黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

哈尔滨市第九中学2023-2024学年度高二上学期10月份考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）1.点关于点的对称点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求点关于点的对称点，可知为点与所求点得中点，则对称点可求.【详解】设点关于点的对称点的坐标为，则可得解得,所以对称点得坐标为.故选：C.2.直线，，的斜率分别为2，1，，倾斜角分别为，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由于，由正切函数的图像性质可得倾斜角，，的大小关系.【详解】由于，由正切函数的图像性质可知，当时，为增函数，且，由，可知； 当时，为增函数，且，，所以；所以，选项B正确.故选：B3.不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直线方程即，一定经过和的交点，联立方程组可求定点的坐标．【详解】直线即，根据的任意性可得，解得，不论取什么实数时，直线都经过一个定点．故选：B4.直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.【详解】直线过点.如图， 由题意，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范围是.故选：D.5.正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为2，以的原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B6.已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值.【详解】化简得，由，得.因为，所以或.当时，；当时，.所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分. 根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过分类讨论得到曲线的具体情况，结合图形，利用圆的性质，得到线段和的最值，即可得到它们的比值.7.在平行六面体中，，，且，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以为基底向量，可得，则，∴．故选：C. 8.已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最大，必须最大，最小.【详解】如图：依题意得点在直线上，点关于直线对称的点,点在圆关于直线对称的圆上，则，设圆的圆心为，因为，，所以，当 五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.因此，的最大值为4.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.直线，下列图象中正确的是（）AB.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】直线，A选项，由图可知：，所以A选项错误.B选项，由图可知：，所以B选项正确.C选项，由图可知：，所以C选项正确.D选项，由图可知：，所以D选项错误.故选：BC10.（多选题）两条平行直线l1，l2分别过点P(-1，3)，Q(2，-1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为（）A.1B.3C.5D.7 【答案】ABC【解析】【分析】由两直线的关系可知，当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大5，进而可得结果.【详解】当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，最大距离为：，所以l1，l2之间的距离的取值范围是.故选：ABC【点睛】本题考查了两直线平行时的距离问题，考查了数形结合思想和计算能力，属于一般题目.11.下列结论正确的是（）A.若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底B.直线l的方向向量，平面α的法向量是，则C.若，则点在平面内D.若向量垂直于向量和，向量且，则【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量基底定义可判断A；根据向量共线可判断B；设，求出可得判断C；根据向量共面可判断D.【详解】对于A，若向量是空间一组基底，则构成的向量均不共面，所以也是空间的一组基底，故A正确；对于B，直线l的方向向量，平面α的法向量是，所以，故，故B错误；对于C，设，可得，解得，即，则点在平面内，故C正确；对于D，若向量垂直于向量和，向量且， 所以向量一定在向量和组成的平面内，则，故D错误.故选：AC.12.如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（）A.不存在点Q，使得B.存在点Q，使得C.对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D.对于任意点Q，都是钝角三角形【答案】ABC【解析】【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C．【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；设（），，，，， ，所以，，所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．故选：ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若表示圆的一般方程，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据圆的一般方程满足的条件求解即可.【详解】因为表示圆，所以，即，化简得，解得，故答案为： 14.在长方体中，，，则点到平面的距离为_____.【答案】【解析】【分析】利用空间向量的点面距离公式求解即可.【详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图，则，故，设平面的一个法向量，则，令，则，故，又，所以点到平面的距离为.故答案为：.15.在空间直角坐标系中，，，，点H在平面内，则当取最小时，点H的坐标是______．【答案】【解析】【分析】若要取最小，则只需平面，即只需，结合四点共面的充要条件即可求解.【详解】不妨设点H的坐标是，则，因为，，， 所以，由题意若要取最小，则只需平面，只需，即，不妨令，所以解得，且注意到点H在平面内，所以由四点共面的充要条件有，即，解得，所以，所以此时点H的坐标是.综上所述：当取最小时，点H的坐标是.故答案为：.16.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为__．【答案】【解析】【分析】先利用阿氏圆定义设出，由得到，利用，即可求出最小值.【详解】设，不妨取，使得，所以 ，整理得：.此方程与为同一方程，所以，解得：，即.所以（当且仅当P、B、C三点共线时等号成立）此时.所以的最小值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤）17.已知点，，：（1）若中点为，求过点与的直线方程；（2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出D点坐标，再根据两点式方程求出直线AD的方程；（2）根据截距等于0和不等于0，运用截距式方程求解.【小问1详解】由题意，的中点，即，由两点式直线方程得直线AD的方程为：，即；【小问2详解】 当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为，即；设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为，将B点坐标代入得，即；综上，（1）AD直线方程为，（2）过B点并且在x，y轴上截距相等的直线方程为或.18.已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线方程为（1）求点坐标；（2）求边所在直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而得直线的方程，再与角的平分线方程联立解方程即可；（2）点关于直线对称的点为，进而根据对称性得，再根据在直线上求解即可.【小问1详解】解：因为边上的高所在直线平行于直线，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.联立方程：，解得，，所以，点坐标为，【小问2详解】解：设点关于角的平分线对称的点为则点在直线上，且直线为线段的垂直平分线. 所以有，解得，，即又，所以，所以直线方程为：，即.19.已知圆经过，，三点.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出圆的方程即可；（2）设，利用得到点的坐标，将点代入圆，化简即可得到点的轨迹方程.【小问1详解】设圆的方程为，将三点，，分别代入方程，则，解得，，，所以圆的方程为；小问2详解】设，，因为点满足，，所以，， 则，所以.因为点在圆上运动，所以，所以，所以，所以点的轨迹方程为.20.如图，正方形的边长为2，B，C分别为，的中点．在五棱锥中，底面，且，F为棱的中点，平面与棱，分别交于点G，H．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求线段的长．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求线面角即可；（2）设，，结合即可解得参数，求得H坐标，由两点距离公式即可求线段的长【小问1详解】∵底面，四边形为正方形，故以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，∵正方形的边长为2，B，C分别为，的中点，，F为棱的中点，故有，，，，，.设平面的法向量为，， 则，令，得.设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角为为；【小问2详解】设上的点，，则，∴.又为平面法向量，，故，即，解得，故有，故，故线段的长为2.21.直线过点且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标．【答案】（1） （2）证明见解析；定点【解析】【分析】（1）根据两直线垂直可求得直线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出直线的方程；（2）分别设出两点坐标，再由向量可解得，利用梯形的面积可得的坐标需满足，分情况讨论直线方程即可知其过定点.【小问1详解】易知直线的斜率为，设直线的斜率为，由两直线垂直可得，解得；又过点，所以，即，所以直线的方程为.【小问2详解】证明：设，又，可得；由可得，解得；易知，，所以梯形的面积为，可得梯形的面积为6，不妨设，可得，即；当时，直线的方程为，将代入上式可得，由可得，即不论为何值时，直线恒过定点；当时，直线的方程为，过点；综上可知，直线必过定点. 22.如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）．（1）若平面CFG，请确定点P的位置；（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）为的中点；（2）．【解析】【分析】（1）连接，先证平面，若平面，平面与平面相交，必有，再由，可知为的中点；（2）以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求解即可.【详解】如图，连接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．∴，∵平面，平面，∴平面，若平面，又由，平面，平面与平面相交，必有，又∵，∴为的中点； （2）因为，，两两垂直，我们可以以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，可得各点坐标如下：，，，，，．设（），有，又由，有，设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，由，，，有，设，有，， 由二次函数的性质可知，当时，，时，的最大值为．