点共线，所以，所以，整理得故，故②错误；若，则，，由余弦定理可知，故，故③正确．故选:B．10.已知函数若有5个不同的零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用转化法，把零点问题转化为两个函数的交点问题，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】令，则．令，则在上单调递增．易知，所以当时，，单调递减，当时，．单调递增，所以，又，所以的大致图象如图 所示，当有5个不同的零点时，函数与直线有5个不同的交点，由图可知，的取值范围为．故选：C【点睛】关键点睛：利用转化法，结合导数的性质、数形结合思想进行求解是解题的关键.11.已知，，三点共圆，，且点，，满足，若，则点到点的距离的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用平面向量基本定理结合图形特征，解决距离和最大.【详解】作出图形如图所示，取线段的中点．因为，所以，故，故点在以为圆心，为半径的圆上，则点到点的距离．设，，所在圆的圆心为，则当，，三点共线，即点在线段上，时，取到最大值，此时为等边三角形，故，则点到点的距离的最大值为． 故选：D.12.若，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简得，构造函数，利用导数判断函数单单调性，求出，从而得；再设，利用导数判断的单调性，得出，从而得，即可得答案.【详解】解:因为，，，令，则，令，则，可知当时，为单调递减函数，所以，所以在是单调递增函数，最大值为， 即当时，，单调递减，，所以，即，所以，再设，则，令，得，解得，所以当时，，所以单调递增，所以，所以，即，所以，综上所述：故选：C.【点睛】方法点睛：对于比较大小的题，不能找到中间量时，常采用构建函数的方法，通过求导，确定函数的单调性，再根据函数的单调性即可得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数的图象在点处的切线与直线相互垂直，则__________．【答案】1【解析】 【分析】对求导表示出，由切线与直线相互垂直得，可求得的值.【详解】依题意，，故．因为图象在点处的切线与直线相互垂直，所以，则，解得．故答案为：114.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】先求出集合A，根据题意得到B是A的真子集，得到答案.【详解】依题意，，已知“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，故，解得，故实数的取值范围为．故答案为：.15.已知函数的部分图象如图所示，若，则的最小值为__________． 【答案】【解析】【分析】根据“五点法”求出函数解析式，再由解出，即可得出最小值.【详解】依题意，，解得，故，故，而，解得．因为，所以，故．令，则，故或，解得或，故的最小值为．故答案为：16.已知等腰梯形是半径为2的圆的内接四边形，且，，则等腰梯形的四条边长的乘积的最大值为__________．【答案】36【解析】【分析】如图所示，连接，设，，则，根据正弦定理得到乘积为，设，得，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：连接，设，，则． 在中，，，，在，，，故梯形的四条边乘积，设，得，，，，（当且仅当时，等号成立）．，当时，取得最大值．故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查了正弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中引入变量，将乘积转化为关于函数关系再利用均值不等式求解是解题的关键.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．（1）求的值； （2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出三角函数值，再利用正切的倍角公式与和差公式即可得解；（2）利用正余弦函数的倍角公式，转化为齐次式，从而化简代入即可.【小问1详解】依题意，．则．故．【小问2详解】依题意，.．18.已知函数，.（1）设在上的最小值为，将表示为的函数；（2）若函数存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】(1)令，，问题转化为求函数在上的最小值，对分、、三类讨论，分别求得对应的，综合可得答案；(2)依题意，可得，令，再令，可转化为在上有解，显然，分离参数，利用基本不等式可得答案.【小问1详解】依题意，，，令，则，故问题转化为求函数在上的最小值；当，即时，在上单调递增，此时；当，即时，在上单调递减，此时；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时；综上所述，.【小问2详解】依题意，，令，可得，令，则，故在上有解，显然，所以， 当且仅当，即时取等号，故实数的取值范围为.19.已知向量，，，函数．（1）若，求在上的单调递减区间；（2）若关于的方程在上有3个解，求的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】(1)化简得，由正弦函数的性质可得函数的单调递减区间为，进而可得在上的单调递减区间；(2)由题意可得，从而可得，结合题意可得，求解即可.【小问1详解】解：依题意，，当时，．令，得，当时，，故在上的单调递减区间为；【小问2详解】 解：依题意，，则或，则或．则，则，解得，即的取值范围为．20.已知中，角所对的边分别为，，，其中，，，，.（1）求值；（2）若点到点的距离为，线段与线段相交，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换求得，进而可得，再利用正弦定理、余弦定理求解即可；(2)利用余弦定理和面积公式求解即可.【小问1详解】依题意则，因为，所以,,又因，所以，则， 由正弦定理得再由余弦定理得，整理得，解得或(舍).故，.【小问2详解】由（1）知，由余弦定理得，所以，21.已知函数，．（1）当时，求的极值；（2）若不等式在时恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）无极小值，极大值为（2）【解析】【分析】(1)先求导数，再根据单调性确定是否有极大值和极小值，代入原函数求出极大值即可；(2)不等式化简设出新函数，先特殊值限定范围，再证明范围即是所求.【小问1详解】由题可知，定义域为，则．所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以在上有极大值，无极小值，极大值为．【小问2详解】原不等式等价于在上恒成立，令，因为，所以要使在上恒成立，则在处必小于等于0．，由，可得．下面证明：当时，在上恒成立．因为当，时，，令当 在单调递增,,所以，所以．所以，所以在上单调递减，又因为，所以，即原不等式在上恒成立．综上，的取值范围为．22.已知函数，．（1）若在上的值域为，求在上的单调区间；（2）若函数，则当时，求的零点个数．【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）有且仅有1个零点．【解析】【分析】（1）先利用导数与函数的关系，分析得的单调性，再结合题意得到是的极小值点，从而确定，再结合的单调性可推得，由此得解；（2）先构造函数，得到的不等关系式，再构造函数，分类讨论与两种情况，结合零点存在定理证得有且仅有1个零点，从而得到的零点个数.【小问1详解】因为，所以，令，解得或，当，即时，令，得；令，得或；所以在，上单调递增，在上单调递减，此时是的极大值点；当，即时，令，得；令，得或； 所以在上单调递减，在，上单调递增，此时是的极小值点；当时，恒成立，则在上单调递增，此时，易得，，不满足题意；又，在上的值域为，所以在上的最值为，故是的极大值点，所以，此时，有或两种情况，都有，故满足题意，所以由上述分析可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为．【小问2详解】令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，当时，，即；因为，令，则，令，则，令，解得或．①若，则，此时在上单调递增．又，所以有且仅有1个零点，即有且仅有1个零点．②若，，则当时，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，故在上没有零点，下证． 当时，．因为，所以．因为，所以，所以，所以．从而在上有唯一零点，所以在上有唯一零点，在上没有零点，综上所述，当时，有且仅有1个零点，故有且仅有1个零点．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．